Das verflixte H: Rotation < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Mi 15.01.2014 | | Autor: | xx_xx_xx |
| Aufgabe | | Ein starrer Körper bestehe aus drei identischen dünnen homogenen Stäben (jeweils mit der Länge L) die in Form des Buchstaben H aneinander befestigt sind. Der Körper kann um eine feste Achse rotieren, die durch einen der Längsstäbe des H verläuft. Er wird nun aus der waagerechten (also das H parallel zum Boden) losgelassen. Wie groß ist seine Winkelgeschwindigkeit [mm] \omega [/mm] wenn das H senkrecht steht? |
Hallo!
Also ich würde zunächst über [mm] \vec{T}=\vec{r}\times\vec{F} [/mm] und [mm] \vec{T}=J\times\vec{\beta} [/mm] die Winkelbeschleunigung [mm] \vec{\beta} [/mm] bestimmen wollen.
Es ist: [mm] \vec{r}=\vektor{0 \\ L \\ 0} [/mm] ; [mm] \vec{F}=\vektor{0 \\ 0 \\ -mg} [/mm] (m sei die Masse des H)
Dann [mm] \vec{T}=\vec{r}\times\vec{F}=\vektor{-Lmg \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Jetzt habe ich das erste Problem: Ich weiß nicht wie ich J bestimme, da ich ja nur L habe und keine andere Größe.
Ist der Ansatz denn richtig oder muss ich das irgendwie über die Bewegungsgleichungen des Pendels machen?
Danke!
LG
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Hallo!
Bei solchen Fragen ist es sinnvoll, zuerst zu überlegen, ob der Energiesatz nicht eine bessere Alternative ist. Das ist er häufig, wenn nicht explizit nach Zeiten oder Positionen gefragt ist. (Das ist etwas schwammig formuliert, weil die Antwort, ob Energiesatz besser ist, nicht so eindeutig ist)
Hier hast du ein Pendel, bei dem zwei Situationen betrachtet werden:
1.: Pendel voll ausgelenkt (bewegt sich grade nicht)
2.: Pendel geht grade durch seine Ruhelage
Das ist ein klassischer Fall von pot. Energie -> kin. Energie
Die kin. Energie ist hier die reine Rotationsenergie. Für diese brauchst du natürlich das Trägheitsmoment, in das auch die Masse eingeht. Schreib dafür doch einfach m , genauso wie du L für die nicht per Zahl angegebene Länge verwendest.
![[]](/images/popup.gif) Wikipedia hat eine Liste für einige geometrische Formen und deren Trägheitsmomente. Dein H ist ein zusammengesetzter Körper, hier kannst du die Momente der Einzelteile aufaddieren. Aber Achtung: Die Momente jedes Elements hängen natürlich von der Rotationsachse ab.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Mi 15.01.2014 | | Autor: | xx_xx_xx |
Okay! Danke!
Also habe ich [mm] E_{pot}=m*g*(L+\bruch{3}{4}r)
[/mm]
Da die Höhe sich aus der Länge des einen Stabes, den Durchmesser des unteren Stabes und den Radius des Stabes mit der Drehachse zusammensetzt.
Und [mm] E_{kin}=\bruch{1}{2}*J*\omega^{2}
[/mm]
Das Trägheitsmoment setzt sich aus drei verschiedenen zusammen, wobei r der Radius der Stäbe ist:
[mm] J_{1}=\bruch{1}{2}*m*r^{2}
[/mm]
[mm] J_{2}=\bruch{1}{2}*m*r^{2}+m*(L+\bruch{3}{4}r)^{2}
[/mm]
[mm] J_{3}=\bruch{1}{4}*m*r^{2}+\bruch{1}{12}*m*L^{2}+m*\bruch{L^{2}}{2^{2}}
[/mm]
J= [mm] J_{1}+J_{2}+J_{3}= [/mm] ... = [mm] m*[\bruch{9}{4}*r^{2}+\bruch{3}{2}*L*r+\bruch{4}{3}*L^{2}]
[/mm]
Die potentielle Energie am Anfang muss der kinetischen Energie entsprechen, wenn sich das H hier um 90° gedreht hat. Also:
[mm] m*g*(L+\bruch{3}{4}r)=\bruch{1}{2}*m*[\bruch{9}{4}*r^{2}+\bruch{3}{2}*L*r+\bruch{4}{3}*L^{2}]*\omega^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \omega=\wurzel{\bruch{g*(L+\bruch{3}{4}r)}{[\bruch{9}{4}*r^{2}+\bruch{3}{2}*L*r+\bruch{4}{3}*L^{2}]}}=\wurzel{\bruch{g*(L+\bruch{3}{4}r)}{[L+\bruch{3}{4}*r]^{2}+\bruch{1}{3}*L^{2}+\bruch{27}{16}r^{2}}}=\wurzel{\bruch{g}{[L+\bruch{3}{4}*r]+\bruch{1}{3}*L^{2}+\bruch{27}{16}r^{2}}}
[/mm]
Ist das so richtig?
