Darstellungsmatrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 Sa 15.12.2012 | | Autor: | DrRiese |
| Aufgabe | Sei f: V [mm] \to [/mm] W mit (x1,x2) [mm] \mapsto [/mm] (-x2,x1) eine lineare Abbildung. Basis von V = [mm] B1:=\vektor{1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1}. [/mm] Basis von W = B2:= [mm] \vektor{-1\\ -1}, \vektor{1 \\ 0}. [/mm]
Gesucht die Darstellungsmatrix.
Lösung:
1. Schritt: Bilder der Basisvektoren aus B1 ermitteln:
[mm] f\vektor{1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1}, f\vektor{0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 0}
[/mm]
2. Schritt: Stelle die Bildvektoren als Linearkombinationen der Basiselemente aus B2 dar.
[mm] f\vektor{1 \\ 1}=\vektor{-1 \\ 1} [/mm] = [mm] -1*\vektor{-1 \\-1} -2*\vektor{1\\ 0} [/mm]
[mm] f\vektor{0 \\ 1}=\vektor{-1 \\ 0} [/mm] = [mm] 0*\vektor{-1 \\ -1} -1*\vektor{1 \\ 0} [/mm]
Soweit so gut
3.Schritt: Eintragen der Koeffizienten in eine Matrix
A:= [mm] \pmat{ -1 & 0 \\ -2 & -1 } [/mm] = Darstellungsmatrix |
Hallo,
habe eine Verständnisfrage bezügl. dieser Aufgabe (oder vllt auch zu Darstellungsmatrizen allgemein):
Nun haben wir als Ergebnis eine Darstellungsmatrix in der Form [mm] A:=\pmat{ -1 & 0 \\ -2 & -1 } [/mm] erhalten. Jedoch ist mir der Sinn/bzw. Nutzen dieser Matrix nicht ganz klar. Eine lineare Abbildung kann auch definiert werden als f(x) = A*x
In diesem Fall ein Beispiel, was ich daran nicht verstehe.
Sei [mm] v=\vektor{1\\ 2} \in [/mm] V. Dann wäre nach der Abbildungsvorschrift f mit (x1,x2) [mm] \mapsto [/mm] (-x2,x1), also [mm] f\vektor{1 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 1}
[/mm]
Aber mit der erhaltenden Darstellungsmatrix: [mm] \pmat{ -1 & 0 \\ -2 & -1 }*\vektor{1 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ -4} \not= \vektor{-2 \\ 1}
[/mm]
Wo liegt hier mein Gedankenfehler?
Freue mich über Rückmeldungen 
LG
DrRiese
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Das liegt daran, dass du mit den Basen durcheinanderkommst. Eine Abbildungsmatrix bezieht sich immer auf zwei Basen, zwischen denen sie vermittelt. Was du prüfen wolltest mit einem Vektor aus dem ursprungsraum V kann mit A nicht funktionieren, da du in A nicht die Bilder der Basisvektoren aus V hast (dann käme genau das raus, was du verlangst), sondern weil DANACH die Bilder noch in die neue Basis W überführt wurden (dafür hast du ja die Linearkombinationen gerechnet). In Wirklichkeit transformiert/bildet deine Matrix also Vektoren aus V nach W ab, und W hat eine ganz andere Basis. Du musst also, um die Korrektheit von A zu prüfen, deinen Vektor aus v in A stecken, das hast du ja bereits, und anschließend diesen noch in W darstellen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Sa 15.12.2012 | | Autor: | DrRiese |
Hi, danke erstmal für deine Antwort.
Ok, Vektor v = [mm] \vektor{1 \\ 2}, [/mm] nach Multiplikation mit der Darstellungsmatrix v = [mm] \vektor{-1 \\ -4}
[/mm]
Wie kann ich v nun in W darstellen? Als Linearkombination der Basisvektoren B2?
Und wenn wir eine lineare Abbildung hätten die "nur" von R [mm] \to [/mm] R geht, wären die Spalten der Darstellungsmatrix die Bilder der Basisvektoren. Und dann wäre es möglich, ein Vektor v direkt mit der Darstellungsmatrix zu verarbeiten?
