Darstellende Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:43 Di 17.12.2013 | | Autor: | Mino1337 |
| Aufgabe | Gegeben seien die Basen:
B1={4x²-x+2, 2, x}
B2={2x², x²-x, 1}
von [mm] R\le2[x] [/mm] sowie die lineare Abbildung [mm] L:R\le2[x] \to R\le2[x] [/mm] gegeben durch ihre darstellende Matrix bezüglich der Basis B1,
LB1= [mm] \vmat{ 3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 }
[/mm]
a) Bestimmen sie KB1^-1 und KB2
b) Bestimmen sie LB2
c) Berechnen Sie L(p) für das Polynom p=-4x²+2x-3 Elemente von [mm] R\le2[x] [/mm] |
Hallo, ich bin verzweifelt. Ich sitze seid mehreren Tagen an dieser HA und habe kaum etwas vorzuweisen.
Ich habe KB2 errechnet indem ich
r(2x²)+s(x²-x)+t(1)= ax²+bx+c
gelöst habe
r = [mm] \bruch{a}{2}
[/mm]
s = [mm] \bruch{bx}{x²+x}
[/mm]
t = c
dann habe ich KB1 errechnet genauso es kam raus:
r = [mm] \bruch{ax²}{4x²-x+2}
[/mm]
s = [mm] \bruch{bx}{2}
[/mm]
t = [mm] \bruch{c}{x}
[/mm]
Die gleichungen habe ich mit wolfram alpha überprüft es Funktioniert.
Nun wollte ich aus KB1 rückwärts rechnen bekomme dann aber genau das heraus:
r(4x²-x+2)+s(2)+t(x)
Das kann nicht stimmen denke ich.
Das weitere vorgehen also b kann ich noch nicht einmal erahnen und c wird sich wenn ich b lösen kann denke ich ergeben.
Danke für eure Hilfe sie ist dringend benötigt ...
Tut mir wirklich leid das die Zeit so kurz ist ich habe nurnoch den halben Tag heute ...
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:[http://www.onlinemathe.de/forum/Koordinatenabbildung-bei-Polynombasis-bestimmen]
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> Gegeben seien die Basen:
> B1={4x²-x+2, 2, x}
> B2={2x², x²-x, 1}
> von [mm]R\le2[x][/mm] sowie die lineare Abbildung [mm]L:R\le2[x] \to R\le2[x][/mm]
> gegeben durch ihre darstellende Matrix bezüglich der Basis
> B1,
>
> LB1= [mm]\vmat{ 3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 }[/mm]
>
> a) Bestimmen sie KB1^-1 und KB2
> b) Bestimmen sie LB2
> c) Berechnen Sie L(p) für das Polynom p=-4x²+2x-3
> Elemente von [mm]R\le2[x][/mm]
> Hallo, ich bin verzweifelt. Ich sitze seid mehreren Tagen
> an dieser HA und habe kaum etwas vorzuweisen.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Die Koordinatenabbildung [mm] K_{B_2} [/mm] ordnet jedem Polynom des [mm] \IR_{\le 2} [/mm] seinen Koordinatenvektor bzgl. der Basis [mm] B_2 [/mm] zu.
Es ist [mm] K_{B_2}(r(2x²)+s(x²-x)+t(1))=\vektor{r\\s\\t},
[/mm]
und Du sollst nun sagen, welcher Vektor [mm] ax^2+bx+c [/mm] zugeordnet wird.
>
> Ich habe KB2 errechnet indem ich
>
> r(2x²)+s(x²-x)+t(1)= ax²+bx+c
>
> gelöst habe
Die Idee ist völlig richtig: [mm] ax^2+bx+c [/mm] muß als Linearkombination der Vektoren aus [mm] B_2 [/mm] geschrieben werden.
> [mm] r(2x^2)+s(x^2-x)+t(1)= ax^2+bx+c
[/mm]
<==>
[mm] (2r+s)x^2+(-s)x+t*1=ax^2+bx+c
[/mm]
Koeffizientenvergleich liefert
2r+s=a
-s=b
t=c
<==>
t=c
s=-b
[mm] r=\bruch{a+b}{2}.
[/mm]
Also ist [mm] ax^2+bx+c=\bruch{a+b}{2}(2x^2)+(-b)(x^2-x)+c*1,
[/mm]
und damit weißt Du
[mm] K_{B_2}:\IR_{\le 2}\to \IR^3
[/mm]
[mm] K_{B_2}(ax^2+bx+c):=\vektor{\bruch{a+b}{2}\\-b\\c}.
[/mm]
[mm] K_{B_1}^{-1} [/mm] ist die Abbildung, welche jedem Koordinatenvektor bzgl. [mm] B_1 [/mm] das zugehörige Polynom des [mm] \IR_{\le 2} [/mm] zuordnet.
