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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Sa 31.07.2010 | | Autor: | kappen |
| Aufgabe | Gegeben sei [mm] f(x)=y^{(5)}-y'''-2y''+2y'
[/mm]
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung |
Hi leute :)
Da es sich hier um eine DGL mit konstanten koeffizienten handelt, lautet das charakteristische Polynom:
[mm] x:=\lambda
[/mm]
[mm] p(x)=x^5-x^3-2x^2+2x-1
[/mm]
Hiervon müsste ich doch die Eigenwerte bestimmen. Aber ich finde keine Lösung und ich glaube nicht, dass ich das mitm CAS rechnen soll : /
Gibts da noch andere Möglichkeiten? Ich könnts in ein System umschreiben, aber das wäre 6x6 (oder 5x5?), davon die Determinante ausrechnen ist auch nicht so der Hit.
Btw, wenn ich die dgl höherer Ordnung in ein System umschreiben möchte, wie verhält sich das, wenn - wie hier - z.B. [mm] y^{(4)} [/mm] fehlt? Mache ich dann einfach mit der nächsten Ableitung weiter, oder bekomme ich dann eine Nullzeile in der Matrix dazu?
Danke & schöne Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Sa 31.07.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo kappen,
Du sollst doch die homeogene Lösung dieser DGL finden, also diejenige, bei der der Funktionswert den Wert Null annimmt. Hierzu gehört aber ein einfacheres Polynom, da kein absoluites Glied in dieser Gleichung auftaucht.
$$ [mm] \lambda^5 [/mm] - [mm] \lambda^3 [/mm] - 2 [mm] \lambda^2 [/mm] + 2 [mm] \lambda [/mm] = 0 $$
Da lässt sich doch was Ausklammern 
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Sa 31.07.2010 | | Autor: | kappen |
Wieso verschwindet das absolut Glied?
Laut Skript sieht das so aus:
[mm] y^{(n)}+b_{n-1}y^{(n-1)}+...+b_1y'+b_0y=0
[/mm]
[mm] b_0 [/mm] ist bei mir doch -1 oder nicht? f(x)=y steht auf der rechten Seite..
und das charakteristische Polynom sieht hinten so aus:
[mm] p(x)=...+b_1x+b_0
[/mm]
Bin verwirrt ;)
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Sa 31.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Wieso verschwindet das absolut Glied?
>
> Laut Skript sieht das so aus:
>
> [mm]y^{(n)}+b_{n-1}y^{(n-1)}+...+b_1y'+b_0y=0[/mm]
>
> [mm]b_0[/mm] ist bei mir doch -1 oder nicht? f(x)=y steht auf der
> rechten Seite..
>
> und das charakteristische Polynom sieht hinten so aus:
>
> [mm]p(x)=...+b_1x+b_0[/mm]
>
> Bin verwirrt ;)
Mußt Du nicht. Du hättest schreiben sollen:
$ [mm] y=y^{(5)}-y'''-2y''+2y' [/mm] $
Dann wäre die Aufgabenstellung klar gewesen.
FRED
>
> Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Sa 31.07.2010 | | Autor: | kappen |
Hm die Aufgabenstellung ist in der Tat so, wie es oben steht. Mit f(x) auf der rechten Seite.
Ich bin aber davon ausgegangen, dass das =y bedeutet. Sollte ich also nicht tun, dann rechne ich mal.
Haste noch n Tip zu meiner anderen Frage bzgl was passiert, wenn eben eine Ableitung nicht auftaucht?
Danke & schöne Grüße!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Sa 31.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hm die Aufgabenstellung ist in der Tat so, wie es oben
> steht. Mit f(x) auf der rechten Seite.
Also steht in der Aufgabenstellung
$ [mm] y^{(5)}-y'''-2y''+2y' [/mm] =f(x)$
und es soll die allgemeine Lösung der homogenen Gl. bestimmt werden. Warscheinlich sollst Du lösen:
$ [mm] y^{(5)}-y'''-2y''+2y' [/mm] =0$
FRED
>
> Ich bin aber davon ausgegangen, dass das =y bedeutet.
> Sollte ich also nicht tun, dann rechne ich mal.
>
> Haste noch n Tip zu meiner anderen Frage bzgl was passiert,
> wenn eben eine Ableitung nicht auftaucht?
>
> Danke & schöne Grüße!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 Sa 31.07.2010 | | Autor: | Infinit |
Und damit haut das Ausklammern wieder hin.
Gruß,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:10 Sa 31.07.2010 | | Autor: | kappen |
Jojo klar, aber mit dem absoluten Glied wärs halt blöd gewesen ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Sa 31.07.2010 | | Autor: | Calli |
> Gegeben sei [mm]f(x)=y^{(5)}-y'''-2y''+2y'[/mm]
>
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der homogenen
> Gleichung
Was da gegeben ist, ist eine inhomogene DGL !
Die homogene DGL lautet also ... ?
