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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:38 Di 18.08.2015 | | Autor: | Hias |
| Aufgabe | Ich möchte zeigen, dass folgende 2-Form symplektisch ist.
[mm] -\|\Pi\|(\vektor{\partial_1 F \\ \partial_2 F \\ 0 }^T\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 }\vektor{\partial_1 G \\ \partial_2 G \\ 0 })=:\beta(F,G)
[/mm]
wobei [mm] \partial_i [/mm] F [mm] =\bruch{\partial F}{\partial x_i}. [/mm] |
Ich möchte nun die Geschlossenheit zeigen, also [mm] d(\beta(F,G))=0
[/mm]
die linke obere 2x2 Matrix definiert mir die standart-symplektische Form und weil mein [mm] \beta [/mm] im Endeffekt nichts anderes ist, wird auch diese Form symplektisch sein.
Wenn man nur die standart-symplektische Form betrachtet, kann man es auch als
[mm] $dx\wedge [/mm] dy$ schreiben. Betrachtet man nun [mm] $d(dx\wedge dy)=ddx\wedge dy+dx\wedge [/mm] ddy=0$, da [mm] d^2=0 [/mm] erfüllt.
Leider habe ich mit Dachprodukte so meine Probleme, da sie immer vorausgesetzt werden, aber nie in einer Vorlesung behandelt wurden. Daher kann ich mein [mm] \beta [/mm] auch nicht in ein solches Dachprodukt umwandeln und die Argumentation von oben verwenden.
Ich hatte mir überlegt es von Hand nachzurechnen, aber komme auf keinen grünen Zweig. Ich hatte folgendermaßen angesetzt:
[mm] d(\beta(F,G))=d(\partial_1F\partial_2G-\partial_1G\partial_2F). [/mm] Das d ist ja die totale Ableitung wenn ich das richtig verstanden habe, also hätte ich mit Produktregel folgendes bekommen
[mm] (\partial_{11}F\partial_2G+\partial_1F\partial_{21}G-\partial_{11}G\partial_2F-\partial_1G\partial_{21}F)dx_1+(\partial_{12}F\partial_2G+\partial_1F\partial_{22}G-\partial_{12}G\partial_2F-\partial_1G\partial_{22}F)dx_2
[/mm]
Ich sehe aber nicht, dass das 0 wäre.
Ich habe auch versucht, ein Dachprodukt aufzustellen die mein [mm] \beta [/mm] beschreibt, aber ich finde keine Sätze, die mir da helfen würden.
Wäre nett, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte
MfG
Hias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 20.08.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:47 Fr 21.08.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Ich möchte zeigen, dass folgende 2-Form symplektisch ist.
> [mm]-\|\Pi\|(\vektor{\partial_1 F \\ \partial_2 F \\ 0 }^T\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 }\vektor{\partial_1 G \\ \partial_2 G \\ 0 })=:\beta(F,G)[/mm]
>
> wobei [mm]\partial_i[/mm] F [mm]=\bruch{\partial F}{\partial x_i}.[/mm]
Hallo,
also, falls noch Interesse besteht, ich habe zwar nicht alles nachgerechnet, aber vlt. ne gute Idee ;)
Nochmal ne Frage: Was soll [mm] $-\|\Pi\|$ [/mm] sein? Zumal das nicht weiter auftritt. Der Rest ist mir ziemlich klar.
>
>
> Ich möchte nun die Geschlossenheit zeigen, also
> [mm]d(\beta(F,G))=0[/mm]
> die linke obere 2x2 Matrix definiert mir die
> standart-symplektische Form und weil mein [mm]\beta[/mm] im
> Endeffekt nichts anderes ist, wird auch diese Form
> symplektisch sein.
> Wenn man nur die standart-symplektische Form betrachtet,
> kann man es auch als
> [mm]dx\wedge dy[/mm] schreiben. Betrachtet man nun [mm]d(dx\wedge dy)=ddx\wedge dy+dx\wedge ddy=0[/mm],
> da [mm]d^2=0[/mm] erfüllt.
Ich mache es auch 'mal ohne Differentialformen.
> Leider habe ich mit Dachprodukte so meine Probleme, da sie
> immer vorausgesetzt werden, aber nie in einer Vorlesung
> behandelt wurden. Daher kann ich mein [mm]\beta[/mm] auch nicht in
> ein solches Dachprodukt umwandeln und die Argumentation von
> oben verwenden.
Hmm, da muesste es doch einiges geben? Wikipedia?
Auf jeden Fall "Analysis II" von Haro Heuser.
> Ich hatte mir überlegt es von Hand nachzurechnen, aber
> komme auf keinen grünen Zweig. Ich hatte folgendermaßen
> angesetzt:
> [mm]d(\beta(F,G))=d(\partial_1F\partial_2G-\partial_1G\partial_2F).[/mm]
Hier wird es nun spannend: Wenn man sich [mm] $\beta$ [/mm] genau anschaut, ist das doch nichts anderes als ne niederdimensionale Rotation. In 3D gilt doch
$ [mm] \vec{\nabla}\times\vektor [/mm] { [mm] f_1 \\ f_2 \\ f_3} [/mm] = [mm] \vektor {\partial_x \\ \partial y \\ \partial_z} \times \vektor {f_1 \\ f_2 \\ f_3} [/mm] = [mm] \vektor {\partial_y f_3 - \partial_z f_2 \\ \partial_z f_1 - \partial_x f_3 \\ \partial_x f_2 - \partial_y f_1}$
[/mm]
Dein [mm] $\beta$ [/mm] aehnelt stark einer dieser drei Komponenten.
> Das d ist ja die totale Ableitung wenn ich das richtig
Ist das totale Differential einer Funktion [mm] $\IR^n \rightarrow \IR$ [/mm] nicht gerade der Gradient.
> verstanden habe, also hätte ich mit Produktregel folgendes
> bekommen
>
> [mm](\partial_{11}F\partial_2G+\partial_1F\partial_{21}G-\partial_{11}G\partial_2F-\partial_1G\partial_{21}F)dx_1+(\partial_{12}F\partial_2G+\partial_1F\partial_{22}G-\partial_{12}G\partial_2F-\partial_1G\partial_{22}F)dx_2[/mm]
> Ich sehe aber nicht, dass das 0 wäre.
Hier komme ich auch gerade nicht weiter, aber:
Wenn man [mm] $\beta$ [/mm] als Rotation auffasst und die totale Ableitung als Gradient, dann muesste das doch auf sowas wie " Rot Grad = 0" hinauslaufen? (Ist die Reihenfolge von Rot und Grad hier entscheidend?)
>
> Ich habe auch versucht, ein Dachprodukt aufzustellen die
> mein [mm]\beta[/mm] beschreibt, aber ich finde keine Sätze, die
> mir da helfen würden.
> Wäre nett, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte
> MfG
> Hias
Vlt. hilft das irgendwie,
Gruss,
Chris
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