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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass keine auf ganz [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] definierte Funktion gibt, die die Differentialgleichung [mm] $$x'(t)=2+((x(t))^4+\sin(x(t))$$
[/mm]
löst. |
Hallo zusammen,
ich beschäftige mich derzeit mit der oben stehenden Aufgabe, komme aber einfach nicht weiter.
Mir fehlt einfach die richtige Idee das Problem anzugehen.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.
Vielen Dank schonmal
DudiPupan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:01 Do 21.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass keine auf ganz [mm]$\mathbb{R}$[/mm] definierte
> Funktion gibt, die die Differentialgleichung
> [mm]x'(t)=2+((x(t))^4+\sin(x(t))[/mm]
> löst.
ich weiß nicht, ob das was bringt, aber nur mal rein "spaßeshalber" kann man
ja mal rechnen:
Nehmen wir an, [mm] $x=x(t)\,$ [/mm] wäre doch wie oben gefordert. Dann gilt
[mm] $(x(t))^4=x'(t)-2-\sin(x(t))$ [/mm] für alle $t [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Daraus folgt
[mm] $4(x(t))^3*x'(t)=x''(t)-\cos(x(t))*x'(t)$ [/mm] für alle $t [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
(Insbesondere: Da ja [mm] $(x(t))^4$ [/mm] differenzierbar ist, ergibt sich durch die
obige Gleichheit auch - weil $x [mm] \mapsto [/mm] 2$ und $x [mm] \mapsto \sin(x(t))$ [/mm] differenzierbar
sind, dass dann [mm] $x\,$ [/mm] zweimal diff'bar ist!)
Vielleicht kann man das ja in die Ursprungsgleichung einsetzen - etwa nach
$x'(t)$ erst auflösen, und dann einsetzen (und wenn es dann noch keinen
ersichtlichen Widerspruch gibt, schauen, ob man den vielleicht
hinbekommt, wenn man "sowas" nur oft genug macht!)
P.S. Damit die Ausgangs-DGL überhaupt Sinn macht, muss eh [mm] $x\,$ [/mm] auf [mm] $\IR$
[/mm]
als diff'bar gefordert werden!
P.P.S. Keine Garantie, dass das wirklich auch zielführend ist. Es wäre nur
so mein erster Gedanke, um "naiv" an die Aufgabe ranzugehen!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Sa 23.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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