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]")
Ciao Calli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Sa 31.07.2010 | | Autor: | kappen |
Japs f(x)=0 ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 Sa 31.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Japs f(x)=0 ;)
Nein, so:
$ [mm] y^{(5)}-y'''-2y''+2y' [/mm] =0 $
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:08 Sa 31.07.2010 | | Autor: | kappen |
Ja....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Sa 31.07.2010 | | Autor: | kappen |
So, Ergebnis ist also
[mm] Y=c_1+c_2e^x+c_3xe^x+c_4e^{-x}sinx+c_5e^{-x}cosx
[/mm]
Angenommen ich hätte das jetzt in ein System umgeschrieben, so wäre das ein System mit konstanten Koeffiziente. Das charakteristische Polynom der Matrix ist natürlich das selbe, wie jetzt, aber wenn ich weiter mit den Eigenvektoren rechne, bekomme ich doch auch n Dimensionale Einzellösungen, die ich dann z.B. in einer Fundamentalmatrix zusammenfassen würde.
Hier bekomme ich aber nur eindimensionale Lösungen heraus. Sollte ich nicht das selbe Ergebnis erwarten?
Kann ich aus meiner jetzigen Lösung eine Fundamentalmatrix machen? Ich kann ja kaum 1, [mm] e^x, xe^x,e^{-x}sinx, e^{-x}cosx [/mm] spaltenweise in eine "Matrix" schreiben?
Danke & schöne Grüße
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Hallo kappen,
> So, Ergebnis ist also
>
> [mm]Y=c_1+c_2e^x+c_3xe^x+c_4e^{-x}sinx+c_5e^{-x}cosx[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Angenommen ich hätte das jetzt in ein System
> umgeschrieben, so wäre das ein System mit konstanten
> Koeffiziente. Das charakteristische Polynom der Matrix ist
> natürlich das selbe, wie jetzt, aber wenn ich weiter mit
> den Eigenvektoren rechne, bekomme ich doch auch n
> Dimensionale Einzellösungen, die ich dann z.B. in einer
> Fundamentalmatrix zusammenfassen würde.
> Hier bekomme ich aber nur eindimensionale Lösungen
> heraus. Sollte ich nicht das selbe Ergebnis erwarten?
Bei diesem DGL-System 1. Ordnung erhältst Du 5 vektorwertige Lösungen.
Das sind Lösungen für [mm]y,\ y', \ y'', \ y''', \ y^{\left(4\right)}[/mm]
Die erste Zeile der Lösung des DGL-Systems stimmt dann
mit der Lösung der DGL 5. Ordnung überein.
> Kann ich aus meiner jetzigen Lösung eine Fundamentalmatrix
> machen? Ich kann ja kaum 1, [mm]e^x, xe^x,e^{-x}sinx, e^{-x}cosx[/mm]
> spaltenweise in eine "Matrix" schreiben?
Die Matrix baut sich dann so auf:
[mm]\pmat{y_{1} & y_{2} & y_{3} & y_{4} & y_{5} \\ y_{1}' & y_{2}' & y_{3}' & y_{4}' & y_{5}' \\ y_{1}'' & y_{2}'' & y_{3}'' & y_{4}'' & y_{5}'' \\ y_{1}''' & y_{2}''' & y_{3}''' & y_{4}''' & y_{5}''' \\ y_{1}^{\left(4\right)} & y_{2}^{\left(4\right)} & y_{3}^{\left(4\right)} & y_{4}^{\left(4\right)} & y_{5}^{\left(4\right)}[/mm]
wobei [mm]y_{1}, \ y_{2}, \ y_{3}, \ y_{4}, \ y_{5}[/mm] Lösungen der DGL 5.Ordnung sind.
>
> Danke & schöne Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Sa 31.07.2010 | | Autor: | kappen |
Aso, da stehen dann direkt die Ableitungen drin? Kann unter Umständen ja praktisch sein ;)
Ja super, dankeschön :)
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Hallo kappen,
> Aso, da stehen dann direkt die Ableitungen drin? Kann unter
> Umständen ja praktisch sein ;)
Ja.
>
> Ja super, dankeschön :)
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Sa 31.07.2010 | | Autor: | Calli |
> So, Ergebnis ist also
>
> [mm]Y=c_1+c_2e^x+c_3xe^x+c_4e^{-x}sinx+c_5e^{-x}cosx[/mm]
• Woher kommen die Terme mit den Winkelfunktionen ?
• Hat das charakteristische Polynom komplexe Nullstellen ?
Ciao Calli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Sa 31.07.2010 | | Autor: | kappen |
Ja, das Polynom hat einfache Nullstellen bei 0, i-1, -i-1 und doppelte bei 1 wenn ich mich nicht verrechnet haben sollte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:57 Sa 31.07.2010 | | Autor: | Calli |
Hallo !
Für das Polynom [mm] $\lambda^5-\lambda^3-2*\lambda^2+2*\lambda=0$ [/mm] ist
[mm] $\lambda_i=-1\pm [/mm] i$
keine Lösung !
Ciao Calli
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Hallo Calli,
> Hallo !
>
> Für das Polynom
> [mm]\lambda^5-\lambda^3-2*\lambda^2+2*\lambda=0[/mm] ist
>
> [mm]\lambda_i=-1\pm i[/mm]
>
> keine Lösung !
Doch, ist es.
Es ist [mm] $\lambda^5-\lambda^3-2\lambda^2+2\lambda=\lambda\cdot{}(\lambda-1)^2\cdot{}(\lambda+1+i)\cdot{}(\lambda+1-i)$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
> Ciao Calli
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 So 01.08.2010 | | Autor: | Calli |
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
Ups, GdC ![[aetsch]](/images/smileys/aetsch.gif "[aetsch]")
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:37 Mo 02.08.2010 | | Autor: | kappen |
Leute macht mich nicht fertig :D
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