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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Darstellende Matrix
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Darstellende Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:06 So 30.08.2020
Autor: Voxxy

Aufgabe
Sei q quadratfrei. Wir wählen für [mm] \mathbb{Q}(\sqrt{d}) [/mm] die Basis [mm] 1,\sqrt{d}. [/mm] Dann ist die darstellende Matrix für die Multiplikation mit [mm] \alpha [/mm] = a+ [mm] b\sqrt{d} [/mm] mit a,b [mm] \in \mathbb{Q} [/mm] gegeben durch [mm] \pmat{ a & bd \\ b & a } [/mm]

Guten Tag,

ich habe eine Frage zu obigen Beispiel. Und zwar kann ich nicht nachvollziehen wie genau die im Beispiel genannte darstellende Matrix sich ergibt. Ich habe bereits mehrere Videos geguckt bzgl. darstellender Matrizen, aber kann das mit den beiden Basen und der Abbildung der Basisvektoren irgendwie nicht in Einklang bringen.

Viele Grüße
Voxxy

        
Bezug
Darstellende Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:30 So 30.08.2020
Autor: angela.h.b.


> Sei q quadratfrei. Wir wählen für [mm]\mathbb{Q}(\sqrt{d})[/mm]
> die Basis [mm] B=\{1,\sqrt{d} \}. [/mm]

Dann ist die darstellende Matrix für

> die Multiplikation mit [mm]\alpha[/mm] = a+ [mm]b\sqrt{d}[/mm] mit a,b [mm]\in \mathbb{Q}[/mm]
> gegeben durch [mm]\pmat{ a & bd \\ b & a }[/mm]
> Guten Tag,

>

> ich habe eine Frage zu obigen Beispiel. Und zwar kann ich
> nicht nachvollziehen wie genau die im Beispiel genannte
> darstellende Matrix sich ergibt.

Hallo,

in den Spalten der darstellenden Matrix stehen die Bilder der Basisvektoren in Koordinaten bzgl der jeweiligen Basis.

Der Basisvektor 1 wird abgebildet auf [mm] 1*(a+b\wurzel{d})=a+b\wurzel{d}=a*1+b*\wurzel{d}=\vektor{a\\b}_B [/mm]

[mm] \wurzel{d} [/mm] wird abgebildet auf [mm] \wurzel{d}*(a+b\wurzel{d})=bd*1+a*\wurzel{d}=\vektor{bd\\a}. [/mm]

LG Angela

Bezug
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