[mm] K_{B_1}^{-1}:\IR^3 \to \IR_{\le 2}
[/mm]
[mm] K_{B_1}^{-1}(\vektor{a\\b\\c})=a*(4x^2-x+2)+b*2+c*x=...*x^2+...*x+...*1.
[/mm]
> Das weitere vorgehen also b kann ich noch nicht einmal
> erahnen
Du sollst hier [mm] L_{B_2} [/mm] bestimmen.
[mm] L_{B_2} [/mm] ist die Darstellungsmatrix von L bzgl. der Basis [mm] B_2.
[/mm]
In ihren Spalten stehen die Bilder der Koordinatenvektoren von [mm] B_2 [/mm] in Koordinaten bzgl. [mm] B_2.
[/mm]
In der ersten Spalte steht also EDIT: [mm] K_{B_2}(L(\red{2x^2})),
[/mm]
in der zweiten Spalte ...,
in der dritten Spalte ... .
Wie aber bekommt man [mm] L(\red{2x^2}) [/mm] usw.?
Wir kennen die Darstellungsmatrix von L bzgl. [mm] B_1.
[/mm]
Diese "verarbeitet" Koordinatenvektoren und liefert auch solche.
Anleitung:
wandle [mm] \red{2x^2} [/mm] in einen Koordinatenvektor bzgl. [mm] B_1 [/mm] um, berechne also [mm] K_{B_1}(\red{2x^2}).
[/mm]
Berechne nun [mm] L_{B_1}*K_{B_1}(\red{2x^2}).
[/mm]
Du erhältst einen Vektor, welcher Koordinatenvektor bzgl. [mm] B_1 [/mm] ist.
Wandle ihn in das zugehörige Polynom um, berechne also [mm] K_{B_1}^{-1}(L_{B_1}*K_{B_1}(\red{2x^2})).
[/mm]
Das Polynom welches Du bekommst, ist das Bild von [mm] \red{2x^2}, [/mm] also [mm] L(\red{2x^2}).
[/mm]
Berechne davon den Koordinatenvektor bzgl. [mm] B_2.
[/mm]
Damit hast Du dann die erste Spalte der gesuchten Matrix.
Das Spielchen dann auch für die beiden anderen Spalten.
LG Angela
und c wird sich wenn ich b lösen kann denke ich
> ergeben.
>
> Danke für eure Hilfe sie ist dringend benötigt ...
> Tut mir wirklich leid das die Zeit so kurz ist ich habe
> nurnoch den halben Tag heute ...
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten
> gestellt:[http://www.onlinemathe.de/forum/Koordinatenabbildung-bei-Polynombasis-bestimmen]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Di 17.12.2013 | | Autor: | Mino1337 |
Hallo,
Danke Angela für die umfassende Antwort, ich häte diesbezüglich noch eine frage:
Ich habe nun für KB^-1
[mm] \vektor{4a \\ -a+c \\ 2a+2b}
[/mm]
raus.
Nun hänge ich dabei ein Polynom als Vektor darzustellen bezüglich meiner Basis.
4x²-x+2 ist das Polynom und nun muss ich dieses als Vektor bzgl. der Basis darstellen so das :
r(4x²-x+2)+s(2)+t(x)=4x²-x+2 ist ?
Das wäre dann doch [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] sowie für die anderen [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
oder wars anders gemeint so dass:
4(4x²-x+2)+-1(2)+2(x)=ax²+bx+c ?
Ich tu mich etwas schwer damit ich weis, es ist mir klar das es das selbe vorgehen ist wie bei KB2 nur mit der B1 Basis aber was ich für r,s,t einsetze wenn ich dieses Polynom umwandeln will weiss ich gerade nicht.
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> Hallo,
> Danke Angela für die umfassende Antwort, ich häte
> diesbezüglich noch eine frage:
>
> Ich habe nun für KB^-1
>
> [mm]\vektor{4a \\ -a+c \\ 2a+2b}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> raus.
Hallo,
K_{B_1}^{-1} ist doch eine Abbildung, welche aus dem \IR^3 in den \IR_{\le 2}[x] abbildet,
also
K_{B_1}^{-1}: \IR^3 \to \IR_{\le 2}[x] .
Wenn Du nun sagen willst, wie die funktioniert, mußt Du eine Abbildungsvorschrift angeben:
K_{B_1}^{-1}(\vektor{a\\b\\c}):= ...
Da, wo die Punkte stehen, kommt ein Polynom hin.
Ich hatte es doch bis fast zu Ende vorgemacht. (?)
K_{B_1}^{-1}(\vektor{a\\b\\c}):=4ax^2+(-a+c)x+(2a+2b)*1.
>
> Nun hänge ich dabei ein Polynom als Vektor darzustellen
> bezüglich meiner Basis.
