Das Epsilon Delta Kriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:16 So 20.04.2008 | | Autor: | Kalita |
Hallo Leute,
hab in einer Woche meine Modulabschlussprüfung in Ana und komme soweit ganz gut voran. Aber ein Beweis bereitet mir Kopfschmerzen und zwar der, zur Epsilon- Delta Bedingung.
Zur Erinnerung
f(x) sei stetig, falls es zu jedem [mm] \delta>0 [/mm] ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt, so dass gilt: falls [mm] /x-y/<\delta, [/mm] so ist /f(x)- [mm] f(y)/<\varepsilon.
[/mm]
Ich habe zwar einen Beweis, aber ich kann ihn mir nicht logisch erklären. So hab ich es einfach selbst versucht und kam auf die Idee der Intervallschachtelungen. Doch leider blieb ich stecken. Hat vielleicht jemand von euch einen netten kleinen verständlichen Beweis dafür? So einer den man nicht lernt, sondern versteht ;)
Danke für eure Mühe! Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 So 20.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Eigentlich ist das kein Satz, den man beweisen kann sondern die Definition der Stetigkeit. Man kann höchstens beweisen dass er äquivalent einer anderen Stetigkeitsdefinition ist. Meinst du das? Dann nenne die Stetigkeitsdefinition, mit der du vergleichen willst.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 So 20.04.2008 | | Autor: | Kalita |
Hallo
Eigentlich ist das kein Satz, den man beweisen kann sondern die Definition der Stetigkeit. Man kann höchstens beweisen dass er äquivalent einer anderen Stetigkeitsdefinition ist. Meinst du das?
Oh ja, sorry. Oh Mann. *grml*
Dann nenne die Stetigkeitsdefinition, mit der du vergleichen willst.
Meine Lieblingsdefintion ist eigentlich die mit den Folgen. Wenn x(n) gegen x laufen, so läuft f(x(n) gegen f(x)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:30 So 20.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du die [mm] \epsilon- \delta [/mm] Def. mit der Folgenstetigkeit vergleichen willst, solltest du erst mal die Folgenstetigkeit genau aufschreiben statt so was mit laufen....
dan hast du da nen lim stehen, schreib auf, was es bedeutet dass lim [mm] f(x_n)=f(x)
[/mm]
usw. dann ist der Beweis, dass aus Folgenstetigkeit die andere folgt fast schon fertig, denn dann hast du da ja schon Ungleichungen stehen, nur mit es existiert ein N derart dass, statt es existiert ein [mm] \delta..
[/mm]
Oder sag, was du an eurem beweis, den du vorliegen hast nicht verstehst. sonst schreibt dir jemand ja einfach genau den!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Leute,
>
> hab in einer Woche meine Modulabschlussprüfung in Ana und
> komme soweit ganz gut voran. Aber ein Beweis bereitet mir
> Kopfschmerzen und zwar der, zur Epsilon- Delta Bedingung.
>
> Zur Erinnerung
>
> f(x) sei stetig, falls es zu jedem [mm]\delta>0[/mm] ein
> [mm]\varepsilon>0[/mm] gibt, so dass gilt: falls [mm]/x-y/<\delta,[/mm] so
> ist /f(x)- [mm]f(y)/<\varepsilon.[/mm]
da steht vollkommener Unsinn.
Beispiel:
Nach dieser Definition wäre [mm] $f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=0 \\ 1, & \mbox{sonst } \end{cases}$
[/mm]
stetig an $x=0$. Zu [mm] $\delta [/mm] > 0$ wähle man einfach [mm] $\varepsilon=2 [/mm] > 0$ (in der obigen "falschen" Version der Stetigkeit).
Richtig wäre es:
$f$ heißt stetig an der Stelle $x [mm] \in D_f$ ($D_f=$Definitionsbereich [/mm] von $f$), wenn gilt:
Zu jedem [mm] $\red{\varepsilon} [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $\red{\delta} [/mm] > 0$ (wobei [mm] $\delta=\delta(x,\varepsilon)$, [/mm] d.h. das [mm] $\delta$ [/mm] darf (und wird i.a.) in Abhängigkeit sowohl von $x$ als auch von [mm] $\varepsilon$ [/mm] zu wählen sein) mit:
Falls $|x-y| < [mm] \delta$ [/mm] folgt $|f(x)-f(y)|< [mm] \varepsilon$
[/mm]
Zudem heißt dann $f$ stetig auf [mm] $D_f$, [/mm] wenn $f$ stetig an allen Stellen $x [mm] \in D_f$ [/mm] ist.
