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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 Fr 02.07.2010 | | Autor: | steem |
| Aufgabe | | Es ist die Lösung der inhomogenen linearen DGL [mm] 25y''-50y'-75y=75x^2 [/mm] mit den Startwerten $y(0)=0$ und $y'(0)=1$ gesucht. |
Ich habe jetzt erstmal die allgemeine Lösung der DGL aufgestellt, aber da kann man glaube ich nichts mit dem Startwert y'(0)=1 anfangen.
Hier mein Weg:
Zuerst bestimme ich die allgemeine Lösung der homogenen DGL:
[mm] 25\lambda^2 -50\lambda-75=0
[/mm]
[mm] \lambda_{1}=3
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=-1
[/mm]
damit bekomme ich dann die allgemeine Lösung für den homogenen Anteil: [mm] y_{h}=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-x}
[/mm]
Jetzt suche ich die allgemeine Lösung des partikulären Anteils:
Da die Störfunktion [mm] g(x)=x^2 [/mm] heißt wähle ich den Ansatz:
[mm] y_{p}=Ax^{2}+Bx+C
[/mm]
[mm] y_{p}'=2Ax+B
[/mm]
[mm] y_{p}''=2A
[/mm]
An dieser Stelle könnte man ganz gut die Anfangswerte einsetzen, allerdings lässt sich dann das A nicht mehr bestimmen. Denn ich hätte dann:
[mm] y_{p}(0)=A0^{2}+B0+C [/mm] => C=0
[mm] y_{p}'(0)=2A0+B [/mm] => B=1
Nur das A bleibt alleine..
Macht man das überhaupt auf diese Art oder geht das anders?
Ich könnte ja auch zuerst die allgemeine Lösung bestimmen:
Durch einsetzen von
[mm] y_{p}=Ax^{2}+Bx+C
[/mm]
[mm] y_{p}'=2Ax+B
[/mm]
[mm] y_{p}''=2A
[/mm]
in [mm] 25y''-50y'-75y=75x^2 [/mm] und anschliessendem Koeffizientenvergleich bekomme ich $A=-1$,$ [mm] B=\bruch{4}{3}$, $C=\bruch{2}{9}$
[/mm]
und damit: [mm] y_{p}=-x^{2}+\bruch{4}{3}x+\bruch{2}{9}
[/mm]
Die allgemeine Lösung wäre also:
[mm] y_{a}= y_{h}+ y_{p}
[/mm]
[mm] y_{a}=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-x}-x^{2}+\bruch{4}{3}x+\bruch{2}{9}
[/mm]
nur kann ich hier den Wert $y'(0)=1$ nicht mehr einsetzen...
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Hallo steem,
> Es ist die Lösung der inhomogenen linearen DGL
> [mm]25y''-50y'-75y=75x^2[/mm] mit den Startwerten [mm]y(0)=0[/mm] und [mm]y'(0)=1[/mm]
> gesucht.
> Ich habe jetzt erstmal die allgemeine Lösung der DGL
> aufgestellt, aber da kann man glaube ich nichts mit dem
> Startwert y'(0)=1 anfangen.
>
> Hier mein Weg:
>
> Zuerst bestimme ich die allgemeine Lösung der homogenen
> DGL:
>
> [mm]25\lambda^2 -50\lambda-75=0[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1}=3[/mm]
> [mm]\lambda_{2}=-1[/mm]
>
> damit bekomme ich dann die allgemeine Lösung für den
> homogenen Anteil: [mm]y_{h}=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-x}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jetzt suche ich die allgemeine Lösung des partikulären
> Anteils:
>
> Da die Störfunktion [mm]g(x)=x^2[/mm] heißt wähle ich den Ansatz:
> [mm]y_{p}=Ax^{2}+Bx+C[/mm]
> [mm]y_{p}'=2Ax+B[/mm]
> [mm]y_{p}''=2A[/mm]
>
> An dieser Stelle könnte man ganz gut die Anfangswerte
> einsetzen, allerdings lässt sich dann das A nicht mehr
> bestimmen. Denn ich hätte dann:
>
> [mm]y_{p}(0)=A0^{2}+B0+C[/mm] => C=0
> [mm]y_{p}'(0)=2A0+B[/mm] => B=1
>
> Nur das A bleibt alleine..
> Macht man das überhaupt auf diese Art oder geht das
> anders?
Anders, erst die allg. Lösung bestimmen und dann mithilfe der AWBen die Werte für [mm] $C_1, C_2$ [/mm] bestimmen.
>
> Ich könnte ja auch zuerst die allgemeine Lösung
> bestimmen:
> Durch einsetzen von
> [mm]y_{p}=Ax^{2}+Bx+C[/mm]
> [mm]y_{p}'=2Ax+B[/mm]
> [mm]y_{p}''=2A[/mm]
>
> in [mm]25y''-50y'-75y=75x^2[/mm] und anschliessendem
> Koeffizientenvergleich bekomme ich [mm]A=-1[/mm] ,[mm] B=\bruch{4}{3}[/mm],
> [mm]C=\bruch{2}{9}[/mm]
Ich komme so auf die Schnelle auf [mm] $B=\frac{5}{3}$ [/mm] und [mm] $C=-\frac{16}{9}$
[/mm]
Aber ohne Gewähr. Für Gewissheit zeige deine Rechnung ...
> und damit: [mm]y_{p}=-x^{2}+\bruch{4}{3}x+\bruch{2}{9}[/mm]
>
> Die allgemeine Lösung wäre also:
> [mm]y_{a}= y_{h}+ y_{p}[/mm]
>
> [mm]y_{a}=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-x}-x^{2}+\bruch{4}{3}x+\bruch{2}{9}[/mm]
>
> nur kann ich hier den Wert [mm]y'(0)=1[/mm] nicht mehr einsetzen...