LG
DrRiese
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Hallo,
die von Dir errechnete Matrix A=$ [mm] A:=\pmat{ -1 & 0 \\ -2 & -1 } [/mm] $ ist die Darstellungsmatrix von f bzgl. derBasen [mm] B_1 [/mm] im Urbild- und [mm] B_2 [/mm] im Bildraum, in der von mir bevorzugten Schreibweise ist also [mm] _{B_2}M(f)_{B_1}=\pmat{ -1 & 0 \\ -2 & -1 }.
[/mm]
Was tut diese Matrix? Füttert man sie mit Vektoren, die in Koordinaten bzgl [mm] B_1 [/mm] gegeben sind, so liefert sie dren Bild in Koordinaten bzgl [mm] B_2.
[/mm]
Du willst nun das Bild von $ [mm] v=\vektor{1\\ 2} \in [/mm] $ V bestimmen.
Es ist $ [mm] \vektor{1\\ 2} =1*\vektor{1\\1}+1*\vektor{0\\1}=\vektor{1\\1}_{\red{(B_1)}} [/mm] $ .
Man bekommt [mm] \pmat{ -1 & 0 \\ -2 & -1 }*\vektor{1\\1}_{\red{(B_1)}}=\vektor{-1\\-3}_{\red{(B_2)}}=$ -1*\vektor{-1\\ -1}+(-3)*\vektor{1 \\ 0}=\vektor{-2\\1}. [/mm] $
Alles in Butter!
LG in meine Heimat
Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Sa 15.12.2012 | | Autor: | DrRiese |
Achso funktioniert das. Vielen Dank
LG,
DrRiese
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:50 So 16.12.2012 | | Autor: | DrRiese |
Eine Frage hätte ich noch:
Also wenn wir eine lineare Abb. hätten mit f: [mm] \IR^2 \to \IR^2 [/mm] mit [mm] (x_{1},x_{2}) \mapsto (-x_{2},x_{1}), [/mm] dann könnten wir die Darstellungsmatrix einfach angeben mit
[mm] A:=\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }. [/mm] Hier ist klar zu erkennen, dass die Spalten der Darstellungsmatrix die Bilder der Basisvektoren sind.
Aber bei der anderen Darstellungsmatrix A:= [mm] \pmat{ -1 & 0 \\ -2 & -1 } [/mm] ist das irgendwie nicht ganz ersichtlich, was hier die Spalten konkret aussagen sollen... Also Bilder der Basisvektoren sind hier nicht herauszuerkennen..
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> Eine Frage hätte ich noch:
>
> Also wenn wir eine lineare Abb. hätten mit f: [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm]
> mit [mm](x_{1},x_{2}) \mapsto (-x_{2},x_{1}),[/mm] dann könnten wir
> die Darstellungsmatrix einfach angeben mit
> [mm]A:=\pmat{ 0 & -1 \\
1 & 0 }.[/mm] Hier ist klar zu erkennen,
> dass die Spalten der Darstellungsmatrix die Bilder der
> Basisvektoren sind.
Hallo,
obige Matrix ist die darstellungsmatrix bzgl. der Standardbasis.
In ihnen stehen die Bilder der Standardbasisvektoren in Koordinaten bzgl der Standardbasis.
>
> Aber bei der anderen Darstellungsmatrix A:= [mm]\pmat{ -1 & 0 \\
-2 & -1 }[/mm]
> ist das irgendwie nicht ganz ersichtlich, was hier die
> Spalten konkret aussagen sollen...
In den Spalten der Matrix stehen die Bilder der Basisvektoren von [mm] B_1 [/mm] in Koordinaten bzgl [mm] B_2.
[/mm]
LG Angela
Also Bilder der
> Basisvektoren sind hier nicht herauszuerkennen..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:19 So 16.12.2012 | | Autor: | DrRiese |
Achso, danke. Koordinatenvektoren sind mir bis jetzt noch nicht so über den Weg gelaufen^^
LG
DrRiese
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