Zu der Korrektur:
1.) Es wäre nicht schlimm, wenn Du oben "nur" die Bezeichnungen [mm] $\delta$ [/mm] und [mm] $\varepsilon$ [/mm] miteinander vertauscht hättest, aber danach steht dann ja doch wieder "$|x-y| < [mm] \delta$" [/mm] bei Dir; und dann stimmt das nicht mehr mit der "richtigen" Definition, selbst, wenn Du dort [mm] $\varepsilon$ [/mm] und [mm] $\delta$ [/mm] vertauschst.
2.) Ich finde es wichtig, dass man erstmal klärt, was stetig an einer Stelle $x$ heißt. Denn das ist schon sehr wichtig, dass man sich klar macht, dass das [mm] $\delta [/mm] > 0$ auch in Abhängigkeit von der Stelle gewählt werden kann. Ansonsten wird man später die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit nicht mehr nachvollziehen können, weil man sonst meint, sie wäre identisch mit der der Stetigkeit (was sie natürlich keinesfalls ist, glm. Stetigkeit ist stärker).
P.S.:
Übrigens zur Motivation (der richtigen Definition der Stetigkeit):
Wenn $f$ stetig an $x$ ist, so soll das heißen, dass man eine Fuktion mit folgender Eigenschaft hat:
Egal, wie klein man [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ wählt, man will dann erreichen, dass man immer eine [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] von $x$ findet, so dass alle Funktionswerte der Stellen in der [mm] $\delta$-Umgebung "$\varepsilon$-nahe" [/mm] bei $f(x)$ liegen. Grob gesagt:
Diese Funktionswerte sollen alle mit der [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von $f(x)$ eingefangen werden.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Kalita |
Danke für deine Mühe. War leider gestern tierisch müde und hab nicht mehr richtig gelesen. Was das bedeutet kann ich mir schon gut vorstellen und ich weiß auch, dass die glm Stetigkeit ein viel stärkeres Kriterium ist. (Ana I undII ist schon bestanden, jetzt steh ich quasi vor der Zwischenprüfung
)
Bin auch mittlerweile schon bei den Taylorreihen angekommen. Soweit geht es mit den Beweisen, aber dieser will einfach nicht rein. Unseren Beweis findest du in der Mitteilung oben drüber. Da hat der Dozent etwas Mist gebaut, da wir den Satz auf den er sich bezieht nicht extra bewiesen haben. Und ich finde es ziemlich dämlich mit etwas zu argumentieren, was im endeffekt sinnfrei ist, da ich meinen Bezug nicht beweisen kann.
Aber wie gesagt, danke für die Hinweise, hast dir echt Mühe gegeben
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Hallo Kalita,
warum stellst Du Deine Frage kommentarlos auf "unbeantwortet", nachdem Du eine ausführliche Antwort bekommen hattest.
Auf diese solltest Du schon eingehen, so daß man erkennen kann, was Dir unklar geblieben ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:31 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Kalita |
Dafür möchte ich mich entschuldigen. Ich stellte es um und wollte es begründen und als ich reagieren wollte kam dieses Interner Fehler Feld und ich kam nicht mehr rein. Dann musste ich in die Uni und bin jetzt erst nach Hause gekommen. Sorry nochmal.
So, nochmal von vorne.
Stimmt, bei meiner Def. steht totaler Schwachsinn, man sollte wohl nicht mitten in der Nacht schreiben...
So, Epsilon Delta:
Die auf X definierte Funktion f ist genau dann in [mm] \beta [/mm] stetig, wenn es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 ein [mm] \delta [/mm] >0 gibt, so dass für alle [mm] x\in [/mm] X mit /x- [mm] \beta [/mm] /< [mm] \delta [/mm] immer [mm] /f(x)-f(\beta)/<\varepsilon [/mm] ausfällt.
Beweis:
Wir nehmen an, dass die EpsilonDelta Bedingung erfüllt ist und xn (die Folge) gegen [mm] \beta [/mm] strebt.
