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| Aufgabe | | Stellen Sie Differentialgleichungen für die folgenden Kurvenscharen auf und ermitteln Sie in einfachen Fällen die Eigenschaften der Kurven, die durch diese Gleichung ausgedrückt werden. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Dies ist meine erste Frage in diesem Forum, daher bitte ich um Verzeihung, falls ich sie in dem falschen Unterforum stelle. Ich fand nur unter Schulmathematik keinen entsprechenden Eintrag für Differentialgleichungen.
Zur Einführung des Themas war unser Lehrer zwei Wochen lang ausgefallen, und wir sollten uns anhand von Lehrblättern das Thema selbst erarbeiten. Mein Problem besteht darin, dass ich mir nicht sicher bin den Zweck ("Natur" oder "Funktion") von Differentialgleichungen genügend erfasst zu haben.
In dem vorliegenden Aufgabe sollten wir zu einer Reihe von Kurvenscharen die entsprechende Differentialgleichung aufstellen. Folgendes Beispiel behandelt die Kreisfunktion:
[mm]x^{2} + y^{2} = a^{2}[/mm]
Dies habe ich mit beidseitiger Ableitung versucht:
[mm]\gdw 2*x + 2*y'*y = 0
\gdw x + y'*y = 0[/mm]
Nach meinem Verständnis handelt es sich bei einer Differentialgleichung um die Zusammenhangsdarstellung zwischen einer Funktion, deren Variable(n) und Ableitung(en). Somit dürfte mein Ergebnis die gewünschte Lösung sein?
Was mich peinlicherweise verwirrt ist folgender Fall:
[mm]y = ax[/mm]
Nach Ableitung ergibt dies:
[mm]\gdw y' = a[/mm]
Wäre das dann schon die Differentialgleichung? Oder sollte man a entsprechend in die Ausgangsgleichung einsetzen:
[mm]\Rightarrow y = y'*x[/mm]
Könnte man allgemein sagen, dass eine Differentialgleichung auf jeden Fall [mm] y(x_1,x_2,..), x_1,x_2,.. [/mm] und y' (oder andere Ableitungen von y) enthalten muss?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 So 19.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die einfachst DGL hast du schon, sie ist wirklich y`=const
bzw. f'(x)=a
mit der Lösung f(x)=ax+b
wenn du also die lösung f(x)=a*x) willst musst du noch die Anfangsbedingung f(0)=0 dazu angeben.
differentialgleichungen erster Ordnung sehen ganz allgemein so aus:F(x,y,y')=0
aber die Funktion darf beliebig einfach sein!
also F(x,y,y')=F(y,y') etwa oder eben F(x,y') nur y' muß vorkommen sonst ist es keine Dgl.
Dgl die man mit Schulmitteln lösen kann sin entweder linear, ay'+b*y-g(x)=0 im einfacheren fall dabei kann g(x)=0 auch vorkommen.
nächster fall y'-g(x)*h(y)=0
viel kompliziertere werdet ihr wohl nicht lösen müssen (bzw. können)
Dgl höherer Ordnung hängen dann noch von y'' y''' usw ab.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:01 Di 21.02.2012 | | Autor: | rotegirte |
Danke! Das ist jetzt um einiges verständlicher
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