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Sei f die lineare Abbildung mit [mm]M_{e_3}^{e_3}(f)=\pmat{1 & -1 & 2\\
-1 & -1 & 4\\
2 & -1 & 1}\in M_3_._3(\IQ) [/mm] bezüglich der Standardbasen e3.
a) Bestimme die Basen A und B so, dass [mm]M_{A}^{B}(f)=\pmat{1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0}[/mm]
Ich weiß nicht so recht wei ich da rangehen soll.
Normalerweise hatte folgenden Ansatz: Es gilt ja
[mm]M_{A}^{B}(f)=T_{A}^{e_3} M_{e_3}^{e_3}T_{e_3}^{B}
T_{e_3}^{B}=Basis B
(T_{A}^{e_3})^-^1=T_{e_3}^{A}=Basis A
[/mm]
Jetzt würde ich per Spalten und Zeilenoperation meine Matrix suchen, inder ich dann ja in den Spalten die Basen hätte.
Hat jemand ne andere idee, falls meine absurf ist.
Vielen dank
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Hi,
> Sei f die lineare Abbildung mit [mm]M_{e_3}^{e_3}(f)=\pmat{1 & -1 & 2\\
-1 & -1 & 4\\
2 & -1 & 1}\in M_3_._3(\IQ)[/mm]
> bezüglich der Standardbasen e3.
>
> a) Bestimme die Basen A und B so, dass [mm]M_{A}^{B}(f)=\pmat{1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & \red{1}}[/mm]
Du meinst sicherlich diese Matrix? Sie muss ja invertierbar sein.
EDIT: siehe Korrekturmitteilung von angela. Vielen Dank dafür. Es reicht eben doch nicht, nur durch Hinschauen zu überprüfen, ob eine Matrix invertierbar ist, oder nicht
>
> Ich weiß nicht so recht wei ich da rangehen soll.
> Normalerweise hatte folgenden Ansatz: Es gilt ja
>
> [mm]M_{A}^{B}(f)=T\red{(Id)}_{A}^{e_3} M_{e_3}^{e_3}\red{(f)}T_{e_3}^{B}\red{(Id)}
T_{e_3}^{B}\red{(Id)}=Basis B
(T_{A}^{e_3}\red{(Id)})^-^1=T_{e_3}^{A}\red{(Id)}=Basis A
[/mm]
Bei den Darstellungsmatrizen muss immer die zugehörige Abbildung angegeben werden.
EDIT: Siehe noch einmal angelas Korrekturmitteilung. Das T steht bereits für die Transformationsmatrix.
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> Jetzt würde ich per Spalten und Zeilenoperation meine
> Matrix suchen, inder ich dann ja in den Spalten die Basen
> hätte.
Mir ist leider nicht klar worauf du hinaus willst.
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> Hat jemand ne andere idee, falls meine absurf ist.
Wähle [mm] B=(e_1, e_2, e_3). [/mm] Die Bilder der [mm] e_i [/mm] unter f sind bekannt und stehen bereits als Spaltenvektoren in der Matrix [mm] $M_{e3}^{e3}$:
[/mm]
[mm] $\qquadf(e_i)=$ [/mm] i-te Spalte von [mm] M_{e3}^{e3}.
[/mm]
Wir setzen die Basisvektoren [mm] a_i [/mm] der Basis [mm] A=(a_1, a_2, a_3) [/mm] gleich dem i-ten Spaltenvektor von [mm] $M_{e3}^{e3}$, [/mm] dabei sind die Spaltenvektoren von [mm] $M_{e3}^{e3}$ [/mm] linear unabhängig.
Bezüglich diesen beiden Basen A, B erzielen wir das gewünschte Ergebnis, da dann [mm] f(e_i) [/mm] bzgl der Basis A stets den Koordinatenvektor [mm] e_i [/mm] hat. Und ist ja gerade die i-te Spalten der Darstellungsmatrix [mm] M_{A}^{B}.