Nach der Wahl von Epsilon bestimmen wir dann ein Delta, so dass der Satz:
"f:X nach R sei in beta [mm] \in [/mm] stetig und [mm] f(\beta) [/mm] sei >a . Dann existiert eine Delta Umgebung U von [mm] \beta, [/mm] so dass für alle [mm] X\in [/mm] U geschnitten X immer noch f(x)> a ist. Daraus folgt [mm] f(\beta)>a"
[/mm]
Zu diesem [mm] \delta [/mm] gibt es einen Index n0, so dass stets /xn - [mm] \beta/ [/mm] ausfällt. Daraus folgt nach der Epsilon Delta bedingung, dass /f(x)- [mm] f(\beta)/<\varepsilon [/mm] für n>n0
Also strebt f(xn) gegen [mm] f(\beta), [/mm] d.h. f ist in beta stetig
nun sei umgekehrt die Epsilon Delta Bedingung nicht erfüllt. D.h es gibt ein Ausnahme Epsilon mit der Eigenschaft:
Zu jedem [mm] \delta [/mm] >0 gibt es ein [mm] x(\delta)\in [/mm] X, so dass [mm] /x(\delta)- \beta/< \delta, [/mm] aber die funktion dazu größer Epsilon. Es gibt also zu [mm] n\in [/mm] N ein [mm] xn\in [/mm] X mit [mm] /xn-\beta/< [/mm] 1/n und [mm] /f(xn)-f(\beta)/> \varepsilon
[/mm]
Daraus folgt xn gegen Beta aber die untion geht nicht gegen die Fkt von beta, was ein widerspruch zur stetigkeit ist.
Ich bin unzufrieden damit, mit einen Satz zu argumentieren, der nicht bewiesen ist. Außerdem finde ich diese def schwer zum lernen. Deswegen hätte ich gerne einen "verständlicheren" Beweis, in dem man sich die Sachen erschließen kann, wenn man den Anfang hat,bzw. den Trick kennt.
Danke für eure Hilfe und das war echt nicht böse gemeint.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:49 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kalita,
> Dafür möchte ich mich entschuldigen. Ich stellte es um und
> wollte es begründen und als ich reagieren wollte kam dieses
> Interner Fehler Feld und ich kam nicht mehr rein. Dann
> musste ich in die Uni und bin jetzt erst nach Hause
> gekommen. Sorry nochmal.
>
> So, nochmal von vorne.
>
> Stimmt, bei meiner Def. steht totaler Schwachsinn, man
> sollte wohl nicht mitten in der Nacht schreiben...
>
> So, Epsilon Delta:
>
> Die auf X definierte Funktion f ist genau dann in [mm]\beta[/mm]
> stetig, wenn es zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] >0 ein [mm]\delta[/mm] >0 gibt,
> so dass für alle [mm]x\in[/mm] X mit /x- [mm]\beta[/mm] /< [mm]\delta[/mm] immer
> [mm]/f(x)-f(\beta)/<\varepsilon[/mm] ausfällt.
>
> Beweis:
>
> Wir nehmen an, dass die EpsilonDelta Bedingung erfüllt ist
> und xn (die Folge) gegen [mm]\beta[/mm] strebt.
>
> Nach der Wahl von Epsilon bestimmen wir dann ein Delta, so
> dass der Satz:
>
> "f:X nach R sei in beta [mm]\in[/mm] stetig und [mm]f(\beta)[/mm] sei >a .
> Dann existiert eine Delta Umgebung U von [mm]\beta,[/mm] so dass für
> alle [mm]X\in[/mm] U geschnitten X immer noch f(x)> a ist. Daraus
> folgt [mm]f(\beta)>a"[/mm]
>
> Zu diesem [mm]\delta[/mm] gibt es einen Index n0, so dass stets /xn
> - [mm]\beta/[/mm] ausfällt. Daraus folgt nach der Epsilon Delta
> bedingung, dass /f(x)- [mm]f(\beta)/<\varepsilon[/mm] für n>n0
> Also strebt f(xn) gegen [mm]f(\beta),[/mm] d.h. f ist in beta
> stetig
>
> nun sei umgekehrt die Epsilon Delta Bedingung nicht
> erfüllt. D.h es gibt ein Ausnahme Epsilon mit der
> Eigenschaft:
> Zu jedem [mm]\delta[/mm] >0 gibt es ein [mm]x(\delta)\in[/mm] X, so dass
> [mm]/x(\delta)- \beta/< \delta,[/mm] aber die funktion dazu größer
> Epsilon. Es gibt also zu [mm]n\in[/mm] N ein [mm]xn\in[/mm] X mit [mm]/xn-\beta/<[/mm]
> 1/n und [mm]/f(xn)-f(\beta)/> \varepsilon[/mm]
> Daraus folgt xn
> gegen Beta aber die untion geht nicht gegen die Fkt von
> beta, was ein widerspruch zur stetigkeit ist.
