DGL y'=1/(x+y) < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:07 So 15.12.2013 | | Autor: | arosebi |
| Aufgabe | | Gesucht: allgemeine Lösung der DGL [mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{1}{x+y}. [/mm] |
Ich suche die Lösung für die DGL y'=1/(x+y).
Ich habe verschiedene Ansätze ausprobiert und erhalle immer eine Lösung mit e^-y - y, die ich nicht nach y aufgelöst bekomme.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Du erhältst eine implizite Funktion:
Setze t = x+y, wobei y und damit auch t als Fkt. von x aufgefasst werden.
Dann ist t' = x' + y' = 1 + 1/(x+y) <weil y' = 1/(x+y)>
t' = 1+1/t = (t+1)/t <weil t=x+y>
damit: dt/dx = (t+1)/t,
Variablentrennung:
[mm] \bruch{t}{t+1}dt [/mm] = dx, integriert:
[mm] \integral_{t_0}^{t_1}{\bruch{t}{t+1}dt} [/mm] = [mm] \integral_{t_0}^{t_1}{\bruch{t+1-1}{t+1}dt} [/mm] = [mm] \integral_{t_0}^{t_1}{1-\bruch{1}{t+1}dt} [/mm] = [mm] \integral_{x_0}^{x_1}{dx}
[/mm]
[mm] t_1-ln(t_1+1) [/mm] - [mm] (t_0-ln(t_0+1) [/mm] = [mm] x_1 [/mm] - [mm] x_0
[/mm]
[mm] x_1+y_1 [/mm] - [mm] ln(x_1+y_1+1) -(x_0+y_0 [/mm] - [mm] ln(x_0+y_0+1)) [/mm] = [mm] x_1 [/mm] - [mm] x_0
[/mm]
[mm] y_1 [/mm] = [mm] ln(x_1+y_1+1)+y_0 [/mm] - [mm] ln(x_0+y_0+1)
[/mm]
bzw. y = ln(x+y+1)+C
bzw [mm] e^y [/mm] = a(x+y+1)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:49 So 15.12.2013 | | Autor: | arosebi |
Ich habe jetzt etwas anders substituiert:
u=1/(x+y) => [mm] u'=(1+y')/(x+y)^2 [/mm] => [mm] u'=(1+y')*u^2;
[/mm]
Geteilt durch [mm] u^2 [/mm] und Trennung der Variablen:
[mm] \integral_{}^{}{1/u^2 dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{dx} [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{y' dx}
[/mm]
=> -1/u = x + y + c
=> -(x+y) = x + y + c
=> y = -x - 1/2 * c
Für c=2 funktioniert die Probe der DGL, allerdings nicht für ein beliebiges c.
Kann man meine Lösung so stehen lassen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:52 So 15.12.2013 | | Autor: | arosebi |
Sorry, ich meinte natürlich:
[mm] \integral_{}^{}{1/u^2 du} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{dx} [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{y' dx}
[/mm]
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Du hast beim Ableiten von u einen Vorzeichenfehler gemacht:
[mm] u'=\red{-}(1+y')/(x+y)^2 [/mm]
Damit erhältst du nun
$ [mm] -\integral_{}^{}{1/u^2 du} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{}^{}{dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{}^{}{y' dx} [/mm] $
und daraus 1/u = x + y
(aber das wusstest du ja schon - oder?)
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