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| Aufgabe | Geben Sie die folgenden Mengen als Intervalle oder als Vereinigung von Intervallen an:
(a) [mm] \left\{ x \in \IR : |x - 5| < |x + 1|\right\}
[/mm]
(b) [mm] \left\{ x \in \IR \setminus \{-2, 9\} : \bruch{3}{|x - 9|} > \bruch{2}{x + 2}\right\} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Momentan arbeite ich ein Übungsblatt zu unserem Mathe-Vorkurs durch
und ich komme in den Vorlesungen nur ganz schlecht mit, da Schreibweisen und Themengebiete als selbstverständlich betrachtet werden, die ich in der Schule bestenfalls als Fußnote kennengelernt habe.
Ich kann mir UNGEFÄHR vorstellen, welche "Werkzeuge" für diese Aufgabe benötigt werden, aber ich bin sowohl in Fallunterscheidungen als auch im Auflösen von Ungleichungen noch sehr unsicher. Unter einer "Vereinigung von Intervallen" kann ich mir hingegen garnichts vorstellen, außer dass es evtl so trivial ist, dass es mir gerade schlichtweg nicht einfallen will.
Wäre bitte jemand so freundlich und würde mir (a) erklären und die Dinge aufzeigen, die zur selbstständigen Lösung von (b) zu beachten sind?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 Do 09.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu a) gibts nur Fallunterscheidungen, da hilft nichts, ausser du zeichnest y1=|x-5| und y2=|x-1| und siehst dann die richtigen Gebiete direkt.
Intervalle vereinigen: z. Bsp: [mm] [1,2]\cup [/mm] [3,4]
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:36 Fr 10.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du kannst gern Rueckfragen stellen, wenn dich ne Antwort nicht befriedigt. aber es ist wenig sinnvoll, einfach die Frage auf nicht beantwortet zu stellen.
Wenn du nicht weisst was Fallunterscheidungen sind:
1. [mm] x\ge5 [/mm] du kannst die Betraege beide weglassen.
2. [mm] 1\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 5 Betrag bei x-1 weglassen |x-5|=-x+5
3. x<1 jetzt wird zusaetzlich |x-1|=-x+1
Gruss leduart
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Danke erstmal für Deine Antworten. Was mich nun wundert ist, dass Deine Fälle quasi vom Himmel "fallen". ;) Es ist nicht so, dass die Richtigkeit nicht schon durch bloßes "Hingucken" klar würde, aber könntest Du mir eine formal korrekte Möglichkeit aufzeigen, mit der ich die Fälle allgemein herleiten kann?
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Hallo Wastelander!
So einfach "fallen" die Einzelfälle der Fallunterscheidung nicht "vom Himmel" ...
Die o.g. Fälle ergeben sich jeweils aus den Betragstermen mit:
$$|x-5| \ \ [mm] \text{bzw.} [/mm] \ \ |x+1|$$
Daraus ergeben sich zunächst folgende 4 Fälle:
$$(1a) \ : \ x-5 \ [mm] \ge [/mm] \ 0 \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ x \ [mm] \ge [/mm] \ 5$$
$$(1b) \ : \ x-5 \ < \ 0 \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ x \ < \ 5$$
$$(2a) \ : \ x+1 \ [mm] \ge [/mm] \ 0 \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ x \ [mm] \ge [/mm] \ -1$$
$$(2b) \ : \ x+1 \ < \ 0 \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ x \ < \ -1$$
Mit Zusammenfassen der beiden Fälle $(1b)_$ und $(2a)_$ zu $-1 \ [mm] \le [/mm] \ x \ < \ 5$ erhältst Du exakt die o.g. Intervalle, welche leduart genannt hat.
Gruß vom
Roadrunner
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Ich habe jetzt mal beide Aufgaben versucht durchzurechnen und wäre Euch sehr dankbar, wenn ihr meine Ergebnisse überprüft.
(a)
[mm](1a) \ : \ x-5 \ \ge \ 0 \ \ \ \gdw \ \ \ x \ \ge \ 5[/mm]
[mm](1b) \ : \ x-5 \ < \ 0 \ \ \ \gdw \ \ \ x \ < \ 5[/mm]
[mm](2a) \ : \ x+1 \ \ge \ 0 \ \ \ \gdw \ \ \ x \ \ge \ -1[/mm]
[mm](2b) \ : \ x+1 \ < \ 0 \ \ \ \gdw \ \ \ x \ < \ -1[/mm]
[mm]\Rightarrow -1 \le x < 5[/mm]
[mm] \begin{matrix}
-x+5 &<& x+1\\
4 &<& 2x\\
2 &<& x\\
\end{matrix}
[/mm]
[mm]\Rightarrow \left\{ x \in \IR : \left] 2, \infty \right[ \right\}[/mm]
(b)
[mm](1a) \ : \ x-9 \ > \ 0 \ \ \ \gdw \ \ \ x \ > \ 9[/mm]
[mm] \begin{matrix}
\bruch{3}{x-9} &>& \bruch{2}{x+2}\\
3x+6 &>& 2x-18\\
x &>& -24\\
\end{matrix}
[/mm]
[mm](1b) \ : \ x-9 \ < \ 0 \ \ \ \gdw \ \ \ x \ < \ 9[/mm]
[mm] \begin{matrix}
\bruch{3}{9-x} &>& \bruch{2}{x+2}\\
3x+6 &>& -2x+18\\
5x &>& 12\\
x &>& 2.4
\end{matrix}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] HÄÄÄ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Fr 10.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du sollst folgende Ungleichung lösen
|x-5|<|x+1|
Hier hast du zwei Beträge, die du jeweils Fallunterscheiden musst.