>
> Ich bin unzufrieden damit, mit einen Satz zu argumentieren,
> der nicht bewiesen ist. Außerdem finde ich diese def schwer
> zum lernen. Deswegen hätte ich gerne einen
> "verständlicheren" Beweis, in dem man sich die Sachen
> erschließen kann, wenn man den Anfang hat,bzw. den Trick
> kennt.
ehrlich gesagt verstehe ich hier immer noch Dein Problem nicht. Ich habe z.B. die [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Definition [/mm] der Stetigkeit gelernt:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
In Satz 10.7 findest Du die Charakterisierung der Stetigkeit mit Folgen. Inklusive Beweis. Weil die beiden Definitionen äquivalent sind, kann es bei Euch natürlich sein, dass ihr die Stetigkeit mittels "Folgenstetigkeit" definiert habt. Nichtsdestotrotz wird es zwischen unseren "Beweisen" sicherlich keine großen Unterschiede geben.
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Nichtsdestotrotz mal das ganze mal grob, weil ich nicht weiß, welchen Satz Du oben meinst, wo Du sagst, dass er nicht bewiesen sei (ich habe den Deinen mal in Rot gekennzeichnet); ich sehe einen solchen nämlich nicht:
Sei mal
A: $f$ stetig in [mm] $x_0$ [/mm] im Sinne der [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Definition [/mm] (mit [mm] $\delta=\delta(x_0,\varepsilon)$)
[/mm]
B: $f$ stetig in [mm] $x_0$ [/mm] im Sinne der "Folgenstetigkeit"
Man wil nun $A [mm] \gdw [/mm] B$ zeigen. Das macht man in zwei Schritten:
1. Schritt: "$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$":
Man zeigt: Unter der Voraussetzung, dass $A$ gilt, folgt, dass $B$ gilt. Ich denke, das ist Dir klar.
(Wenngleich Du da oben wieder sehr viel "Unfug" stehen hast, was diesen Beweisteil angeht. Aber richtig findest Du ihn z.B. im Skript, wenn Du genau hinguckst. Und eigentlich besteht der ganze Beweis nur aus Benutzen einer Definition, um zu zeigen, dass die Bedingung einer anderen Definition erfüllt ist. Man hangelt sich hier nur von Definition zu Definition, mehr nicht.)
2. Schritt: "$B [mm] \Rightarrow [/mm] A$":
Ich denke, hier ist bei Dir der Hund begraben. Denn hier führt man nicht den direkten Beweis mittels: Gelte $B$ ... und folgt dann, dass $A$ gilt, sondern man führt einen Widerspruchsbeweis, bzw. eigentlich "verschleiert" man einen Beweis durch Kontraposition als Widerspruchsbeweis, indem man am Ende einfach das Wort "Widerspruch" hinschreibt 
(Einschub: Für Aussagen $X,Y$ gilt:
$(X [mm] \Rightarrow [/mm] Y) [mm] \gdw ((\mbox{nicht }Y) \Rightarrow (\mbox{nicht }X))$.
[/mm]
D.h. anstatt die Aussage $X [mm] \Rightarrow [/mm] Y$ zu beweisen, kann man genausogut die Aussage [mm] $(\mbox{nicht }Y) \Rightarrow (\mbox{nicht }X)$ [/mm] beweisen. Letzteres heißt dann "Beweis durch Kontraposition".)
Und genau das wird oben gemacht: Der Beweis $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$ wird gezeigt, indem man die Kontraposition, also [mm] $(\mbox{nicht A}) \Rightarrow (\mbox{nicht }B)$ [/mm] beweist. D.h., hier wird zunächst mal [mm] $\mbox{nicht }A$ [/mm] als geltend vorausgesetzt.
