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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösungsgesamtheiten der folgenden Differentialgleichungen
b) <span class="math">[mm](y'')^2=(\bruch{y'}{x})^2+y'*y''' [/mm]</span> |
Bei dieser Aufgabe habe ich auch wieder versucht mit dem Ansatzverfahren vorran zu kommen,... wobei ich die Gleichung erst nach [mm] x^2 [/mm] aufgelöst habe.
[mm]\bruch{(y')^2}{(y'')^2-y'''*y'}=x^2 [/mm]
dann habe ich mit dem Ansatz
[mm]y(x)=e^{(\lambda*x)} [/mm]
weitergemacht: (sollte für die homogene Lösung sein, also =0)
[mm]\bruch{\lambda^2*e^{2*\lambda*x}}{\lambda^4*e^{2*\lambda*x}-\lambda^4e^{2*\lambda*x}} [/mm]
Da der Nenner nun aber 0 wird komme ich so wohl nicht weiter,...
Wie kann ich da besser herangehen? Bisher haben wir in der Vorlesung zu DGLs n. Ordnung nur dieses Verfahren besprochen,...
Viele Grüße
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Hallo Speedmaster,
> Bestimmen Sie die Lösungsgesamtheiten der folgenden
> Differentialgleichungen
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> b) <span class="math">[mm](y'')^2=(\bruch{y'}{x})^2+y'*y''' [/mm]</span>
>
>
> Bei dieser Aufgabe habe ich auch wieder versucht mit dem
> Ansatzverfahren vorran zu kommen,... wobei ich die
> Gleichung erst nach [mm]x^2[/mm] aufgelöst habe.
>
> [mm]\bruch{(y')^2}{(y'')^2-y'''*y'}=x^2[/mm]
> dann habe ich mit dem Ansatz
> [mm]y(x)=e^{(\lambda*x)}[/mm]
> weitergemacht: (sollte für die homogene Lösung sein,
> also =0)
>
> [mm]\bruch{\lambda^2*e^{2*\lambda*x}}{\lambda^4*e^{2*\lambda*x}-\lambda^4e^{2*\lambda*x}}[/mm]
> Da der Nenner nun aber 0 wird komme ich so wohl nicht
> weiter,...
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> Wie kann ich da besser herangehen? Bisher haben wir in der
> Vorlesung zu DGLs n. Ordnung nur dieses Verfahren
> besprochen,...
>
Wähle den Ansatz [mm]y'=x^{n}[/mm]
> Viele Grüße
Gruss
MathePower
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Habs damit nun mal versucht,...
[mm]y'(x)=x^n[/mm]
[mm]n^2*x^{2n-2}=x^{2n-2}+x^n*(n^2-n)*x^{n-2} [/mm]
wodurch ich zu
[mm](n^2-1-n^2+n)*x^{2n-2}=0[/mm]
komme.
Dieses Polynom hatt demnach eine Nullstelle bei 1.
um auf y zu kommen hab ich den Ansatz integriert
[mm]y(x)=\integral_{}^{}{x^n dx}=\bruch{x^{n+1}}{n+1}+C[/mm]
wodurch ich auf
[mm]y(x)=\bruch{x^2}{2}+C[/mm]
komme,...
Was aber irgendwie nicht so ganz hinkommen kann,...
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%5E2%3D%28y%27%2Fx%29%5E2%2By%27*y%27%27%27
Wo liegt der Fehler?
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Hallo Speedmaster,
> Habs damit nun mal versucht,...
> [mm]y'(x)=x^n[/mm]
>
> [mm]n^2*x^{2n-2}=x^{2n-2}+x^n*(n^2-n)*x^{n-2}[/mm]
>
> wodurch ich zu
>
> [mm](n^2-1-n^2+n)*x^{2n-2}=0[/mm]
> komme.
>
> Dieses Polynom hatt demnach eine Nullstelle bei 1.
> um auf y zu kommen hab ich den Ansatz integriert
>
> [mm]y(x)=\integral_{}^{}{x^n dx}=\bruch{x^{n+1}}{n+1}+C[/mm]
>
>
> wodurch ich auf
> [mm]y(x)=\bruch{x^2}{2}+C[/mm]
>
> komme,...
>
> Was aber irgendwie nicht so ganz hinkommen kann,...
>
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%5E2%3D%28y%27%2Fx%29%5E2%2By%27*y%27%27%27
>
> Wo liegt der Fehler?
>
Setzt doch einfach [mm]y'=x[/mm] in die DGL ein.
Dann wirst Du sehen, daß das auch stimmt.
Gruss
MathePower
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Okay, die Lösung stimmt sicherlich, klar... aber ist das dann auch die Lösungsgesamtheit,..?
(Sonderfall y(x)=0 eingeschlossen)
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:27 So 13.11.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
nein, es ist nur eine spezielle Lösung!
wenn du die dgl einen grad kleiner machst, also die für y'=z ansiehst hilft der ansatz [mm] z=ax*e^{cx} [/mm] für c=0 ist das die spezielle Lösung z=ax
Gruss leduart
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Jou damit komme ich dann auch auf die Lösung von Wolfram.
Kurze Frage: Wie kommt man auf diesen Ansatz? Wir haben bisher nur den Ansatz
[mm]y=e^{\lambda*x}[/mm] behandelt...
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 So 13.11.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
leider weiss ichs nicht, sicher gibts ne schöne substitution, so dass man das sieht, aber ich seh sie grad nicht. mit [mm] e^{\lambda*x} [/mm] anstz kann man nur lineare Dgl mit konstanten Koeffizienten lösen!
ich hab hier einfach erst mit x, dann mit [mm] xe^x [/mm] rumprobiert und es so "gesehen". einfach ne Erfahrung mit "einfachen" funktionen
vielleicht weiß es jemand anders!
Gruss leduart
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Hallo Speedmaster,
>
> Jou damit komme ich dann auch auf die Lösung von Wolfram.
>
>
> Kurze Frage: Wie kommt man auf diesen Ansatz? Wir haben
> bisher nur den Ansatz
> [mm]y=e^{\lambda*x}[/mm] behandelt...
>
>
Zunächst substituiert man [mm]y'=z [/mm]. Dann entsteht:
[mm]\left(z'\right)^{2}=\left(\bruch{z}{x}\right)^{2}+z*z''[/mm]
Danach substituiert mabn wiederum: [mm]z=u\left(x\right)*x[/mm]
Hier entsteht dann:
[mm]\left(u'\right)^{2}-u*u''=0[/mm]
Diese DGL ist mit einer weiteren Substitution zu lösen.
> Viele Grüße
>
Gruss
MathePower
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