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Hallo zusammen,
nun hänge ich schon seit geraumer Zeit über folgender Übungsaufgabe. Jedoch bin ich bisher noch nicht weit gekommen. Ich hoffe es kann mir von euch jemand ein wenig weiter helfen.
y' (1 + [mm] x^{2}) [/mm] x + 2y = 0
y' = [mm] \bruch{1}{(1 + x^{2}) x} [/mm] * (-2y)
[mm] \bruch{dy}{-2y} [/mm] = [mm] \bruch{dx}{(1 + x^{2}) x}
[/mm]
[mm] \integral{ \bruch{1}{-2y} dy} [/mm] = [mm] \integral{ \bruch{1}{(1 + x^{2}) x} dx}
[/mm]
- 0,5 ln y = ???
Irgendwie hänge ich da ziehmlich fest. Ich hab es nun schon mehrmals versucht, aber ich bleibe immer wieder hängen.
Als Lösung soll
y = c(1 + [mm] \bruch{1}{x^{2}})
[/mm]
heraus kommen.
Wie komme ich auf y?
Danke für eure Hilfe.
Gruß
Prof.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:27 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Professor!
Ich habe es nicht bis zum Ende durchgerechnet ... aber im ersten Umformungsschritt machst Du bereits einen Fehler:
[mm] $y'*\left(1 + x^2\right)*x [/mm] + 2y \ = \ 0$ [mm] $\left| \ \red{-}2y$
$y'*\left(1 + x^2\right)*x \ = \ -2y$ $\left| \ : \ \left(1 + x^2\right)*x$
$y' \ = \ \bruch{-2y}{\left(1 + x^2\right)*x}$ $\left| \ : \ y$
$\bruch{y'}{y} \ = \ \bruch{-2}{\left(1 + x^2\right)*x}$
Kommst Du nun alleine weiter?
Gruß
Loddar
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:30 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Professor!
Also ... mit meinen obigen Umformungen sowie anschließender Partialbruchzerlegung des Bruches auf der rechten Seite erhalte ich wirklich auch das genannte Ergebnis.
Gruß
Loddar
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Guten Morgen,
zuerst mal danke für die rasche Hilfe, jedoch erkenne ich leider keinen Fehler bei meiner Umformung. Irgendwie stehe ich bei dieser Aufgabe ghörig auf dem Schlauch. :-(
Ich hab doch auch
y' = [mm] \bruch{-2y}{\left(1 + x^2\right)\cdot{}x}
[/mm]
nur, dass ich es in eine Multiplikation umgewandelt habe damit ich die Trennung der Veränderlichen durchführen kann.
y' ist doch bei uns beiden gleich.
Bei der Integration von y' hängt es dann ein wenig.
Gruß
Prof.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Professor!
> jedoch erkenne ich leider keinen Fehler bei meiner Umformung.
Du hast Recht, da habe ich mich etwas in die Irre leiten lassen ...
> nur, dass ich es in eine Multiplikation umgewandelt habe
> damit ich die Trennung der Veränderlichen durchführen
> kann.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Nun teile die Gleichung durch $y_$ , und Du erhältst links den Ausdruck
[mm] $\bruch{\blue{y'}}{y} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\blue{\bruch{dy}{dx}}}{y}$
[/mm]
Nun die Gleichung mit $dx_$ multiplizieren und anschließend integrieren.
Und das Ergebnis zu [mm] $\integral{\bruch{1}{y} \ dy}$ [/mm] sollte ja bekannt sein, oder?
Gruß
Loddar
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Hallo,
danke für deine Hilfe Loddar. Dieser Schritt erscheint mir klar.
Ähnliches habe ich ja auch gemacht. Ich habe nur anstatt durch y gleich durch -2y dividiert.
so erhalte ich anstatt ln y eben - 0,5 ln y.
Meine Schwierigkeiten liegen auf der anderen Seite der Gleichung.
[mm] \integral{ \bruch{1}{(1 + x^{2}) x} dx}
[/mm]
Wie lässt sich dieses Integral lösen?
Gruß
Prof.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Prof!
Wie oben bereits angedeutet, musst Du hier eine Partialbruchzerlegung vornehmen:
[mm] $\bruch{-2}{\left(1+x^2\right)*x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A*x+B}{1+x^2}+\bruch{C}{x}$
[/mm]
Nun zunächst die Koeffizienten $A_$, $B_$ und $C_$ bestimmen ...
Gruß
Loddar
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Hallo,
alles was ich über Partialbruchzerlegungen weiß, ist dass ich die Nullstellen des Nenner ermitteln muß.
das wäre in meinem Fall
x = 0
x = - i
x = + i
Was es mit diesem A, B, C auf sich hat ... sorry.
Kann ich diesen Bruch nicht in zwei Brüche aufteilen?
1/x
und
1/(1+x²)
was beides für sich sehr leicht zu integrieren wäre.
Kann mir bitte jemand einen Tipp geben, wie das mit dem A, B und C funktionieren soll.
Danke schon mal.
Gruß
Prof.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Mi 08.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Ja du kannst es in die von dir beschriebenen beiden Teile zerlegen. A/x und
Bx+C/(1+x²). Allerdings musst du bei der Partialbruchzerlegung dann beachten, dass eben über dem quadratischen Term zwei Unbekannte stehen. Schau dir ev. mal die Erklärung zu Partialbruchzerlegung und Koeffizientenvergleich ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung an.
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