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Hallo zusammen
Habe soeben folgende Aufgabe lösen wollen:
Bestimmen Sie die allgemeine Loesung der folgenden Differentialgleichung:
[mm] y^{}6-y^{5}-8y^{4}-4y^{2}-48y^{2}=0
[/mm]
Hinweis: y(t) = [mm] e^{2it} [/mm] ist eine Lesung.
Meine Lösung:
1) Char. Gleichung bestimmen:
[mm] x^{6}-x^{5}-8x^{4}-4x^{3}-48x^{2}=0
[/mm]
2) Nullstellen finden: (Via Polynomdivision)
[mm] x_{1,2}=0 x_{3}=-3 x_{4}=4 x_{5,6}=+/- [/mm] 2i
3) Ansätze aus Liste ablesen:
[mm] \Rightarrow [/mm] allg. Lösung: y(t)= [mm] c_{1}+c_{2}t+c_{3}e^{-3t}+c_{4}e^{4t}+c_{5}sin(2t)+c_{6}cos(2t)
[/mm]
Nun steht ja im Hinweis: [mm] e^{2it} [/mm] sei eine Lösung, wozu brauch ich das??? Sollte ich dies in meine Lösung einbringen?
Liebe Grüsse
Babybel
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Hallo Babybel73,
> Hallo zusammen
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> Habe soeben folgende Aufgabe lösen wollen:
> Bestimmen Sie die allgemeine Loesung der folgenden
> Differentialgleichung:
> [mm]y^{}6-y^{5}-8y^{4}-4y^{2}-48y^{2}=0[/mm]
> Hinweis: y(t) = [mm]e^{2it}[/mm] ist eine Lesung.
>
> Meine Lösung:
> 1) Char. Gleichung bestimmen:
> [mm]x^{6}-x^{5}-8x^{4}-4x^{3}-48x^{2}=0[/mm]
>
> 2) Nullstellen finden: (Via Polynomdivision)
> [mm]x_{1,2}=0 x_{3}=-3 x_{4}=4 x_{5,6}=+/-[/mm] 2i
>
> 3) Ansätze aus Liste ablesen:
> [mm]\Rightarrow[/mm] allg. Lösung: y(t)=
> [mm]c_{1}+c_{2}t+c_{3}e^{-3t}+c_{4}e^{4t}+c_{5}sin(2t)+c_{6}cos(2t)[/mm]
>
> Nun steht ja im Hinweis: [mm]e^{2it}[/mm] sei eine Lösung, wozu
> brauch ich das??? Sollte ich dies in meine Lösung
> einbringen?
Nein.
Betrachtest Du die Lösungen nur an Hand der Nullstellen,
so ergibt sich:
[mm]c_{1}+c_{2}t+c_{3}e^{-3t}+c_{4}e^{4t}+k_{5}e^{2i*t}+k_{6}e^{-2i*t}[/mm]
Das ist die komplexe Lösung der obigen DGL.
Da der Realteil und Imaginärteil dieser komplexen Lösung
ebenfalls die obige DGL lösen, ergibt sich schliesslich
[mm]c_{1}+c_{2}t+c_{3}e^{-3t}+c_{4}e^{4t}+c_{5}sin(2t)+c_{6}cos(2t)[/mm]
Dabei wurden die komplexen Konstanten [mm]k_{5}, \ k_{6}[/mm]
so gewählt, daß
[mm]k_{5}e^{2i*t}+k_{6}e^{-2i*t} \in \IR[/mm]
>
> Liebe Grüsse
> Babybel
Gruss
MathePower
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Hallo Mathe-Power
Um obige Aufgabe zu lösen, habe ich die mathematische Formelsammlung von Papula benutz und dort drin steht:
"....
3. Fall:
Eine einfach konjugierte komplexe Lösung [mm] x_{1,2}=a+ib [/mm] liefert den Beitrag [mm] e^{at}*(C_{1}*(sin(bt)+cos(bt)).
[/mm]
..."
Du schreibst nun aber
> [mm]c_{1}+c_{2}t+c_{3}e^{-3t}+c_{4}e^{4t}+k_{5}e^{2i*t}+k_{6}e^{-2i*t}[/mm]
>
> Das ist die komplexe Lösung der obigen DGL.