Dadurch ergeben sich die von Roadrunner angegebenen Fälle:
$ (1a) \ : \ x-5 \ [mm] \ge [/mm] \ 0 \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ x \ [mm] \ge [/mm] \ 5 $
$ (1b) \ : \ x-5 \ < \ 0 \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ x \ < \ 5 $
$ (2a) \ : \ x+1 \ [mm] \ge [/mm] \ 0 \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ x \ [mm] \ge [/mm] \ -1 $
$ (2b) \ : \ x+1 \ < \ 0 \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ x \ < \ -1 $
Wenn du jetzt mal 1(b) und 2(a) betrachtest, gilt, wenn x>5 auch x [mm] \ge [/mm] 1, also kannst dudas zusammenfassen.
Somit:
Fall 1) [mm] x\ge5
[/mm]
Dann gilt:
|x-5|<|x+1|
[mm] \gdw [/mm] x-5<x+1
[mm] \gdw [/mm] -5<1
Wahre aussage, also hast du [mm] \IL_{1}=\{(5;\infty(\}
[/mm]
Fall 2)
x<-1
Dann gilt:
|x-5|<|x+1|
[mm] \gdw [/mm] -(x-5)<-(x+1)
[mm] \gdw [/mm] -x+5<-x-1
[mm] \gdw [/mm] 5<-1
Falsche Aussage, also ist [mm] \IL_{2}=\emptyset
[/mm]
Fall3)
-1 [mm] \le [/mm] x<5
dann gilt:
|x-5|<|x+1|
[mm] \gdw [/mm] -(x-5)<x+1
[mm] \gdw [/mm] -x+5<x+1
[mm] \gdw [/mm] -2x<-4
[mm] \gdw [/mm] x>2
Jetzt hast du aus der Fallunterscheidung -1 [mm] \le [/mm] x<5 und aus der REchnung x>2, also ist [mm] \IL_{3}=\{(-1;5(\}\cap{)2;\infty(\}=\{)2;5(\}
[/mm]
Die Gesamtlösung [mm] \IL [/mm] ist jetzt die Vereinigung aller Teillösungsmengen, also:
[mm] \IL=\IL_{2}\cup\IL_{2}\cup\IL_{3}
[/mm]
Die Zweite Aufgabe bearbeite dann mal analog.
Marius
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$ (1a) \ : \ x-9 \ > \ 0 \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ x \ > \ 9 $
$ [mm] \begin{matrix} \bruch{3}{x-9} &>& \bruch{2}{x+2}\\ 3x+6 &>& 2x-18\\ x &>& -24\\ \end{matrix} [/mm] $
$ (1b) \ : \ x-9 \ < \ 0 \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ x \ < \ 9 $
$ [mm] \begin{matrix} \bruch{3}{9-x} &>& \bruch{2}{x+2}\\ 3x+6 &>& -2x+18\\ 5x &>& 12\\ x &>& 2.4 \end{matrix} [/mm] $
Entsprechend meiner Fallunterscheidungen + Rechnungen zu (b) müsste ich also wiefolgt weiter vorgehen:
[mm] \IL_{1} [/mm] = [mm] \left\{ \left]9, \infty \right[ \cap \left]-24, \infty \right[ \right\} [/mm] = [mm] \left\{ \left]9, \infty \right[ \right\}
[/mm]
[mm] \IL_{2} [/mm] = [mm] \left\{ \left]\infty, 9 \right[ \cap \left]2.4, \infty \right[ \right\} [/mm] = [mm] \left\{ \left]2.4, 9 \right[ \right\}
[/mm]
[mm] \IL [/mm] = [mm] \IL_{1} \cup \IL_{2} [/mm] = [mm] \left\{ \left]2.4, 9 \right[ \cup \left]9, \infty \right[ \right\}
[/mm]
Allerdings erhalte ich z.B. durch Einsetzen von -24 in die ursprüngliche Ungleichung ebenfalls ein wahres Ergebnis, nämlich
[mm] \begin{matrix}
\bruch{3}{|-24-9|} > \bruch{2}{-24+2}\\
\bruch{3}{33} > \bruch{2}{-22}\\
\bruch{1}{11} > -\bruch{1}{11}
\end{matrix}
[/mm]
Daher müsste doch -24 auch Teil von [mm] \IL [/mm] sein, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Fr 10.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Die Falluterscheidungen passen nicht.
