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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
Dies wird wieder einmal ein komplizierter Thread, aber ich hoffe, dass ich wieder auf Unterstützung stoße und es User gibt die diesen Spaß mit mir teilen. Ich habe einen neuen Thread eröffnet, da dies ein anderes Thema ist und für Besucher dieses Forums welche ähnliche Fragen haben übersichtlicher ist!
Da ich mich gerade intensiv mit Durchschnitt und Vereinigung befasse, versuche ich anhand der logischen DeMorganschen Regeln, die der Mengenlehre zu zeigen und zu beweisen.
Wie zeigt man dies?
Ich habe dies folgendermaßen probiert: (Ich weiß man erkennt dies eigentlich auf den ersten Blick, dass die logische Version und die Mengenlehreversion dieselbe sind aber überprüft bitte alle „Schritte“.
Sei I eine Indexmenge ungleich leer und A eine Aussage, dann gilt: $\neg \left( {{\forall }_{i\in I}}{{A}_{i}} \right)\equiv {{\exists }_{i\in I}}\left( \neg {{A}_{i}} \right)$ Zu zeigendes Gesetz:${{\left( \bigcap\limits_{i\in I}^{{}}{{{A}_{i}}} \right)}^{C}}=\bigcup\limits_{i\in I}^{{}}{{{\left( {{A}_{i}} \right)}^{C}}}$
Sei I eine Indexmenge ungleich leer und A eine Aussage, dann gilt: $\neg \left( {{\exists }_{i\in I}}{{A}_{i}} \right)\equiv {{\forall }_{i\in I}}\left( \neg {{A}_{i}} \right)$ Zu zeigendes Gesetz:\[{{\left( \bigcup\limits_{i\in I}^{{}}{{{A}_{i}}} \right)}^{C}}=\bigcap\limits_{i\in I}^{{}}{{{\left( {{A}_{i}} \right)}^{C}}}\]
1.Durchschnitt
$\neg \left( {{\forall }_{i\in I}}{{A}_{i}} \right)\equiv {{\exists }_{i\in I}}\left( \neg {{A}_{i}} \right)$ Die Negation kann man in der Mengenlehre auch als Komplement darstellen:
${{\left( {{\forall }_{i\in I}}{{A}_{i}} \right)}^{C}}\equiv {{\exists }_{i\in I}}{{\left( {{A}_{i}} \right)}^{C}}$Da man nun diese Aussage von Aussagen von Aussagen (Bitte korrigiert, falls dies falsch gesagt ist, denn die logische Äquivalenz beider Seiten ist eine Aussage, und $\neg \left( {{\forall }_{i\in I}}{{A}_{i}} \right)$ bzw. ${{\exists }_{i\in I}}{{\left( {{A}_{i}} \right)}^{C}}$ ist wieder eine Aussage von Aussagen, da man für A ja wieder Aussagen einsetzt) für Mengen zeigen will erinnert man sich dass der Durchschnitt bzw. die Vereinigung folgendermaßen definiert sind:
$\bigcap\limits_{i\in I}^{{}}{{{A}_{i}}}=\left\{ \left. x \right|{{\forall }_{i\in I}}\left( x\in {{A}_{i}} \right) \right\}$, $\bigcup\limits_{i\in I}^{{}}{{{A}_{i}}}=\left\{ \left. x \right|{{\exists }_{i\in I}}\left( x\in {{A}_{i}} \right) \right\}$
Dafür ersetzt man in die Aussage A, welche durch die anderen beiden Aussagen verknüpft, wird mit einer Menge A.
${{\left( {{\forall }_{i\in I}}{{A}_{i}} \right)}^{C}}\equiv {{\exists }_{i\in I}}{{\left( {{A}_{i}} \right)}^{C}}$ /die Aussage A mit einer Menge A ersetzen
Da eine Menge ja immer aus mindestens einem Element x besteht kann man dies so ersetzten:
\[{{\left( {{\forall }_{i\in I}}\left( x\in {{A}_{i}} \right) \right)}^{C}}\equiv {{\exists }_{i\in I}}\left( x\in {{\left( {{A}_{i}} \right)}^{C}} \right)\]
Spätestens jetzt erkennt man, dass man hier den Durchschnitt, bzw. die Vereinigung anwenden kann:
${{\left( \bigcap\limits_{i\in I}^{{}}{{{A}_{i}}} \right)}^{C}}=\bigcup\limits_{i\in I}^{{}}{{{\left( {{A}_{i}} \right)}^{C}}}$
Geht dies als Beweis durch?
Anmerkung:
> Sei I eine Indexmenge ungleich leer und A eine Aussage, dann gilt:
Diese Vorraussetzungen habe ich nirgendwo gesehen und daher angenommen!