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Nun, entweder mit deiner oder meiner Lösung kannst du doch [mm] $y_a(0)$ [/mm] ausrechnen, einfach einsetzen und das =0 setzen.
Dann leite [mm] $y_a$ [/mm] ab, du bekommst [mm] $y_a'$ [/mm] Da kannst du dann die andere Bedingung einsetzen [mm] $y_a'(0)=1$
[/mm]
Das gibt dir zwei Gleichungen, aus denen es [mm] $C_1$ [/mm] und [mm] $C_2$ [/mm] zu ermitteln gilt ..
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:10 Fr 02.07.2010 | | Autor: | steem |
Danke schachuzipus! Der Hinweis die allgemeine Lösung einfach abzuleiten um den zweiten Startwert einzustetzen war glaube ich sehr nützlich ;) Werde ich gleich mal austesten wie das funktioniert.
Hier ist meine Rechnung wie ich auf A,B und C gekommen bin:
Erstmal habe ich
$ [mm] y_{p}=Ax^{2}+Bx+C [/mm] $
$ [mm] y_{p}'=2Ax+B [/mm] $
$ [mm] y_{p}''=2A [/mm] $
in die Ausgangsgleichung eingesetzt und erhalte damit
[mm] 50A-100Ax+50B-75Ax^{2}-75Bx-75C=75x^{2}
[/mm]
und dann der Koeffizientenvergleich
$I. -75A=75 => A=-1$
$II. -100A-75B=0$ hier habe ich $A=-1$ eingesetzt
$=> [mm] B=\bruch{75}{100}=\bruch{4}{3}$
[/mm]
$III. 50A+50B-75C=0$ hier dann $A$ und $B$ einsetzen
$=> [mm] C=\bruch{2}{3}A+\bruch{2}{3}B=-\bruch{2}{3}+\bruch{8}{9}=\bruch{2}{9}$
[/mm]
Müsste doch eigentlich stimmen..
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Hallo nochmal,
> Danke schachuzipus! Der Hinweis die allgemeine Lösung
> einfach abzuleiten um den zweiten Startwert einzustetzen
> war glaube ich sehr nützlich ;) Werde ich gleich mal
> austesten wie das funktioniert.
>
> Hier ist meine Rechnung wie ich auf A,B und C gekommen
> bin:
> Erstmal habe ich
> [mm]y_{p}=Ax^{2}+Bx+C[/mm]
> [mm]y_{p}'=2Ax+B[/mm]
> [mm]y_{p}''=2A[/mm]
>
> in die Ausgangsgleichung eingesetzt und erhalte damit
>
> [mm]50A-100Ax\red{+}50B-75Ax^{2}-75Bx-75C=75x^{2}[/mm]
Das muss [mm] $\red{-}$ [/mm] lauten!
> und dann der Koeffizientenvergleich
>
> [mm]I. -75A=75 => A=-1[/mm]
> [mm]II. -100A-75B=0[/mm] hier habe ich [mm]A=-1[/mm]
> eingesetzt
> [mm]=> B=\bruch{75}{100}[/mm]
Du meinst [mm] $\frac{100}{75}$
[/mm]
> [mm]=\bruch{4}{3}[/mm]
Stimmt!
> [mm]III. 50A+50B-75C=0[/mm] hier
> dann [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] einsetzen
> [mm]=> C=\bruch{2}{3}A+\bruch{2}{3}B=-\bruch{2}{3}+\bruch{8}{9}=\bruch{2}{9}[/mm]
Das ist wegen der falschen Vorzeichens bei $50B$ falsch, ich komme nun auf [mm] $-\frac{14}{3}=C$
[/mm]
> Müsste doch eigentlich stimmen..
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Fr 02.07.2010 | | Autor: | steem |
Nochmal zur Kontrolle. Ich habe jetzt als Lösung herraus:
$I. [mm] y(0)=C_{1}+C_{2}+\bruch{2}{9}=0$
[/mm]
$II. [mm] y'(0)=3C_{1}-C_{2}+\bruch{4}{3}=1$
[/mm]
damit habe ich für [mm] C_{1}=\bruch{23}{36} [/mm] und [mm] C_{2}=\bruch{17}{4} [/mm] herraus.
Die allgemeine Lösung sieht dann folgendermaßen aus:
$ [mm] y_{a}=\bruch{23}{36}e^{3x}+\bruch{17}{4}e^{-x}-x^{2}+\bruch{4}{3}x+\bruch{2}{9} [/mm] $
Kann das jemand bestätigen?
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Hallo nochmal,
> Nochmal zur Kontrolle. Ich habe jetzt als Lösung herraus:
>
> [mm]I. y(0)=C_{1}+C_{2}+\bruch{2}{9}=0[/mm]
> [mm]II. y'(0)=3C_{1}-C_{2}+\bruch{4}{3}=1[/mm]
>
> damit habe ich für [mm]C_{1}=\bruch{23}{36}[/mm] und
> [mm]C_{2}=\bruch{17}{4}[/mm] herraus.
>
> Die allgemeine Lösung sieht dann folgendermaßen aus:
>
> [mm]y_{a}=\bruch{23}{36}e^{3x}+\bruch{17}{4}e^{-x}-x^{2}+\bruch{4}{3}x+\bruch{2}{9}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] $y_a(0)=\frac{23}{36}+\frac{17}{4}+\frac{2}{9}\neq [/mm] 0$
Die eine AB ist nicht erfüllt!
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> Kann das jemand bestätigen?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 Fr 02.07.2010 | | Autor: | steem |
Mit deinen A,B und C Werten kommt das richtige raus. Am Ende ist alles null wenn man es ausrechnet, so wie es die AB verlangt ;)
Danke für deine Hilfe!
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