DGL mit Laplace < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eigentlich partiell, aber mit Laplace gewöhnlich.
Hallo,
ich zerbrich mir gerade den Kopf über eine Lösung, die irgendwie unendlich viele Lösungen hat ... oder so. Es handelt sich um folgende Aufgabe:
DGL:
[mm] u_{tt}=4*u_{xx} [/mm] dies entspricht [mm] u_{tt}-4*u_{xx}=0, [/mm] also homogen.
x>0
t>0
AB:
[mm] u(x,0)=u_{t}(x,0)=0
[/mm]
x>0
RB:
[mm] u(0,t)=-3\*sin(2t) [/mm]
t>0
Mit Hilfe der Laplace-Transformation kam ich auf folgendes Ergebnis:
[mm] -4*U_{xx}(x,s)+s^{2}*U(x,s)=0
[/mm]
Ich habe in dieser Gleichung bereits die Anfangsbedingung (AB) berücksichtigt!
Danach hab ich mit der Ansatzmethode die "Nullstellen der homogenen Gleichung" berechnet, ich erhielt:
[mm] \gamma_{1}=\bruch{s}{2}
[/mm]
[mm] \gamma_{2}=-\bruch{s}{2}
[/mm]
Meine allgemeine Lösung sieht dann folgend aus:
[mm] U(x,s)=A(s)*e^{x\bruch{s}{2}}+B(s)e^{-x\bruch{s}{2}}
[/mm]
Nun gibt's da aber noch die Randbedingung RB, die dann besagt:
[mm] u(0,t)=-3\*sin(2t),t>0
[/mm]
[mm] U(0,s)=-3*\bruch{2}{s^{2}+4}=A(s)*e^{0}+B(s)*e^{0}=A(s)+B(s)
[/mm]
Es gibt doch unendlich viele Lösungen dafür, oder? Soll ich hier noch eine spezielle Lösung mit einfließen lassen, obwohl ich eine homogene Gleichung habe??? Gibt's überhaupt "eine" bestimmte Lösung? Gesucht ist laut Angabe eine "beschränkte" Lösung.
Ich hoffe, jemand kann mir da weiter helfen.
Freue mich auf ein paar Tipps.
Gruß, h.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:45 Do 29.11.2007 | | Autor: | Braunstein |
Kann/darf ich die beiden Konstanten A(s) und B(s) zusammenfassen? (A(s)+B(s)=C(s))
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Mein Lösungsansatz lautet folgend:
DGL:
[mm] u_{tt}=4*u_{xx} [/mm] dies entspricht [mm] u_{tt}-4*u_{xx}=0, [/mm] also homogen.
x>0
t>0
Anfangsbedingung:
[mm] u(x,0)=u_{t}(x,0)=0 [/mm]
x>0
Randbedingung:
[mm] u(0,t)=-3\*sin(2t) [/mm]
t>0
1) Laplace-Transformation nach Variable t:
[mm] L(u_{tt})=s^{2}U(x,s)-s*u(x,0)-u_{t}(x,0)=s^{2}U(x,s) [/mm] lt. AB
[mm] L(u_{xx})=\bruch{\partial^{2}}{\partial x^{2}}U(x,s)=U_{xx}(x,s)
[/mm]
2) Gleichung in L-Variante hinschreiben:
[mm] 0=s^{2}U(x,s)-4U_{xx}(x,s)
[/mm]
[mm] 0=U_{xx}-\bruch{s^{2}}{4}U
[/mm]
3) Ansatzmethode:
[mm] U=e^{\lambda x}
[/mm]
[mm] U_{x}=\lambda*e^{\lambda x}
[/mm]
[mm] U_{xx}=\lambda^{2}e^{\lambda x}
[/mm]
4) Charakteristische Gleichung:
[mm] 0=\lambda^{2}-\bruch{s^{2}}{4}
[/mm]
[mm] \lambda_{1}=\bruch{s}{2}
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=-\bruch{s}{2}
[/mm]
5) Aufstellen der homogenen Lösung:
[mm] U_{H}(x,s)=A(s)e^{\bruch{s}{2}x}+B(s)e^{-\bruch{s}{2}x}
[/mm]
Naja, und dann weiß ich nicht mehr so genau weiter. Ich möchte die Randbedingung einfließen lassen:
[mm] U(0,s)=L(u(0,t))=L(-3sin(2t))=-3*\bruch{2}{s^{2}+4}
[/mm]
[mm] U(0,s)=-\bruch{3*2}{s^{2}+4}=A(s)e^{0}+B(s)e^{0}
[/mm]
Ziel ist es, eine beschränkte Lösung zu finden. Nur leider komm ich hier nicht mehr weiter. Was genau ist dann A(s) bzw. B(s)????
Ich hoffe, dass mir da jemand weiter helfen kann.
Gruß, h.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:29 So 02.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 Sa 01.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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