Vielen Dank!
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Mi 15.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. dünn würde ich mit Radius=0 ansetzen, da ja r nicht gegeben ist. Dann rotiert aber nur eine Art T, dessen Schwerpunkt müsstest du bestimmen, denn nur dessen Lage macht die Lageenergie aus
j setzt sich dann aus dem des Stabes senkrecht zur Achse bezuglich deser Achse und [mm] mr^2 [/mm] des parallene Stabes zusammen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Mi 15.01.2014 | | Autor: | xx_xx_xx |
Hallo!
Ich weiß nicht, wie ich von r=0 ausgehen soll. Was hätten denn dann die Stäbe für eine Form? und wenn ich den schwerpunkt bestimmen soll, dann mache ich das doch mit [mm] s=\bruch{\integral_{V}^{}{\vec{r} dV}}{V} [/mm] über das Volumen...
Danke!
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Mi 15.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
die S liegen doch einfach jeweils in der Mitte, damit musst du nur noch den gesamt S ausrechnen, dazu braucht es kein Integral.
J von Stäben , je nach Drehachse steht in wiki. dazu kommt der steiner Anteil.
bei r=0 ist J=0 für rotation senkrecht zu r.
gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:10 Do 16.01.2014 | | Autor: | xx_xx_xx |
Okay, danke!
Also:
Trägheitsmomente:
- Stab senkrecht zur Drehachse: [mm] J_{1}=\bruch{1}{3}*m*L^{2}
[/mm]
- Stab parallel zu Drehschse: [mm] J_{2}=\bruch{1}{2}*m*r^{2}+m*L^{2}=m*L^{2} [/mm] wenn ich von r=0 ausgehe
[mm] \Rightarrow J_{ges}=J_{1}+J_{2}=\bruch{4}{3}*m*L^{2}
[/mm]
Schwerpunkt:
[mm] \vec{S}=\bruch{\vektor{0 \\ 0.5*L}*m+\vektor{0.5*L \\ 0.5*L}*m}{2m}=\bruch{\vektor{0.5*L \\ L}*m}{2m}=\vektor{0.25*L \\ 0.5*L}
[/mm]
Also liegt der Schwerpunkt auf dem Stab senkrecht zur Drehachse mit einem Abstand von [mm] \bruch{3}{4}*L [/mm] zur Drehache.
Energie:
Bevor der es losgelassen wird, hat die Konstruktion/ der Schwerpunkt eine potentielle Energie von [mm] E_{pot}=m*g*\bruch{3}{4}*L
[/mm]
Die kinetische Energie nach eine Umdrehung von 90° entspricht: [mm] E_{rot}=\bruch{1}{2}*J_{ges}*\omega^{2}
[/mm]
Da [mm] E_{pot}=E_{rot} [/mm] bei betrachteter Position gilt
[mm] m*g*\bruch{3}{4}*L=\bruch{1}{2}*\bruch{4}{3}*m*L^{2}*\omega^{2}
[/mm]
[mm] \gdw \omega^{2}=m*g*\bruch{3}{4}*L*2*\bruch{3}{4*m*L^{2}}
[/mm]
[mm] \gdw \omega=\wurzel{\bruch{9}{8}*\bruch{g}{L}}
[/mm]
Ist das so richtig?
Vielen Dank!
LG
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Hallo!
Sofern sich da nicht noch irgendwo ein doofer Rechenfehler eingenistet hat, würde ich sagen ja, das ist richtig so!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 Do 16.01.2014 | | Autor: | xx_xx_xx |
Super!
Vielen Dank!
LG
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