>
> 4x²-x+2 ist das Polynom
MIST! Ich bin in meiner Antwort mit B_1 und B_2 durcheinandergekommen, hab's nun bearbeitet. Tut mir leid, daß ich Verwirrung gestiftet habe.
In den Spalten von L_{B_2} stehen die Bilder der Basisvektoren von B_2 in Koordinaten bzgl B_2.
Du mußt nun erstmal 2x^2 als Koordinatenvektor bzgl B_1 schreiben, damit Du anschließend die Matrix L_{B_1} darauf loslassen kannst.
2x^2=...*(4x^2-x+2)+...*2+...*x=\vektor{...\\...\\...}_(B_1)}
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Di 17.12.2013 | | Autor: | Mino1337 |
Ja KB^-1 wäre dann so zu schreiben:
[mm] (4a)x^2+(-a+c)x+(2a+2b)1
[/mm]
Für [mm] KB1(2x^2),KB1(x^2+x) [/mm] und KB1(1) habe ich nun folgende Vektoren ermittelt:
[mm] \vektor{\bruch{1}{2} \\ \bruch{-1}{2} \\ \bruch{1}{2}}, [/mm]
[mm] \vektor{\bruch{1}{4} \\ \bruch{-1}{4} \\ \bruch{5}{4}},und \vektor{0 \\ \bruch{1}{2} \\ 0}
[/mm]
Für [mm] LB1*KB1(2x^2),LB1*KB1(x^2+x) [/mm] und LB1*KB1(1)
Kam ich auf diese Vektoren:
[mm] \vektor{1 \\ \bruch{1}{2} \\ \bruch{-1}{2}},
[/mm]
[mm] \vektor{\bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{4} \\ \bruch{3}{4}},und [/mm]
[mm] \vektor{\bruch{1}{2} \\ 0 \\ 1}
[/mm]
dies sind nun meine Vektoren, welche Koordinatenvektoren bzgl. $ [mm] B_1 [/mm] $ sind.
nun soll ich sie in das zugehörige Polynom umwandeln also für das erste:
[mm] 1(4x^2-x+2)+\bruch{1}{2}(2)+\bruch{1}{2}(x)=4x^2-x+2
[/mm]
nur wie mache ich das nun ? Ich habe ja garkeine Variablen mehr die ich verändern könnte ?!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Di 17.12.2013 | | Autor: | Mino1337 |
Okay, ich habe deine Antwort nur falsch gelesen ...
Ich bin letztendlich auf diese Polynome gekommen:
[mm] 4x²-\bruch{1}{2}x+3, 2x²+\bruch{1}{4}x+\bruch{3}{2}, 2x²+\bruch{1}{2}x+1 [/mm] ...
Diese sind dann nach dem letzten schritt zu dieser Matrix geworden:
[mm] \vmat{ \bruch{9}{4} & \bruch{7}{8} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{-1}{2} & \bruch{1}{4} & \bruch{1}{2} \\ 3 & \bruch{3}{2} & 1 }
[/mm]
Vielen Dank das ganze fühlt sich richtig an zumindest habe ich nun den Rechenweg drauf =)
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> Okay, ich habe deine Antwort nur falsch gelesen ...
>
> Ich bin letztendlich auf diese Polynome gekommen:
>
> [mm]4x^2-\bruch{1}{2}x+3, 2x^2+\bruch{1}{4}x+\bruch{3}{2}, 2x^2+\bruch{1}{2}x+1[/mm]
> ...
>
> Diese sind dann nach dem letzten schritt zu dieser Matrix
> geworden:
>
> [mm]\vmat{ \bruch{9}{4} & \bruch{7}{8} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{-1}{2} & \bruch{1}{4} & \bruch{1}{2} \\ 3 & \bruch{3}{2} & 1 }[/mm]
>
> Vielen Dank das ganze fühlt sich richtig an zumindest habe
> ich nun den Rechenweg drauf =)
Hallo,
das ist gut.
In der ersten Spalte gibt es wie in meiner Antwort angemerkt einen kl. Rechenfehler, die anderen habe ich nicht geprüft.
Falls bei Euch die Formel für die Basistransformation schon dran war, solltest Du diese auch mal anschauen: von einer darstellenden Matrix zur anderen kann man auch durch Multiplikation geeigneter Matrizen kommen.
