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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 Sa 16.01.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe immer noch ein paar Probleme bei den Darstellungsmatrizen.
Ich habe hier mal ein Beispiel:
[mm] f:\IR^3\to\IR^2
[/mm]
[mm] f(\vektor{x \\ y \\ z})=\vektor{2x-3y \\ x-2y+z}
[/mm]
Die Basis von [mm] IR^3 [/mm] ist die Standard-Basis: [mm] A=\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1}\}
[/mm]
Für [mm] IR^2 [/mm] gibt es einmal die Basis [mm] B=\{\vektor{1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1}\} [/mm] und [mm] B'=\{\vektor{2 \\ 1},\vektor{1 \\ 1}\}.
[/mm]
Das ergibt einmal die Abbildungmatrix [mm] M^A_B=\pmat{ 2 & -3 & 0 \\ 1 & -2 & 1 } [/mm] und die Abbildungmatrix [mm] M^A_{B'}=\pmat{ 1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 }
[/mm]
Das verstehe ich noch.
Jetzt hab ich mir dazu mal noch eine eigene Rechnung gemacht.
Und zwar möchte ich das Bild des Vektors [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] berechnen.
Wenn ich dazu die erste Abbildungsmatrix [mm] M^A_B [/mm] benutze, erhalte ich [mm] \pmat{ 2 & -3 & 0 \\ 1 & -2 & 1 }*\vektor{1 \\ 2 \\ 3}=\vektor{-4 \\ 0}
[/mm]
Das gleiche Ergebnis erhalte ich, wenn ich [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] direkt in die Abbildung einsetze.
Nun zur zweiten Abbildungmatrix [mm] M^A_{B'}:
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 }*\vektor{1 \\ 2 \\ 3}=\vektor{-5 \\ 4}
[/mm]
So, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann ist das Ergebnis [mm] \vektor{-5 \\ 4} [/mm] der Koordinatenvektor bzgl. der Basis B', oder?
Was muss ich jetzt rechnen, damit ich den Vektor [mm] \vektor{-5 \\ 4} [/mm] als Vektor in der Basis B, also in der Standard-Basis, darstellen will?
Und wenn ich den Vektor in die Abbildung einsetze und dann das Ergebnis [mm] \vektor{-4 \\ 0} [/mm] erhalte, dass ja wahrscheinlich in der Basis B gegeben ist (warum eigentlich?), wie bekomme ich das in die Basis B'?
LG, Nadine
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> Hallo zusammen!
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> Ich habe immer noch ein paar Probleme bei den
> Darstellungsmatrizen.
>
> Ich habe hier mal ein Beispiel:
>
> [mm]f:\IR^3\to\IR^2[/mm]
>
> [mm]f(\vektor{x \\ y \\ z})=\vektor{2x-3y \\ x-2y+z}[/mm]
>
> Die Basis von [mm]IR^3[/mm] ist die Standard-Basis: [mm]A=\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1}\}[/mm]
>
> Für [mm]IR^2[/mm] gibt es einmal die Basis [mm]B=\{\vektor{1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1}\}[/mm]
> und [mm]B'=\{\vektor{2 \\ 1},\vektor{1 \\ 1}\}.[/mm]
>
> Das ergibt einmal die Abbildungmatrix [mm]M^A_B=\pmat{ 2 & -3 & 0 \\ 1 & -2 & 1 }[/mm]
> und die Abbildungmatrix [mm]M^A_{B'}=\pmat{ 1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 }[/mm]
>
> Das verstehe ich noch.
>
> Jetzt hab ich mir dazu mal noch eine eigene Rechnung
> gemacht.
>
> Und zwar möchte ich das Bild des Vektors [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm]
> berechnen.
>
> Wenn ich dazu die erste Abbildungsmatrix [mm]M^A_B[/mm] benutze,
> erhalte ich [mm]\pmat{ 2 & -3 & 0 \\ 1 & -2 & 1 }*\vektor{1 \\ 2 \\ 3}=\vektor{-4 \\ 0}[/mm]
>
> Das gleiche Ergebnis erhalte ich, wenn ich [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm]
> direkt in die Abbildung einsetze.
>
> Nun zur zweiten Abbildungmatrix [mm]M^A_{B'}:[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 }*\vektor{1 \\ 2 \\ 3}=\vektor{-5 \\ 4}[/mm]
>
> So, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann ist
> das Ergebnis [mm]\vektor{-5 \\ 4}[/mm] der Koordinatenvektor bzgl.
> der Basis B', oder?
hallo,
nachrechnen tue ich heute nichts mehr, aber ein Koordinatenvektor bzgl B' ist's auf jeden Fall.
>
> Was muss ich jetzt rechnen, damit ich den Vektor [mm]\vektor{-5 \\ 4}[/mm]
> als Vektor in der Basis B, also in der Standard-Basis,
> darstellen will?