Dazu:
Aussage $A$ lautet (relativ) genau: [mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0$ [mm] $\exists \delta [/mm] > 0$: [mm] $\forall [/mm] x$ mit [mm] $|x-x_0|< \delta$ [/mm] gilt [mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
D.h., die Aussage [mm] $\mbox{nicht }A$, [/mm] also die Verneinung von $A$:
[mm] $\exists$ [/mm] (mindestens) ein [mm] (Ausnahme-)$\varepsilon [/mm] > 0$: [mm] $\forall \delta [/mm] > 0$: [mm] $\exists [/mm] x$ (wobei [mm] $x=x_\delta$) [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] und [mm] $|f(x)-f(x_0)| \ge \varepsilon$. [/mm]
Und wenn es so ein [mm] (Ausnahme)-$\varepsilon$ [/mm] gibt, so dass etwas für alle [mm] $\delta [/mm] > 0$ folgt, dann folgt das insbesondere auch für die Wahl eines jeden [mm] $\delta=\delta_n=\frac{1}{n}$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$), [/mm] weil dann [mm] $\delta_n [/mm] > 0$ für jedes solche [mm] $\delta_n$.
[/mm]
(Und die Wahl der [mm] $\delta_n=\frac{1}{n}$ [/mm] ist bei diesem Beweisteil auch der "einzige Trick", der angewendet wird.)
Also, mach' Dir bitte klar:
Der Beweis der Folgerung $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$ wird bewiesen, indem man die Folgerung mittels der Kontraposition [mm] $(\mbox{nicht }A) \Rightarrow (\mbox{nicht }B)$ [/mm] beweist. D.h. hier setzt man die "Verneinung der [mm] $\varepsilon-\delta$-Definition" [/mm] als geltend voraus. Dann muss man damit zeigen, dass dann aber auch die "Folgenstetigkeit in [mm] $x_0$" [/mm] nicht gilt. Mehr wird da nicht gemacht.
P.S.:
Zu der behaupteten Äquivalenz eines Beweises einer Folgerung $X [mm] \Rightarrow [/mm] Y$ mittels der Kontraposition [mm] $(\mbox{nicht }Y) \Rightarrow (\mbox{nicht }X)$:
[/mm]
Dazu musst Du wissen, dass $R [mm] \Rightarrow [/mm] S$ (für Aussagen $R,S$) aussagenlogisch bedeutet:
[mm] $(\mbox{nicht } [/mm] R) [mm] \mbox{ oder } [/mm] S$
Zudem, dass eine doppelte Verneinung eine Bejahung bedeutet, also:
[mm] $R=\mbox{nicht }(\mbox{nicht }R)$ [/mm]
Dann ist nämlich klar:
$X [mm] \Rightarrow [/mm] Y$
[mm] $\gdw$ $(\mbox{nicht } [/mm] X) [mm] \mbox{ oder } [/mm] Y$ (das gilt per Definitionem)
[mm] $\gdw$ $(\mbox{nicht } [/mm] X) [mm] \mbox{ oder } (\mbox{nicht }(\mbox{nicht }Y))$ [/mm] (doppelte Verneinung=Bejahung)
[mm] $\gdw$ $(\mbox{nicht }(\mbox{nicht }Y)) \mbox{ oder } (\mbox{nicht } [/mm] X)$ ("oder" ist kommutativ)
[mm] $\gdw$ $((\mbox{nicht }Y) \Rightarrow (\mbox{nicht }X)$ [/mm] (per Definitionem)
(Vgl. einfach die vorletzte Zeile mit der Definition von $R [mm] \Rightarrow [/mm] S$, wenn [mm] $R=\mbox{nicht }Y$ [/mm] und [mm] $S=\mbox{nicht }X$.)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:38 Di 22.04.2008 | | Autor: | Kalita |
Danke für deine Mühe, aber ich glaube, ich werde mich mit diesem Problem an jemanden wenden, der direkt mit mir kommunizieren kann und an geeigneter Stelle nachfragen kann. Irgendwie sitzt das Problem grad tiefer (vll resultiert das auch aus meiner pers. abneigung gegen diesen Satz).
Danke für den riesenauswand den du dir gemacht hast und schönen Tag noch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:11 Di 22.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kalita,
> Danke für deine Mühe, aber ich glaube, ich werde mich mit
> diesem Problem an jemanden wenden, der direkt mit mir
> kommunizieren kann und an geeigneter Stelle nachfragen
> kann. Irgendwie sitzt das Problem grad tiefer (vll
> resultiert das auch aus meiner pers. abneigung gegen diesen
> Satz).
>
> Danke für den riesenauswand den du dir gemacht hast und
> schönen Tag noch
ja klar, kein Problem. Ggf. kannst Du dennoch gerne auch hier nochmal nachfragen. 
Wünsch' Dir viel Erfolg,
Marcel
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