Das Ende fehlt noch.../Isotrop und Isometrie < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:10 So 06.06.2004 | | Autor: | Cathrine |
Guten Morgen,
weil ich mit der einen Aufgabe nichts mehr anfangen konnte, habe ich am Freitag noch eine andere angefangen und sie ist auch leichter, aber mir fehlt noch eine Idee, wie ich es richtig löse...
Also meine Aufgabe ist folgende:
Es sei [mm] V=C^4 [/mm] vershen mit der hermiteschen Form [mm] \sigma=komplexe [/mm] Konjugation.
[mm] \beta(x,y)=x_1\bar y_3 +x_2\bar y_4 +x_3\bar y_1 +x_4\bar y_2 [/mm]
Man zeige, dass [mm] U:=Lin({e_1,e_2}) [/mm] und [mm]W:=Lin({ \begin{pmatrix} 0 \\ -1+i \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1+i \\ i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}}) [/mm] total isotrope Teilräume von V sind.
Man gebe eine Isometrie [mm] \psi: [/mm] V -> V an (z.B durch Bestimmung der Abbildungsmatrix bzgl. der kanonischen Basis) mit [mm]\psi(U)=W [/mm]
Soweit die Aufgabe.
Meine bisherige Lösung:
1) hermitesche Form: eine herm. Form ist eine reflexive Sesquilinearform, für die gilt [mm] \sigma^2 [/mm] = id und [mm] \beta(x,y)=\beta(y,x)^\sigma [/mm] für alle[mm]x,y\inV [/mm]diese ist hier dann gegeben durch:
[mm] \beta(e_1, e_1)=0
[/mm]
[mm] \beta(e_1, e_2)=0
[/mm]
[mm] \beta(e_2, e_1)=0
[/mm]
[mm] \beta(e_2, e_2)=0
[/mm]
stimmt's???
2) Die Strukturmarix zu [mm] \beta =\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}[/mm] also die Nullmatrix. (ist vielleicht nicht so wichtig, oder???)
und als nächstes muss ich dann jetzt 3)
[mm] \beta(e_2, e_1) [/mm] = [mm] \sigma (\beta(e_1, e_2) [/mm] = [mm] \sigma(0)=0 [/mm]
setzen...?
(für alle beta's) und bekomme dann
[mm] e_1 =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] , oder?
So, aber jetzt muss ich ja wohl diese beiden gebenen Basen bnutzen und die aufeinander abbilden, wobei ich vermutlich auch noch den Basisergänzungssatz benutzen muss...????
Was muss ich also als nächsen Schritt machen und ist die bisherige Lösung richtig???
Tut mir leid, dass ich so spät schreibe, aber ich bin immer noch viel zu langsam mit den Aufgaben.
Vielen Dank schon mal viele Grüße, Cathy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 Mo 07.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Cathrine!
> Es sei [mm] V=C^4 [/mm] vershen mit der hermiteschen Form
> [mm] \sigma=komplexe [/mm] Konjugation.
>
> [mm]\beta(x,y)=x_1\bar y_3 +x_2\bar y_4 +x_3\bar y_1 +x_4\bar y_2[/mm]
>
>
> Man zeige, dass [mm] U:=Lin({e_1,e_2}) [/mm] und [mm]W:=Lin({ \begin{pmatrix} 0 \\ -1+i \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1+i \\ i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}})[/mm]
> total isotrope Teilräume von V sind.
Dies kann man ja durch einfaches Einsetzen verifizieren:
Wegen
[mm] $\beta(e_1,e_1) [/mm] = 1 [mm] \cdot [/mm] 0 + 0 [mm] \cdot [/mm] 1 + 0 [mm] \cdot [/mm] 1 + 0 [mm] \cdot [/mm] 0 = 0$,
[mm] $\beta(e_1,e_2)=1 \cdot [/mm] 0 + 0 [mm] \cdot [/mm] 0 + 0 [mm] \cdot [/mm] 0 + 0 [mm] \cdot [/mm] 1=0$,
[mm] $\beta(e_2,e_1) [/mm] = [mm] \sigma(\beta(e_1,e_2)) [/mm] = [mm] \sigma(0)=0$,
[/mm]
[mm] $\beta(e_2,e_2) [/mm] = 0 [mm] \cdot [/mm] 0 + 1 [mm] \cdot [/mm] 0 + 0 [mm] \cdot [/mm] 0 + 0 [mm] \cdot [/mm] 1 = 0$
ist $U$ total isotrop und wegen
[mm] $\beta(\begin{pmatrix} 0 \\ -1+i \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ -1+i \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}) [/mm] = 0 [mm] \cdot [/mm] 1 + (-1+i) [mm] \cdot [/mm] 0 + 1 [mm] \cdot [/mm] 0 + 0 [mm] \cdot [/mm] (-1-i) = 0$,
[mm] $\beta(\begin{pmatrix} 0 \\ -1+i \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1+i \\ i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}) [/mm] = 0 [mm] \cdot [/mm] 0 + (-1+i) [mm] \cdot [/mm] 1 + 1 [mm] \cdot [/mm] (1-i) + 0 [mm] \cdot [/mm] (-i) = 0$,
[mm] $\beta(\begin{pmatrix}1+i \\ i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ -1+i \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}) [/mm] = [mm] \sigma(\beta(\begin{pmatrix} 0 \\ -1+i \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1+i \\ i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}) [/mm] ) = [mm] \sigma(0)=0$
[/mm]
[mm] $\beta(\begin{pmatrix} 1+i \\ i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1+i \\ i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}) [/mm] = (1+i) [mm] \cdot [/mm] 0 + i [mm] \cdot [/mm] 1 + 0 [mm] \cdot [/mm] (1-i) + 1 [mm] \cdot [/mm] (-i) = 0$
ist auch $W$ total isotrop.