Du hast folgende Beträge:
|x-9| und |x+2|
Also machst du folgende Unterscheidungen
a)x-9>0 [mm] \gdw [/mm] x>9 b)x-9<0 [mm] \gdw [/mm] x<9 c)x+2>0 gdw x>-2 d)x+2<0 [mm] \gdw [/mm] x<-2
Also hast du folgende Fälle:
1) x>9
2) x<-2
3) -2<x<9 (Aus b) und c))
Jetzt bist du dran.
Marius
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Nein, x+2 steht "nur so" da, NICHT |x+2|
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:36 Fr 10.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Aber x+2 steht im Nenner ! Was machst Du, wenn Du mit x+2 multiplizierst ?
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:48 Fr 10.10.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Wasteland!
Dennoch musst Du bei Ungleichungen aufpassen bzw. Fallunterscheidungen vornehmen, wenn Du mit Termen wie z.B. $x+2_$ multiplizierst.
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Denn im Falle $x+2 \ < \ 0$ dreht sich das Ungleichheitszeichen um!
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Fr 10.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Auch wenn die x+2 ohne Betrag dasteht, musst du beim Multiplizieren mit (x+2) eine Falluntescheidung machen Ist x+2<0, "dreht sich das Ungleichungszeichen"
Diese Unterscheidung musst du noch in deinen Fall 2 einbauen, in Fall 1 ist es egal, ist x>9, ist auch x+2>0
Marius
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[mm](1) \ : \ x-9 \ > \ 0 \ \ \ \gdw \ \ \ x \ > \ 9[/mm]
[mm]\begin{matrix} \bruch{3}{x-9} &>& \bruch{2}{x+2}\\ 3x+6 &>& 2x-18\\ x &>& -24\\ \end{matrix}[/mm]
[mm](2) \ : \ x-9 \ < \ 0 \ \wedge \ x+2 > 0\ \ \ \gdw \ \ \ 2 \ < \ x \ < \ 9[/mm]
[mm]\begin{matrix} \bruch{3}{9-x} &>& \bruch{2}{x+2}\\ 3x+6 &>& -2x+18\\ 5x &>& 12\\ x &>& 2.4 \end{matrix}[/mm]
[mm](3) \ : \ x+2 \ < \ 0 \ \ \ \gdw \ \ \ x \ < \ 2[/mm]
[mm]\begin{matrix} \bruch{3}{9-x} &>& \bruch{2}{2-x}\\
6-3x &>& 18-2x\\ x &<& -12\\ \end{matrix}[/mm]
Entsprechend meiner Fallunterscheidungen + Rechnungen zu
(b) müsste ich also wiefolgt weiter vorgehen:
[mm]\IL_{1}[/mm] = [mm]\left\{ \left]9, \infty \right[ \cap \left]-24, \infty \right[ \right\}[/mm]
= [mm]\left\{ \left]9, \infty \right[ \right\}[/mm]
[mm]\IL_{2}[/mm] = [mm]\left\{ \left]\infty, 9 \right[ \cap \left]2.4, \infty \right[ \right\}[/mm]
= [mm]\left\{ \left]2.4, 9 \right[ \right\}[/mm]
[mm]\IL_{3}[/mm] = [mm]\left\{ \left]\infty, -12 \right[ \cap \left]\infty, 2 \right[ \right\}[/mm]
= [mm]\left\{ \left]\infty, -12 \right[ \right\}[/mm]
[mm]\IL[/mm] = [mm]\IL_{1} \cup \IL_{2} \cup \IL_{3}[/mm] = [mm]\left\{ \left]\infty, -12 \right[ \cup \left]2.4, 9 \right[ \cup \left]9, \infty \right[ \right\}[/mm]
Jetzt richtig?
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Nein, ist nicht richtig... -_-
Ich hab das grade zu gehetzt gelöst. Muss aber auch jetzt ganz dringend los, sonst köpft mich meine Freundin. :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Fr 10.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Nein, Fall 3 ist noch falsch.
x<2
[mm] \bruch{3}{|x-9|}>\bruch{2}{x+2}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{3}{-(x-9)}>\bruch{2}{x+2} [/mm] Den Nenner rechst darfst du nicht verändern.
[mm] \gdw \bruch{-3}{x-9}>\bruch{2}{x+2}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{-3}{x-9}*(x+2)\red{<}2 [/mm]
[mm] \gdw -3(x+2)\red{>}2(x-9) [/mm] (x-9) ist hier auch negativ, wenn x<2
[mm] \gdw-3x+6>2x-18
[/mm]
[mm] \gdw-5x>-24
[/mm]
[mm] \gdw x\red{<}\bruch{24}{5}=4,8
[/mm]
Marius
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Jetzt verstehe ich. Vielen vielen Dank an alle Teilnehmer der Diskussion.
Die letzte Lösungsteilmenge lautet also:
[mm]\IL_{3} = \left\{\left]\infty, 2\right[ \cap \left]\infty, 4.8\right[\} = \left\{\left]\infty, 2\right[\right\}[/mm]
Und damit gelangt man zu dem Ergebnis
[mm]\IL = \left\{\left]\infty, 2\right[ \cup \left]2.4, 9\right[ \cup \left]9, \infty \right[\} [/mm]
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