>
> Da der Realteil und Imaginärteil dieser komplexen Lösung
> ebenfalls die obige DGL lösen, ergibt sich schliesslich
>
Ist dies immer der Fall, dass der Realteil und der Imaginärteil der komplexen Lösung die DGL löst??
> [mm]c_{1}+c_{2}t+c_{3}e^{-3t}+c_{4}e^{4t}+c_{5}sin(2t)+c_{6}cos(2t)[/mm]
>
> Dabei wurden die komplexen Konstanten [mm]k_{5}, \ k_{6}[/mm]
> so
> gewählt, daß
>
> [mm]k_{5}e^{2i*t}+k_{6}e^{-2i*t} \in \IR[/mm]
Und was müsste ich nun als Lösung dieser Aufgabe hin schreiben?
Die komplexe Lösung der DGL oder aber die zweite??
Denn in der Lösung steht eben die komplexe Lösung der DGL.
Liebe Grüsse
Babybel
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Hallo Babybel73,
> Hallo Mathe-Power
>
> Um obige Aufgabe zu lösen, habe ich die mathematische
> Formelsammlung von Papula benutz und dort drin steht:
> "....
> 3. Fall:
> Eine einfach konjugierte komplexe Lösung [mm]x_{1,2}=a+ib[/mm]
> liefert den Beitrag [mm]e^{at}*(C_{1}*(sin(bt)+cos(bt)).[/mm]
> ..."
>
> Du schreibst nun aber
>
> >
> [mm]c_{1}+c_{2}t+c_{3}e^{-3t}+c_{4}e^{4t}+k_{5}e^{2i*t}+k_{6}e^{-2i*t}[/mm]
> >
> > Das ist die komplexe Lösung der obigen DGL.
> >
> > Da der Realteil und Imaginärteil dieser komplexen Lösung
> > ebenfalls die obige DGL lösen, ergibt sich
> schliesslich
> >
> Ist dies immer der Fall, dass der Realteil und der
> Imaginärteil der komplexen Lösung die DGL löst??
>
Ja, das ist immer so.
> >
> [mm]c_{1}+c_{2}t+c_{3}e^{-3t}+c_{4}e^{4t}+c_{5}sin(2t)+c_{6}cos(2t)[/mm]
> >
> > Dabei wurden die komplexen Konstanten [mm]k_{5}, \ k_{6}[/mm]
> >
> so
> > gewählt, daß
> >
> > [mm]k_{5}e^{2i*t}+k_{6}e^{-2i*t} \in \IR[/mm]
>
> Und was müsste ich nun als Lösung dieser Aufgabe hin
> schreiben?
> Die komplexe Lösung der DGL oder aber die zweite??
> Denn in der Lösung steht eben die komplexe Lösung der
> DGL.
Dann ist wohl die komplexe Lösung anzugeben.
>
> Liebe Grüsse
> Babybel
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower
Okay. Alles klar. Vielen Dank! :)
Nun versuche ich mich gerade an dieser DGL:
[mm] x'=-tx+e^{t^{2}/3}*(x^{1/3})
[/mm]
Dies ist ja eine nichtlineare DGL 1. Ordnung. Wir haben aber während der Vorlesung nie nichtlineare DGLs durchgenommen.
Welche Substitution könnte ich also vornehmen, um sie in eine lineare DGL umzuschreiben?
Liebe Grüsse
Babybel
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Hallo Babybel73,
> Hallo MathePower
>
> Okay. Alles klar. Vielen Dank! :)
>
> Nun versuche ich mich gerade an dieser DGL:
>
> [mm]x'=-tx+e^{t^{2}/3}*(x^{1/3})[/mm]
>
> Dies ist ja eine nichtlineare DGL 1. Ordnung. Wir haben
> aber während der Vorlesung nie nichtlineare DGLs
> durchgenommen.
Es handelt sich hier um eine Bernoullische DGL.
> Welche Substitution könnte ich also vornehmen, um sie in
> eine lineare DGL umzuschreiben?
Setze hier mit [mm]x\left(t\right)=\left( \ z\left(t\right) \ \right)^{\alpha}[/mm] an.
Dies führt dann für eine bestimmte Wahl von [mm]\alpha[/mm]
zu einer linearen DGL für [mm]z\left(t\right)[/mm]
>
> Liebe Grüsse
> Babybel
Gruss
MathePower
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