DGL und Nullstellen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo.
Folgende DGL:
[mm] y''''-2ay'''+3y''=(x^{3}+1)*e^{2x}
[/mm]
So, wie bei DGLs gewohnt, stelle ich hier erstmal das charakteristische Polynom für die homogene DGL auf, das da lautet:
[mm] \lambda^{4}-2a\lambda^{3}+3\lambda^{2}=0
[/mm]
So einige von meiner Lerngruppe beharren auf der Meinung man darf die [mm] 3\lambda^{2} [/mm] mit "-"auf die andere Seite bringen und dann durch [mm] \lambda^{2} [/mm] kürzen, was [mm] \lambda^{2}-2a\lambda+3=0 [/mm] zum Ergebnis hätte.
Ich behaupte das darf man nicht, richtig??? Sonst bekommt man doch ein Problem mit den Nullstellen oder nicht?
Ich bin der Meinung man klammert [mm] \lambda^{2} [/mm] aus und bekommt [mm] \lambda^{2}(\lambda^{2}-2a\lambda+3)=0
[/mm]
So, nun meine eigentlich Frage: Da im Polynom [mm] \lambda^{4} [/mm] vorkommt muß es doch 4 Nullstellen geben (wegen der 4 als Potenz) oder nicht ?
Eine Nullstelle sehe ich in [mm] \lambda1=0 [/mm] und zwei weitere in [mm] \lambda2,3= [/mm] a [mm] \pm\wurzel{a^{2}-3}
[/mm]
Wo bitte ist die 4. Nullstelle und wie berechne ich die?
Unser Prof hat als Lösung für diese Aufgabe 3 Fallunterscheidungen gemacht, einmal für die Summe unter der Wurzel = 0 ( [mm] a=\pm \wurzel{3} [/mm] ),
einmal für die Summe unter der Wurzel > 0 ( a > [mm] \wurzel{3} [/mm] ) und einmal für die Summe unter Wurzel < 0 ( a < [mm] \wurzel{3} [/mm] )
Aus seinen Lösungen für die homogene DGL geht klar hervor das er 4 Nullstellen haben muß, ich finde die vierte aber nicht.
Und wie mache ich hier den Ansatz für ne Lösung der Störfunktion?
MFG
Patrick
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Woher weiß ich das da ne Doppelnullstelle bei Null ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Di 12.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Patrick!
Das siehst Du daran, weil wir ja den Faktor [mm] $\lambda^{\red{2}}$ [/mm] haben (also an dem "hoch 2"), den wir ausklammern können !
Bei [mm] $\lambda^3$ [/mm] würde es sich halt um eine dreifache Nullstelle handeln etc.
Ganz ausführlich geschrieben, lautet Dein charakteristisches Polynom doch:
[mm] $\red{\lambda} [/mm] * [mm] \blue{\lambda} [/mm] * [mm] \left(\lambda^2 - 2a*\lambda + 3\right) [/mm] \ = \ 0$
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:55 Di 12.07.2005 | | Autor: | Patrick_T |
Danke Dir.
Dachte mir schon sowas in der Art.
Wünsche Dir noch nen schönen Abend.
Gruß Patrick
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