DLG 3. Ordnung - char. Gl. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich versuche gerade eine Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten zu lösen. Leider weicht meine Lösung von der Musterlösung in einem Punkt ab.
Aufgabe: Man löse die homogene lineare DLG. 3. Ordnung mit konstanten Koeffizienten:
[mm] y^{'''}-2y^{''}-5y^{'}+6y=0
[/mm]
Meine Lösung:
Aufstellen der charakteristischen Gleichung:
[mm] \lambda^{3}-2\lambda^{2}-5\lambda+6=0
[/mm]
Jetzt rate ich die Nullstelle [mm] \lambda_{1} [/mm] = 1 und führe eine Polynomdivision durch.
[mm] \lambda^{3}-2\lambda^{2}-5\lambda+6 [/mm] : [mm] (\lambda [/mm] - 1) = [mm] \lambda^{2} [/mm] - [mm] \lambda [/mm] - 6
Jetzt rate ich eine weitere Nullstelle: [mm] \lambda_{2} [/mm] = 3 und führe wieder eine Polynomdivision durch:
[mm] \lambda^{2} [/mm] - [mm] \lambda [/mm] - 6 : [mm] (\lambda [/mm] - 3) = [mm] \lambda [/mm] - 2
Jetzt habe ich die charakterischtische Gleichung in linearfaktoren aufgespaltet:
[mm] \lambda^{3}-2\lambda^{2} [/mm] - 5 [mm] \lambda [/mm] + 6 = [mm] (\lambda [/mm] - [mm] 1)(\lambda [/mm] - [mm] 3)(\lambda [/mm] - 2)
Prima. Ich habe also die Nullstellen [mm] \lambda_{1} [/mm] = 1, [mm] \lambda_{2} [/mm] = 3 und [mm] \lambda_{3} [/mm] = 2.
Im Buch mit dem ich arbeite stehen für die Nullstellen der charakteristischen Gleichung die jeweiligen Basislösungen:
Nullstellen: 1, -2, 3
Basislösungen: [mm] e^{x}, e^{-2x}, e^{3x}
[/mm]
Diese Basislösungen wurden in der Musterlösung verwendet. Allerdings ist -2 doch keine Nullstelle der charakteristischen Gleichung. Die Basislösung für 2 (meine Nullstelle) wäre laut Tabelle [mm] e^{2x} [/mm] und nicht [mm] e^{-2x}.
[/mm]
Wo ist mein Denkfehler?
Danke euch.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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-2 ist natürlich eine Nullstelle. Tomaten auf den Augen gehabt. Mal wieder.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 Sa 03.07.2010 | | Autor: | Kimmel |
> Jetzt rate ich eine weitere Nullstelle: [mm]\lambda_{2}[/mm] = 3 und
> führe wieder eine Polynomdivision durch:
>
> [mm]\lambda^{2}[/mm] - [mm]\lambda[/mm] - 6 : [mm](\lambda[/mm] - 3) = [mm]\lambda[/mm] - 2
Hier liegt der Fehler.
Es muss [mm]\lambda + 2[/mm] rauskommen, wenn die Polynomdivsion durchgeführt wird.
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