DGL per Laplace-Transformation < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Fr 14.01.2005 | | Autor: | ibot |
Hi!
Ich häng grad an einer DGL die ich per Variation der Konstanten lösen soll. Das ist leider schon wieder ne ganze Weile her dass ich sowas das letzte mal gemacht hab :-(
Die DGL ist: y'(t)-3y(t)=t*exp(t)
Allerdings kommt mir schon die Lösung der homogenen DGL merkwürdig vor. Ich hab raus [mm] y=(d*exp(t))^3
[/mm]
Wenn ich das dann ableite und wieder ein die ursprüngliche DGL einsetzte komm ich nicht weiter weil sich fast nichts rauskürzen lässt. Kann mir jemand helfen wie ich da weiter vorgehen muss? ODer ob mein Ansatz falsch ist?
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
der Ansatz ist nicht ganz richtig.
Besser ist der Ansatz [mm]y\left( t \right)\; = \;d\left( t \right)\;e^{3t}[/mm].
Wird dieser Ansatz in die DGL eingesetzt, dann fällt so einiges weg.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Fr 14.01.2005 | | Autor: | ibot |
Super, danke damit hab ich's rausgekriegt 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Fr 14.01.2005 | | Autor: | ibot |
Hallo nochmal,
diesmal geht es auch um DGL's aber Lösung über Laplace-Transformation.
Und zwar soll y''+2y'-3y=2*t mittels Laplace-Transformation gelöst werden.
Wenn ich in den Bildbereich übergehe, erhalte ich für [mm] Y(s)=(2+s^3+2s^2)/(s^2(s^2+2s-3))
[/mm]
Jetzt komm ich leider bei der Rücktransformation nicht weiter.
Wie muss ich da ansetzten? Den Nenner könnte ich in s, [mm] s^2 [/mm] und [mm] s^2+2s-3 [/mm] zerlegen, allerdings muss ich bei der Partialbruchzerlegung einen Fehler haben da meine Lösung die DGL nicht erfüllt.
Y(s) habe ich nun folgendermaßen zerlegt:
[mm] -9/(2*s)-2/(3*s^2)+(11/9)*(s+1)/((s+1)^2-4)+(17/18)*2/((s-1)^2-4)
[/mm]
Damit kann ich nun die einzelnen Korrespondenzen ablesen:
Meine Lösung für y(t) ist:
-9/2-(2/3)*t+(11/9)*cosh(2*t)+(17/18)sinh(2*t)
Leider kann ich meinen Fehler nicht finden
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Hallo idot,
Es ist [mm]s^2 \; + \;2s\; - \;3\; = \;\left( {s + 1} \right)\;\left( {s - 3} \right)
[/mm].
Hieraus folgt die Partialbruchzerlegung:
[mm]Y\left( s \right)\; = \;\frac{{2\; + \;2s^2 \; + \;s^3 }}{{s^2 \;\left( {s^2 \; + \;2s\; - \;3} \right)}}\; = \;\frac{A}{s}\; + \;\frac{B}{{s^2 }}\; + \;\frac{C}{{s + 3}}\; + \;\frac{D}{{s - 1}}[/mm]
Dann gilt für die Lösung:
[mm]y\left( t \right)\; = \;A\;\mathfrak{L}^{ - 1} \left\{ {\frac{1}
{s}} \right\}\; + \;B\;\mathfrak{L}^{ - 1} \left\{ {\frac{1}
{{s^2 }}} \right\}\; + \;C\;\mathfrak{L}^{ - 1} \left\{ {\frac{1}
{{s + 3}}} \right\}\; + \;D\;\mathfrak{L}^{ - 1} \left\{ {\frac{1}
{{s - 1}}} \right\}[/mm]
Gruss
MathePower
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