Jetzt setzen wir:
[mm] $\psi(e_1):= \begin{pmatrix} 0 \\ -1+i \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$,
[/mm]
[mm] $\psi(e_2):= \begin{pmatrix} -1-i \\ -i \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Wie du siehst, habe dich den zweiten Vektor im Bild mit $(-1)$ multipliziert. Das habe ich deswegen gemacht, damit ist die Darstellungsmatrix [mm] $\psi_{\cal E}$ [/mm] von [mm] $\psi$ [/mm] bezüglich der Standardbasis [mm] ${\cal E}$ [/mm] hermitesch wählen kann. Ist nämlich [mm] $\psi_{\cal E}$ [/mm] hermitesch, dann ist
[mm] $\psi_{\cal E}^T B_{\beta} \sigma(\psi_{\cal E})$
[/mm]
hermitesch, was ja schon mal notwendigerweise gelten muss. (Schließlich soll diese Basis insgesamt gleich [mm] $B_{\beta}$ [/mm] sein.)
Daraus ergibt sich als Ansatz:
[mm]\psi_{\cal E} = \begin{pmatrix} 0 & -1-i & 1 & 0 \\ -1+i & -i & 0 & -1 \\
1 & 0 & \* & \* \\ 0 & -1 & \* & \* \end{pmatrix}[/mm],
wobei die mit [mm] $\*$ [/mm] markierten Felder noch zu besetzen sind.
Naheliegend ist es jetzt, den Rest mit $0$en aufzufüllen. (Man könnte die Einträge auch rechnerisch bestimmen, aber ich vertraue meiner Intuition.  )
Dann hätten wir:
[mm]\psi_{\cal E} = \begin{pmatrix} 0 & -1-i & 1 & 0 \\ -1+i & -i & 0 & -1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm].
Offenbar gilt:
[mm] $\beta(\psi(e_3),\psi(e_3)) [/mm] = 0 = [mm] \beta(e_3, e_3)$,
[/mm]
[mm] $\beta(\psi(e_4),\psi(e_4)) [/mm] = 0 = [mm] \beta(e_4,e_4)$,
[/mm]
[mm] $\beta(\psi(e_3),\psi(e_4)) [/mm] = 0 = [mm] \beta(e_3,e_4)$.
[/mm]
Zu überprüfen ist jetzt noch:
(1) [mm] $\beta(\psi(e_1),\psi(e_3)) \stackrel{(!)}{=} [/mm] 1 = [mm] \beta(e_1,e_3)$,
[/mm]
(2) [mm] $\beta(\psi(e_1),\psi(e_4)) \stackrel{(!)}{=} [/mm] 0 = [mm] \beta(e_1,e_4)$,
[/mm]
(3) [mm] $\beta(\psi(e_2),\psi(e_3)) \stackrel{(!)}{=} [/mm] 0 = [mm] \beta(e_2,e_3)$,
[/mm]
(4) [mm] $\beta(\psi(e_2),\psi(e_4)) \stackrel{(!)}{=} [/mm] 1 = [mm] \beta(e_2,e_4)$.
[/mm]
Die dazu symmetrischen Paare brauchen nicht mehr betrachtet zu werden, da [mm] $\psi_{\cal E}$ [/mm] von mir hermitesch gewählt wurde.
Es gilt aber in der Tat:
(1) [mm] $\beta(\psi(e_1),\psi(e_3)) [/mm] = 0 [mm] \cdot [/mm] 0 + (-1+i) [mm] \cdot [/mm] 0 + 1 [mm] \cdot [/mm] 1 + 0 [mm] \cdot [/mm] 0 = 1$,
(2) [mm] $\beta(\psi(e_1),\psi(e_4)) [/mm] = 0 [mm] \cdot [/mm] 0 + (-1+i) [mm] \cdot [/mm] 0 + 1 [mm] \cdot [/mm] 0 + 0 [mm] \cdot [/mm] (-1) = 0$
(3) [mm] $\beta(\psi(e_2),\psi(e_3)) [/mm] = (-1-i) [mm] \cdot [/mm] 0 + (-i) [mm] \cdot [/mm] 0 + 0 [mm] \cdot [/mm] 1 + (-1) [mm] \cdot [/mm] 0 = 0$,
(4) [mm] $\beta(\psi(e_2),\psi(e_4)) [/mm] = (-1-i) [mm] \cdot [/mm] 0 + (-i) [mm] \cdot [/mm] 0 + 0 [mm] \cdot [/mm] 1 + (-1) [mm] \cdot [/mm] (-1) = 1$.
Strike!! ![[happybirthday]](/images/smileys/happybirthday.gif "[happybirthday]")
Liebe Grüße
Julius
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