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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:51 Fr 19.08.2011 | | Autor: | Harris |
Hi!
Ich habe eine Frage.
Angenommen, ich habe eine DGL $y'=f(y)$ und $f(y)$ sei Lipschitzstetig in $y$ und habe Nullstellen genau in $y=0$ und $y=1$.
Für $y>1$ sei $f(y)<0$ und Für $y<0$ sei $f(y)>0$.
Habe ich nun ein AWP mit $0<y(0)<1$. Daraus folgt ja, dass stets $0<y(t)<1$ gilt. Bei einem AWP mit $y(0)<0$ gilt ja stets $y'(t)>0$ und $y(t)<0$, also ist die Lösung $y(t)$ nach oben beschränkt. Startet die Lösung oberhalb von $1$, so fällt sie streng monoton und ist durch $1$ nach unten beschränkt.
Nun die Frage: Kann ich hieraus bereits folgern, dass die Lösung jedes AWPs für alle $t>0$ existiert? Wenn ja, aus welchem Satz folgt das?
Und kann ich folgern, dass für ein AWP mit $y(0)<0$ gilt, dass [mm] $lim_{t\rightarrow\infty}y(t)=0$. [/mm] Wenn ja, warum?
Grüße!
Harris
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:51 Sa 20.08.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Mit deinen Nullstellen kann f(y)<0 für y>0 nicht gelten!
warum die Nullstelle bei 1?
Gruß leduart
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(Frage) überfällig | | Datum: | 14:56 So 21.08.2011 | | Autor: | Harris |
Irgendwie ist die Aufgabe Schrott, gell?
Anscheinend wurde hier versucht, alle drei Fälle in eine Aufgabe zu packen.
Ich denke, sie soll fragen, ob eine Lösung, die zwischen zwei konstanten Lösungen startet, auch für alle [mm] $t\in\IR$ [/mm] definiert ist.
Und eine Lösung, die nach unten (oben) beschränkt ist und streng monoton fällt (steigt) auch für alle [mm] $t\in\IR$ [/mm] definiert ist.
Anschaulich ist das ja irgendwie klar. Gilt das nach den Sätzen für Ober- und Unterfunktionen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 23.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 So 21.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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