Darstellungsmatrix-injektiv..? < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Erst einmal sorry für den kurzen Titel dieses Themas, irgendwie konnte ich nicht mehr Zeichen verwenden..
Jetzt aber zu meiner Frage! Es handelt sich nicht speziell um eine Aufgabe, sondern eher um eine allgemeine Frage.
Anhand der Abbildungsmatrix A einer linearen Abbildung kann man ja folgende Aussage über Injektivität, Surjektivität und Bijektivität treffen:
- f ist injektiv, wenn rg(A)=n (Anzahl der Spalten)
- f ist surjektiv, wenn rg(A)=m (Anzahl der Zeilen)
- f ist bijektiv, wenn rg(A)=m=n.
soweit klar..
Wenn ich jetzt aber die Darstellungsmatrix M herstelle, kann ich dann die Zusammenhänge injektiv, surjektiv, bijektiv einfach so übertragen? Also genauso auf die Abbildungsmatrix zurückführen?
Weil eigentlich hatte ich ja für die Darstellungsmatrix Koordinatenvektoren gebildet, wären dann die Zusammenhänge einfach "umgedreht" wie bei A?
Vielen Dank! :)
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=515194 [leider keine Antwort erhalten]...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 Mi 20.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
> Erst einmal sorry für den kurzen Titel dieses Themas,
> irgendwie konnte ich nicht mehr Zeichen verwenden..
>
> Jetzt aber zu meiner Frage! Es handelt sich nicht speziell
> um eine Aufgabe, sondern eher um eine allgemeine Frage.
>
> Anhand der Abbildungsmatrix A einer linearen Abbildung kann
> man ja folgende Aussage über Injektivität, Surjektivität
> und Bijektivität treffen:
> - f ist injektiv, wenn rg(A)=n (Anzahl der Spalten)
> - f ist surjektiv, wenn rg(A)=m (Anzahl der Zeilen)
> - f ist bijektiv, wenn rg(A)=m=n.
>
> soweit klar..
> Wenn ich jetzt aber die Darstellungsmatrix M herstelle,
> kann ich dann die Zusammenhänge injektiv, surjektiv,
> bijektiv einfach so übertragen? Also genauso auf die
> Abbildungsmatrix zurückführen?
Ja
FRED
> Weil eigentlich hatte ich ja für die Darstellungsmatrix
> Koordinatenvektoren gebildet, wären dann die
> Zusammenhänge einfach "umgedreht" wie bei A?
>
> Vielen Dank! :)
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten
> gestellt:http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=515194
> [leider keine Antwort erhalten]...
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:47 Mi 20.02.2013 | | Autor: | nincompoopy |
| Aufgabe | | Berechne an einem Beispiel Ax=b das x.. Ist das LGS injektiv, surjektiv, bijektiv? |
Okay super, vielen Dank schon mal! :)
Dann habe ich hierzu noch eine kleine Frage, die irgendwie auch zum Thema injektiv,... usw. passt.
Kann ich mir bei dieser Aufgabe einfach irgendein LGS überlegen, welches ich löse, und wo ich dann anhand des Rangs bestimme, ob es injektiv, surjektiv oder bijektiv ist?
Also könnte ich zB irgendeine invertierbare Matrix A nehmen und dann sagen, dass das LGS - unabhängig von der Wahl von b - bijektiv ist, oder?
Was mich ein wenig an der Aufgabenstellung irritiert ist das "berechnen Sie x".. weil das brauche ich ja eigentlich gar nicht, um eine Aussage über Injektivität usw. zu treffen? Oder meint ihr, dass ich das nur machen soll, damit gesehen wird, ob ich LGS lösen kann? ;)
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> Berechne an einem Beispiel Ax=b das x.. Ist das LGS
> injektiv, surjektiv, bijektiv?
Hallo,
ist das wirklich der Originaltext der Aufgabe?
Mir kommt das mehr als merkwürdig vor.
Ich kenne nämlich injektive, surjektive, bijektive Abbildungen - aber keine Gleichungssysteme mit diesen Eigenschaft. (Was natürlich nicht ausschließt, daß ich mir zusammenreimen kann, was gemeint ist...)
Bist Du Dir sicher, daß Du nicht irgendwo eine Matrix A und einen Vektor b gegeben hast, für welche Du das LGS Ax=b lösen sollst?
Ansonsten mußt Du Dir halt wirklich eins ausdenken - wenn Du für A die Einheitsmatrix nimmst, bist Du schnell fertig...
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 Mi 20.02.2013 | | Autor: | fred97 |
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> > Berechne an einem Beispiel Ax=b das x.. Ist das LGS
> > injektiv, surjektiv, bijektiv?
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> Hallo,
>
> ist das wirklich der Originaltext der Aufgabe?
