Darstellungstheorie < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Sa 30.04.2011 | | Autor: | Alegna |
| Aufgabe | | Gibt es eine unendliche Darstellung der Fundamentalgruppe eines top. Raumes? |
Gibt es eine unendliche Darstellung der Fundamentalgruppe eines top. Raumes?
Wäre nett, wenn ihr mir helfen könntet:)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Sa 30.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Gibt es eine unendliche Darstellung der Fundamentalgruppe
> eines top. Raumes?
Mit unendlicher Darstellung meinst du vermutlich eine unendlich-dimensionale Darstellung, d.h. eine Einbettung $G [mm] \to [/mm] Aut(V)$ mit einem unendlichdimensionalen Vektorraum $V$? (Wobei $G$ eine Fundamentalgruppe ist.)
Das geht mit jeder Gruppe $G$, nimm einfach irgendeine Darstellung [mm] $\varphi [/mm] : G [mm] \to [/mm] Aut(W)$ und erweitere diese zu einer Darstellung $G [mm] \to [/mm] Aut(W) [mm] \times [/mm] Aut(V) [mm] \subseteq [/mm] Aut(W [mm] \times [/mm] V)$ mit einem unendlichdimensionalen VR $V$, wobei $G [mm] \to [/mm] Aut(W) [mm] \times [/mm] Aut(V)$ durch $g [mm] \mapsto (\varphi(g), id_V)$ [/mm] gegeben ist.
Oder willst du eine irreduzible Darstellung?
Falls die Fundamentalgruppe unendlich ist, kannst du mit Cayley-Hamilton die Einbettung $G [mm] \to [/mm] Bij(G)$ betrachten (mit $Bij(G)$ der Gruppe der Bijektionen $G [mm] \to [/mm] G$) und deren "Standarddarstellung" (die wie im endlichen Fall einer Bijektion deren "Permutationsautomorphismus" zuweist, also auf einem Vektorraum agiert der Dimension $|G|$ hat).
Hilft dir das weiter?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 So 01.05.2011 | | Autor: | Alegna |
Ganz lieben Dank für die schnelle Hilfe.
|
|
|
|