Sind diese Vorraussetzungen richtig? Achtung: Ich spreche hier von der logischen Version!
Ich wusste gar nicht, dass man in der Logik auch Indexmengen zum Zählen von Aussagen verwendet? Stimmt diese Annahme überhaupt? Verwendet man eine Indexmenge in der Logik?
Danke im Vorraus für eure Unterstützung!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Mo 06.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Da ich mich gerade intensiv mit Durchschnitt und
> Vereinigung befasse, versuche ich anhand der logischen
> DeMorganschen Regeln, die der Mengenlehre zu zeigen und zu
> beweisen.
> Wie zeigt man dies?
>
> Ich habe dies folgendermaßen probiert: (Ich weiß man
> erkennt dies eigentlich auf den ersten Blick, dass die
> logische Version und die Mengenlehreversion dieselbe sind
> aber überprüft bitte alle „Schritte“.
>
>
>
> Sei I eine Indexmenge ungleich leer und A eine Aussage,
> dann gilt: [mm]\neg \left( {{\forall }_{i\in I}}{{A}_{i}} \right)\equiv {{\exists }_{i\in I}}\left( \neg {{A}_{i}} \right)[/mm]
> Zu zeigendes Gesetz:[mm]{{\left( \bigcap\limits_{i\in I}^{{}}{{{A}_{i}}} \right)}^{C}}=\bigcup\limits_{i\in I}^{{}}{{{\left( {{A}_{i}} \right)}^{C}}}[/mm]
>
> Sei I eine Indexmenge ungleich leer und A eine Aussage,
> dann gilt: [mm]\neg \left( {{\exists }_{i\in I}}{{A}_{i}} \right)\equiv {{\forall }_{i\in I}}\left( \neg {{A}_{i}} \right)[/mm]
> Zu zeigendes [mm]Gesetz:\[{{\left( \bigcup\limits_{i\in I}^{{}}{{{A}_{i}}} \right)}^{C}}=\bigcap\limits_{i\in I}^{{}}{{{\left( {{A}_{i}} \right)}^{C}}}\][/mm]
>
>
> 1.Durchschnitt
> [mm]\neg \left( {{\forall }_{i\in I}}{{A}_{i}} \right)\equiv {{\exists }_{i\in I}}\left( \neg {{A}_{i}} \right)[/mm]
> Die Negation kann man in der Mengenlehre auch als
> Komplement darstellen:
> [mm]{{\left( {{\forall }_{i\in I}}{{A}_{i}} \right)}^{C}}\equiv {{\exists }_{i\in I}}{{\left( {{A}_{i}} \right)}^{C}}[/mm]
Das macht jetzt keinen Sinn mehr: [mm] $\forall [/mm] i [mm] \in [/mm] I : [mm] A_i$ [/mm] ist eine Aussage, und keine Menge, also kann man auch kein Komplement von Mengen bilden!
> Geht dies als Beweis durch?
Ich denke nicht.
Ich wuerde so vorgehen:
Es ist [mm] $\biggl( \bigcap_{i \in I} A_i \biggr)^C [/mm] = [mm] \{ x \mid \forall i \in I : x \in A_i \}^C [/mm] = [mm] \{ x \mid \neg \forall i \in I : x \in A_i \} [/mm] = [mm] \{ x \mid \exists i \in I : \neg (x \in A_i) \} [/mm] = [mm] \{ x \mid \exists i \in I : x \in A_i^C \} [/mm] = [mm] \bigcup_{i \in I} A_i^C$.
[/mm]
> Anmerkung:
> > Sei I eine Indexmenge ungleich leer und A eine Aussage,
> dann gilt:
>
>
> Diese Vorraussetzungen habe ich nirgendwo gesehen und daher
> angenommen!
> Sind diese Vorraussetzungen richtig? Achtung: Ich spreche
> hier von der logischen Version!
Du brauchst die Voraussetzung weder fuer die logische noch fuer die mengentheoretische Version.
> Ich wusste gar nicht, dass man in der Logik auch
> Indexmengen zum Zählen von Aussagen verwendet? Stimmt
> diese Annahme überhaupt? Verwendet man eine Indexmenge in
> der Logik?
Warum sollte man keine verwenden? Normalerweise macht man es auch anders: man hat eine Aussage $A(i)$, die von einem Parameter $i$ abhaengt, und schreibt dann [mm] $\forall [/mm] i [mm] \in [/mm] I : A(i)$. (Oder alternativ: [mm] $\forall [/mm] i : i [mm] \in [/mm] I [mm] \Rightarrow [/mm] A(i)$.)
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Mo 06.09.2010 | | Autor: | Platoniker |
Danke!
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