Darstellungsmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Do 21.12.2006 | | Autor: | Blueman |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo
Ich sitze grade über meinem Vorlesungsskript über Lineare Abbildungen und komme nicht weiter.. es geht um die Darstellungsmatrix M(A,B).
Ich verstehe irgendwie nicht wofür man die braucht..
Was ich bisher (hoffentlich) verstanden habe:
Wenn V und W 2 endliche Vektorräume sind mit dim(V) = n und dim(W) = m, dann gibt es eine Abbildung, die jedem Vektor aus V einen Vektor in W zuordnet. Diese Abbildung hat die Form v->w = A*v, wobei A eine mxn-Matrix ist. Somit gibt es einen Isomorphismus zwischen linearen Abbildungen und mxn-Matrizen. (Richtig soweit?)
Meine Fragen dazu:
Gilt dies nur wenn v und w Vektoren bezüglich der kanonischen Basis sind oder spielen die Basen keine Rolle? (müssten sie ja eigentlich..)
Ist A generell dasselbe wie die Darstellungsmatrix oder nur in Spezialfällen oder nie?
Was hat man von der Darstellungsmatrix? D.h., was passiert, wenn man einen Vektor v mit M(A,B) multipliziert? Meine Vermutung: Wenn v ein Vektor bezüglich der Basis A aus V ist, erhält man einen Vektor w aus W bezüglich der Basis B??
So, ich hoffe ihr könnt mir aus der Klemme helfen, ich werd aus dem Skript und auch aus dem Fischer irgendwie nicht schlau.
Viele Grüße,
Blueman
|
|
| |
|
> Was ich bisher (hoffentlich) verstanden habe:
> Wenn V und W 2 endliche Vektorräume sind mit dim(V) = n
> und dim(W) = m, dann gibt es eine Abbildung, die jedem
> Vektor aus V einen Vektor in W zuordnet. Diese Abbildung
> hat die Form v->w = A*v, wobei A eine mxn-Matrix ist.
> Somit gibt es einen Isomorphismus zwischen linearen
> Abbildungen und mxn-Matrizen. (Richtig soweit?)
Ja...
>
> Meine Fragen dazu:
>
> Gilt dies nur wenn v und w Vektoren bezüglich der
> kanonischen Basis sind oder spielen die Basen keine Rolle?
> (müssten sie ja eigentlich..)
Nun, das ist ein sehr wichtiger Punkt. Während die lineare Abbildung meist recht allgemein formuliert ist, und es eigentlich kaum wichtig ist, in welchem Koordinatensystem man sich befindet, ist eine Matrix immer an eine Basis (oder, um bei dem V -> W Prinzip zu bleiben, an beide) gebunden.
Was für eine Basis du benutzt, ist egal, aber deine Abbildung hat in jeder Basis eine andere Matrix, die sie beschreibt.
> Ist A generell dasselbe wie die Darstellungsmatrix oder nur
> in Spezialfällen oder nie?
Ja, das ist es.
> Was hat man von der Darstellungsmatrix? D.h., was passiert,
> wenn man einen Vektor v mit M(A,B) multipliziert? Meine
> Vermutung: Wenn v ein Vektor bezüglich der Basis A aus V
> ist, erhält man einen Vektor w aus W bezüglich der Basis
> B??
Genau das ist es.
Wozu man die Matrizen nun braucht? Nunja, mit ihnen zu rechnen, ist relativ einfach, zumindest verläuft das ganze ziemlich mechanisch, ohne viel drüber nachzudenken.
Noch ein Grund: Wenn du mehrere Abbilungen ineinander verschachtelst, also letztendlich z.B. f(g(h(x))), dann kannst du das sicherlich noch mit den basisunabhängigen lin. Abbildungen machen, aber da verzettelst du dich doch recht schnell. Und wenn du dann noch die Umkehrabbildung bestimmen sollst, hast du viel Spaß. Wenn du jetzt aber Basen hast, in denen jede der Funktionen durch die Matrizen F, G, H bestimmt wird, so wird aus dem verketteten Ausdruck FGHx=(FGH)x=Kx.
Soll heißen, die drei Matrizen werden einfach miteinander multipliziert, und du bekommst die Gesamtabbildung, die auch recht schnell z.B. invertiert ist.
Auch für einen Computer sind Matrizen was feines, denn da muß man ja nur stupide addieren und multiplizieren. Intelligenz ist da nicht gefordert, sodaß die Programme sehr einfach, dafür aber extrem schnell sind.
Nachteil ist wie gesagt, daß du an eine (bzw zwei) Basen mit einer Matrix gebunden bist. Aber hey, dann packt man links und rechts einfach noch die Matrizen dran, die zwischen neuen und alten Basen vermitteln, und dann ists wieder gut.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:32 Fr 22.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
möchte zu so später stunde noch meinen senf dazu geben:
> Somit gibt es einen Isomorphismus zwischen linearen
> Abbildungen und mxn-Matrizen. (Richtig soweit?)
>
> Meine Fragen dazu:
>
> Gilt dies nur wenn v und w Vektoren bezüglich der
> kanonischen Basis sind oder spielen die Basen keine Rolle?