> Mir kommt das mehr als merkwürdig vor.
> Ich kenne nämlich injektive, surjektive, bijektive
> Abbildungen - aber keine Gleichungssysteme mit diesen
> Eigenschaft. (Was natürlich nicht ausschließt, daß ich
> mir zusammenreimen kann, was gemeint ist...)
>
> Bist Du Dir sicher, daß Du nicht irgendwo eine Matrix A
> und einen Vektor b gegeben hast, für welche Du das LGS
> Ax=b lösen sollst?
>
> Ansonsten mußt Du Dir halt wirklich eins ausdenken - wenn
> Du für A die Einheitsmatrix nimmst, bist Du schnell
> fertig...
Hallo Angela,
noch schneller gehts, wenn A die 1x1 Einheitsmatrix ist, das LGS ist
x=b
>
> LG Angela
>
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Mh ja, das steht hier bei mir so. Es ist allerdings ein Gedächtnisprotokoll einer mündlichen Examensprüfung, vllt hat das auch nur jemand falsch aufgeschrieben ;)
Vllt ist damit einfach gemeint, dass es eine lineare Abbildung zB [mm] \IR^{2x2}->?? [/mm] sein soll? Dann könnte man das vllt so "formulieren"...
Oder es heißt einfach "Nennen Sie eine Abbildungsmatrix und bestimmen Sie, ob die Abbildung injektiv,... ist".. Das gäbe wohl mehr Sinn..
Okay, aber das heißt, dass an und für sich das einfach mit dem Rang von A beantwortet wird, oder? Und das mit der 1x1-Einheitsmatrix klingt auch gut, die ist dann auch bijektiv, oder? [rgA=m=1=n]
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> Mh ja, das steht hier bei mir so. Es ist allerdings ein
> Gedächtnisprotokoll einer mündlichen Examensprüfung,
> vllt hat das auch nur jemand falsch aufgeschrieben ;)
> Vllt ist damit einfach gemeint, dass es eine lineare
> Abbildung zB [mm]\IR^{2x2}->??[/mm] sein soll? Dann könnte man das
> vllt so "formulieren"...
> Oder es heißt einfach "Nennen Sie eine Abbildungsmatrix
> und bestimmen Sie, ob die Abbildung injektiv,... ist".. Das
> gäbe wohl mehr Sinn..
>
> Okay, aber das heißt, dass an und für sich das einfach
> mit dem Rang von A beantwortet wird, oder? Und das mit der
> 1x1-Einheitsmatrix klingt auch gut, die ist dann auch
> bijektiv, oder? [rgA=m=1=n]
Hallo,
Deine Frage ist irgendwie nicht zu beantworten.
Ich antworte trotzdem.
Worum könnte es hier gehen.
Es könnte um lineare Abbildungen gehen und darum, daß man lineare Abbildungen durch Matrizen darstellen kann.
Man kann sich dafür interessieren, wie die Darstellungsmatrix A einer linearen Abbildung [mm] f:\IR^m\to \IR^n [/mm] aussieht, was sie macht,
welches Format sie hat und wie man die Einträge bekommt.
Weiter kann man sich dafür interessieren, wie man einer Matrix A ansehen kann, ob sie eine injektive, surjektive, bijektive Abbildung darstellt.
Hier spielt der Rang der Matrix (=Dimension des Bildes) eine Rolle,
und es wäre denkbar, daß man von einer konkreten Matrix sagen soll, ob sie eine injektive, surjektive, bijektive Abbildung darstellt, oder daß man aufgefordert wird, eine Matrix mit bestimmten Eigenschaften hinzuschreiben.
Nun kann man einen Bogen schlagen zur Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen.
Man kann sich z.B. fragen, was man über die Lösbarkeit und die Anzahl der Lösungen des LGS Ax=b weiß, wenn bekannt ist, daß die durch [mm] f_A(x):=Ax [/mm] definierte Abbildung aus dem [mm] \IR^m [/mm] in den [mm] \IR^n [/mm] injektiv/surjektiv/bijektiv ist.
Man könnte sich in diesem Zusammenhang z.B. wünschen, daß Du ein LGS Ax=b hinschreibst, welches keine Lösung hat, oder eines, dessen Lösungsraum die Dimension 2 hat.
> Und das mit der 1x1-Einheitsmatrix klingt auch gut,
> die ist dann auch bijektiv, oder? [rgA=m=1=n]
Die durch die [mm] 1\times-Einheitsmatrix [/mm] A=1 dargestellte lineare Abbildung aus dem [mm] \IR [/mm] in den [mm] \IR [/mm] mit [mm] f_A(x):=1x [/mm] ist in der Tat bijektiv.
LG Angela
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