LG Angela
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> Ja KB^-1 wäre dann so zu schreiben:
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> [mm](4a)x^2+(-a+c)x+(2a+2b)1[/mm]
>
> Für [mm]KB1(2x^2),KB1(x^2+x)[/mm] und KB1(1) habe ich nun folgende
> Vektoren ermittelt:
>
> [mm]\vektor{\bruch{1}{2} \\ \bruch{-1}{2} \\ \bruch{1}{2}},[/mm]
> [mm]\vektor{\bruch{1}{4} \\ \bruch{-1}{4} \\ \bruch{5}{4}},und \vektor{0 \\ \bruch{1}{2} \\ 0}[/mm]
>
> Für [mm]LB1*KB1(2x^2),LB1*KB1(x^2+x)[/mm] und LB1*KB1(1)
>
> Kam ich auf diese Vektoren:
>
>
> [mm]\vektor{1 \\ \bruch{1}{2} \\ \bruch{-1}{2}},[/mm]
>
> [mm]\vektor{\bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{4} \\ \bruch{3}{4}},und[/mm]
> [mm]\vektor{\bruch{1}{2} \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> dies sind nun meine Vektoren, welche Koordinatenvektoren
> bzgl. [mm]B_1[/mm] sind.
>
> nun soll ich sie in das zugehörige Polynom umwandeln also
> für das erste:
>
> [mm]1(4x^2-x+2)+\bruch{1}{2}(2)\red{+}\bruch{1}{2}(x)\red{=}4x^2-x+2[/mm]
Hallo,
ich habe nur den ersten Vektor überprüft, und bis auf das Rote stimmt alles.
Da muß stehen [mm] 1(4x^2-x+2)+\bruch{1}{2}(2)-\bruch{1}{2}(x)=4x^2-\bruch{3}{2}(x)+3.
[/mm]
Damit hast Du nun [mm] L(2x^2)
[/mm]
Wandle den Vektor nun in einen Koordinatenvektor bzgl [mm] B_2 [/mm] um: [mm] L(2x^2)=4x^2-\bruch{3}{2}(x)+3=\vektor{\bruch{5}{4}\\\bruch{3}{2}\\3}.
[/mm]
Das ist die erste Spalte von [mm] L_{B_2}.
[/mm]
LG Angela
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> nur wie mache ich das nun ? Ich habe ja garkeine Variablen
> mehr die ich verändern könnte ?!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Di 17.12.2013 | | Autor: | Mino1337 |
So Nachdem ich a und b nun mit deiner Hilfe Lösen konnte dachte ich wie du weisst ja das ich c alleine schaffen würde aber leider ist dies nicht der fall denn:
Es fehlt ja komplett die Basis ?! Bisher bezog ich mich ja immer auf eine Basis in diesen ganzen schritten aber hier ist keine Angegeben ...
kann ich mir jetzt eine Ausdenken ? zB x²,x,1 ?
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> So Nachdem ich a und b nun mit deiner Hilfe Lösen konnte
> dachte ich wie du weisst ja das ich c alleine schaffen
> würde aber leider ist dies nicht der fall
Hallo,
gegeben hast Du dort ein Polynom p, und Du sollst L(p) bestimmen.
andle p entweder in einen Koordinatenvektor bzgl [mm] B_1 [/mm] um und arbeite mit der entsprechenden Darstellungsmatrix, oder halt alles mit [mm] B_2.
[/mm]
LG Angela
> denn:
>
> Es fehlt ja komplett die Basis ?! Bisher bezog ich mich ja
> immer auf eine Basis in diesen ganzen schritten aber hier
> ist keine Angegeben ...
>
> kann ich mir jetzt eine Ausdenken ? zB x²,x,1 ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:18 Di 17.12.2013 | | Autor: | Mino1337 |
Dankeschön =)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Di 17.12.2013 | | Autor: | zatar |
habe eine ähnliche aufgabe in meiner klausurenvorbereitung. wenn man den koordinatenvektor bzgl einer basis hergestellt hat, muss man diesen vektor einfach mit der darstellenden matrix multiplizieren?
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> habe eine ähnliche aufgabe in meiner
> klausurenvorbereitung. wenn man den koordinatenvektor bzgl
> einer basis hergestellt hat, muss man diesen vektor einfach
> mit der darstellenden matrix multiplizieren?
Hallo,
.
Ja.
Und danach den Ergebnisvektor wieder umwandeln in ein Polynom - falls es bei Dir auch um Polynome geht.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:25 Mi 18.12.2013 | | Autor: | zatar |
aber ich benötige doch L(p), wieso sollte ich es dann wieder in ein polynom umwandeln? ist es nach der multiplikation noch nicht das ergebnis?
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> aber ich benötige doch L(p), wieso sollte ich es dann
> wieder in ein polynom umwandeln? ist es nach der
> multiplikation noch nicht das ergebnis?
Hallo,
bedenke, daß ich Deine spezielle Aufgabe gar nicht kenne.
In der hier geposteten Aufgabe ist L eine Abbildung, welche Polynome auf Polynome abbildet.
L(p) ist hier also ein Polynom.
Die darstellenden Matrizen "fressen" und liefern Koordinatenvektoren bzgl einer vorgegebenen Basis, welche dann wieder in ein Polynom umzuwandeln sind.
LG Angela
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