> (müssten sie ja eigentlich..)
Der Isomorphismus ist erst nach Wahl jeweils einer Basis von V und W eindeutig!
(erst dann kann man eine eindeutige Matrix zu der Abbildung angeben (und umgekehrt))
du kannst dir ja mal überlegen, wieviele wirklich verschiedene lineare Abbildungen es geben kann (also abbildungen, deren matrizen gleich werden, wenn man die basen ändert, sind eigentlich die gleichen abbildungen (nur eben aus einem anderen "standpunkt" aus betrachtet))
hinweis dazu : ähnliche Matrizen als äquivalenzrelation - was sind die Äquivalenzklassen ?!?
> Ist A generell dasselbe wie die Darstellungsmatrix oder nur
> in Spezialfällen oder nie?
Jede Matrix ist eine Darstellungsmatrix - die Frage ist bzgl welchen basen...
(wenn nichts dazu gesagt wird, dann werden kanonische basen vorausgesetzt)
>
> Was hat man von der Darstellungsmatrix? D.h., was passiert,
> wenn man einen Vektor v mit M(A,B) multipliziert? Meine
> Vermutung: Wenn v ein Vektor bezüglich der Basis A aus V
> ist, erhält man einen Vektor w aus W bezüglich der Basis
> B??
>
fast richtig : es kommt das BILD von v bzgl Basisgestalt B heraus.
aber ansonsten kann ich nur zustimmen : Matrizen vereinfachen das leben einefach sehr, dazu braucht man eine Matrix als Darstellung der Abbildung.
(und deshalb muss man sich gedanken zu den basen machen)
ich empfehle auch den Artikel :  Darstellungsmatrix
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Fr 22.12.2006 | | Autor: | Blueman |
Hi
Vielen Dank euch beiden, eure Antworten haben mir sehr geholfen 
Noch mal zur Vergewisserung:
f: V->W v->A*v ist eine Abbildung bezüglich der Standardbasen, bzw. die Basis muss klar sein.
M(A,B) ist der allgemeinere Fall.
Und um das Bild von v unter B zu bestimmen muss ich nicht v erst als Vektor in W unter B darstellen sondern kann direkt M(A,B)*v rechnen.
Aber...
> du kannst dir ja mal überlegen, wieviele wirklich
> verschiedene lineare Abbildungen es geben kann (also
> abbildungen, deren matrizen gleich werden, wenn man die
> basen ändert, sind eigentlich die gleichen abbildungen (nur
> eben aus einem anderen "standpunkt" aus betrachtet))
das ist mir dann doch zu hoch. Eine Abbildung ist ja immer eindeutig einer Matrix zugeordnet bei fester Basis. Was bedeutet denn dann Gleichheit bei Abbildungen?
Die zugehörige Äquivalenzklasse kenn ich leider nicht :-(
Viele Grüße,
Blueman
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Sa 23.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi nochmal,
>
> f: V->W v->A*v ist eine Abbildung bezüglich der
> Standardbasen, bzw. die Basis muss klar sein.
Ja !
>
> M(A,B) ist der allgemeinere Fall.
>
> Und um das Bild von v unter B zu bestimmen muss ich nicht v
> erst als Vektor in W unter B darstellen sondern kann direkt
> M(A,B)*v rechnen.
>
Da kann ich dir nicht ganz folgen...
Aber ich denke, du meinst das richtige
(die Matrix M(A,B) erwarten den Vektor bzgl einer bestimmten Basis und gibt das Bild des Vektors bzgl einer best. Basis aus...)
> das ist mir dann doch zu hoch. Eine Abbildung ist ja immer
> eindeutig einer Matrix zugeordnet bei fester Basis. Was
> bedeutet denn dann Gleichheit bei Abbildungen?
ok, hab mich da wohl zu der späten Stunde schlecht ausgedrückt.
Also wenn du deine Basen fest wählst, stellen unterschiedliche Matrizen auch unterschiedliche Abbildungen dar !
Was ist aber, wenn du die Basis nicht fest gewählt hast - angenommen, du hast nur eine Matrix gegeben und weißt nicht bzgl welchen Basen.
Wie viele versch. Abbildungen können dann damit gemeint sein ?!?
> Die zugehörige Äquivalenzklasse kenn ich leider nicht :-(
Wenn zwei Abbildungen bzgl irgendwelchen Basen dieselbe Matrix haben, heißen sie "ähnlich"
(vgl das ruhig mit der Definition im Fischer^^)
Diese ähnlichkeitsrelation ist eine Äquivalenzrelation (wenn ich mich richtig erinnere, also lieber nochmal schnell zeigen)
Die Äquivalenzklassen sind also diejenigen Gruppen von Matrizen, die bei Änderung der Basen nicht ineinander überführt werden können.
(aber wie viele solcher Gruppen gibt es im Raum der nxn Matrizen ?!?)
Aber das ist nur ne nette zusatz-überlegung, falls du über die Feiertag noch ein wenig rumrechnen willst.
viele Grüße und frohes Fest
DaMenge
|
|
|
|