[/mm]
Gruß
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> Hi,
> > Sei f die lineare Abbildung mit [mm]M_{e_3}^{e_3}(f)=\pmat{1 & -1 & 2\\
-1 & -1 & 4\\
2 & -1 & 1}\in M_3_._3(\IQ)[/mm]
> > bezüglich der Standardbasen e3.
> >
> > a) Bestimme die Basen A und B so, dass [mm]M_{A}^{B}(f)=\pmat{1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & \red{1}}[/mm]
>
> Du meinst sicherlich diese Matrix? Sie muss ja invertierbar
> sein.
Hallo,
nein, die von Dir vorgeschlagene Matrix meint martinmaxx gewiß nicht, dann da [mm] M_{e_3}^{e_3}(f) [/mm] nicht invertierbar ist, wird es eine jede andere Darstellungsmatrix von f auch nicht sein.
> >
> > Ich weiß nicht so recht wei ich da rangehen soll.
> > Normalerweise hatte folgenden Ansatz: Es gilt ja
> >
> > [mm]M_{A}^{B}(f)=T\red{(Id)}_{A}^{e_3} M_{e_3}^{e_3}\red{(f)}T_{e_3}^{B}\red{(Id)} T_{e_3}^{B}\red{(Id)}=Basis B (T_{A}^{e_3}\red{(Id)})^-^1=T_{e_3}^{A}\red{(Id)}=Basis A[/mm]
>
> Bei den Darstellungsmatrizen muss immer die zugehörige
> Abbildung angegeben werden.
Die "T" die Martinmax verwendet, stehen bereits dafür, daß es sich um Basistransformationsmatrizen handelt.
martinmax' [mm] "T_{A}^{e_3}" [/mm] ist das, was Du sicher mit [mm] "M(Id)_{A}^{e_3}" [/mm] bezeichnest.
> Wähle [mm]B=(e_1, e_2, e_3).[/mm] Die Bilder der [mm]e_i[/mm] unter f sind
> bekannt und stehen bereits als Spaltenvektoren in der
> Matrix [mm]M_{e3}^{e3}[/mm]:
> [mm]\qquadf(e_i)=[/mm] i-te Spalte von [mm]M_{e3}^{e3}.[/mm]
> Wir setzen die Basisvektoren [mm]a_i[/mm] der Basis [mm]A=(a_1, a_2, a_3)[/mm]
> gleich dem i-ten Spaltenvektor von [mm]M_{e3}^{e3}[/mm], dabei sind
> die Spaltenvektoren von [mm]M_{e3}^{e3}[/mm] linear unabhängig.
Und genau dies wird nicht klappen, da die Spalten von [mm] M_{e3}^{e3}(f) [/mm] nicht linear unabhängig sind.
Nichtsdestotrotz ist Dein Gedanke als Ausgangspunkt weiterer Überlegungen aber nicht so übel!
Gruß v. Angela
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> Sei f die lineare Abbildung mit [mm]M_{e_3}^{e_3}(f)=\pmat{1 & -1 & 2\\
-1 & -1 & 4\\
2 & -1 & 1}\in M_3_._3(\IQ)[/mm]
> bezüglich der Standardbasen e3.
>
> a) Bestimme die Basen A und B so, dass [mm]M_{A}^{B}(f)=\pmat{1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0}[/mm]
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> Ich weiß nicht so recht wei ich da rangehen soll.
Hallo,
überlege Dir mal, daß Du die Basis [mm] B:=(b_1, b_2, b_3) [/mm] so wählen mußt, daß [mm] a_1:=f(b_1) [/mm] und [mm] a_2:=f(b_2) [/mm] eine Basis des Bildes sind.
Diese beiden Vektoren [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] mußt Du dann durch einen Vektor [mm] b_3 [/mm] geeignet zu einer Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ergänzen.
Worauf muß [mm] b_3 [/mm] denn abgebildet werden?
Gruß v. Angela
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