[mm] -5*b_1' [/mm] + [mm] 4b_2'
[/mm]
>
> Und wenn ich den Vektor in die Abbildung einsetze und dann
> das Ergebnis [mm]\vektor{-4 \\ 0}[/mm] erhalte, dass ja
> wahrscheinlich in der Basis B gegeben ist (warum
> eigentlich?),
Wenn nichts anderes dasteht, sind's ist's bzgl. Standardbassi.
wie bekomme ich das in die Basis B'?
Du berechnest [mm] a\lambda, \mu [/mm] in [mm] \vektor{-4\\0}=\lambda b_1'+ \mu_b_2'.
[/mm]
[mm] \vektor{\lambda\\\mu} [/mm] ist dann der Koordinatenvektor von [mm] \vektor{-4\\0} [/mm] bzgl [mm] .\mu.
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> LG, Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 Sa 16.01.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
> > Was muss ich jetzt rechnen, damit ich den Vektor [mm]\vektor{-5 \\ 4}[/mm]
> > als Vektor in der Basis B, also in der Standard-Basis,
> > darstellen will?
> [mm]-5*b_1'[/mm] + [mm]4b_2'[/mm]
Also ist der Vektor [mm]\vektor{-5 \\ 4}[/mm] in Standard-Basis dann [mm] \vektor{-6 \\ -1}?
[/mm]
Ich dachte, wenn ich den Vektor jetzt in der Standard-Basis darstelle, dass ich dann genau den gleichen Vektor erhalte, den ich direkt in Standard-Basis ausgerechnet habe?
Eigentlich sollte das doch so sein, oder, denn es ist die gleiche Abbildung und in der Standard-Basis sollte doch, wenn ich [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] abbilde, nicht einmal [mm] \vektor{-4 \\ -1} [/mm] und einmal [mm] \vektor{-6 \\ -1} [/mm] rauskommen?
> > Und wenn ich den Vektor in die Abbildung einsetze und dann
> > das Ergebnis [mm]\vektor{-4 \\ 0}[/mm] erhalte, dass ja
> > wahrscheinlich in der Basis B gegeben ist (warum
> > eigentlich?),
>
> Wenn nichts anderes dasteht, sind's ist's bzgl.
> Standardbassi.
>
>
> wie bekomme ich das in die Basis B'?
>
> Du berechnest [mm]a\lambda, \mu[/mm] in [mm]\vektor{-4\\0}=\lambda b_1'+ \mu_b_2'.[/mm]
>
> [mm]\vektor{\lambda\\\mu}[/mm] ist dann der Koordinatenvektor von
> [mm]\vektor{-4\\0}[/mm] bzgl [mm].\mu.[/mm]
Hier erhalte ich jetzt [mm] \vektor{\lambda\\ \mu}=\vektor{-4\\4}.
[/mm]
Aber jetzt habe ich hier das gleiche Problem wie oben.
Sollte in der Basis bzgl. B' nicht dann auch das gleiche rauskommen, wie wenn ich direkt in die Basis B' abbilde?
LG, Nadine
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> Hallo Angela!
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> > > Was muss ich jetzt rechnen, damit ich den Vektor [mm]\vektor{-5 \\ 4}[/mm]
> > > als Vektor in der Basis B, also in der Standard-Basis,
> > > darstellen will?
>
> > [mm]-5*b_1'[/mm] + [mm]4b_2'[/mm]
>
> Also ist der Vektor [mm]\vektor{-5 \\ 4}[/mm] in Standard-Basis dann
> [mm]\vektor{-6 \\ -1}?[/mm]
Hallo,
ja.
>
> Ich dachte, wenn ich den Vektor jetzt in der Standard-Basis
> darstelle, dass ich dann genau den gleichen Vektor erhalte,
> den ich direkt in Standard-Basis ausgerechnet habe?
Das sollte so sein.
>
> Eigentlich sollte das doch so sein, oder, denn es ist die
> gleiche Abbildung und in der Standard-Basis sollte doch,
> wenn ich [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] abbilde, nicht einmal
> [mm]\vektor{-4 \\ -1}[/mm] und einmal [mm]\vektor{-6 \\ -1}[/mm] rauskommen?
Dann hast Du wohl irgendwas falsch gerechnet.
Vielleicht überprüfst Du die Ergebnisse Deiner Multiplikationen mit den Darstellungsmatrizen nochmal.
Gruß v Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:40 So 17.01.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
> > Ich dachte, wenn ich den Vektor jetzt in der Standard-Basis
> > darstelle, dass ich dann genau den gleichen Vektor erhalte,
> > den ich direkt in Standard-Basis ausgerechnet habe?
> Das sollte so sein.
> > Eigentlich sollte das doch so sein, oder, denn es ist die
> > gleiche Abbildung und in der Standard-Basis sollte doch,
> > wenn ich [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] abbilde, nicht einmal
> > [mm]\vektor{-4 \\ -1}[/mm] und einmal [mm]\vektor{-6 \\ -1}[/mm] rauskommen?
> Dann hast Du wohl irgendwas falsch gerechnet.
>
> Vielleicht überprüfst Du die Ergebnisse Deiner
> Multiplikationen mit den Darstellungsmatrizen nochmal.
Ja, danke, daran hat es gelegen.
Nun stimmen die Ergebnisse überein 
Vielen Dank.
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