De Bouvelle < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1.Der französische MAthematiker De Bouvelle "bewies" 1509, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] eine der Zahlen 6n+1 oder 6n-1 eine Primzahl ist.
Beweisen Sie ihm, dass er sich geirrt hat.
2. Schlimmer noch, beweisen Sie ihm, dass er sich unendlich oft geirrt hat. Genauer: Beweisen Sie, dass es unendlich viele natürliche Zahlen m gibt, sodass 6n+1 und 6n-1 zusammengesetzt ist. |
Hallo ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bei dieser Aufgabe habe ich mir auch Gedanken gemacht, abe rkomme nicht weiter.
zu 1. Zu zeigen ist, dass min. eine der Zahlen 6n+1 und 6n-1 zusammengesetzt ist.
Durch ein Lemma wissen wir, dass jede nat.Zahl n [mm] \ge [/mm] 2 durch eine Primzahl teilbar ist.
d.h. 6n+1 und 6n-1 sind beide durch eine Primzahl teilbar.
d.h. [mm] 6n+1=a*p_1 [/mm] und [mm] 6n-1=a*p_2, [/mm] wobei [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] primzahlen sind.
wie geht es jetzt weiter.
zu 2. Kann man nicht sagen,dass [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] irgendeine Primzahl sein können und da es unendlich viele Primzahlen gibt, folgt die Beh.
Vielen Dank
Liebe Grüße
Studentin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Mi 22.10.2014 | | Autor: | abakus |
> 1.Der französische MAthematiker De Bouvelle "bewies" 1509,
> dass für alle n [mm]\in \IN[/mm] eine der Zahlen 6n+1 oder 6n-1
> eine Primzahl ist.
> Beweisen Sie ihm, dass er sich geirrt hat.
>
> 2. Schlimmer noch, beweisen Sie ihm, dass er sich unendlich
> oft geirrt hat. Genauer: Beweisen Sie, dass es unendlich
> viele natürliche Zahlen m gibt, sodass 6n+1 und 6n-1
> zusammengesetzt ist.
> Hallo ;)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Bei dieser Aufgabe habe ich mir auch Gedanken gemacht, abe
> rkomme nicht weiter.
>
> zu 1. Zu zeigen ist, dass min. eine der Zahlen 6n+1 und
> 6n-1 zusammengesetzt ist.
Hallo,
das ist logisch falsch. Zu zeigen ist hier, dass es eine Zahl n gibt, für die BEIDE Terme (also sowohl 6n-1 als auch 6n+1) KEINE Primzahl sind.
Dafür brauchst du ein Beispiel und kein Lemma.
Gruß Abakus
> Durch ein Lemma wissen wir, dass jede nat.Zahl n [mm]\ge[/mm] 2
> durch eine Primzahl teilbar ist.
> d.h. 6n+1 und 6n-1 sind beide durch eine Primzahl
> teilbar.
> d.h. [mm]6n+1=a*p_1[/mm] und [mm]6n-1=a*p_2,[/mm] wobei [mm]p_1[/mm] und [mm]p_2[/mm]
> primzahlen sind.
> wie geht es jetzt weiter.
>
> zu 2. Kann man nicht sagen,dass [mm]p_1[/mm] und [mm]p_2[/mm] irgendeine
> Primzahl sein können und da es unendlich viele Primzahlen
> gibt, folgt die Beh.
>
> Vielen Dank
>
> Liebe Grüße
> Studentin
>
>
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> > 1.Der französische MAthematiker De Bouvelle "bewies"
> 1509,
> > dass für alle n [mm]\in \IN[/mm] eine der Zahlen 6n+1 oder 6n-1
> > eine Primzahl ist.
> > Beweisen Sie ihm, dass er sich geirrt hat.
> >
> > 2. Schlimmer noch, beweisen Sie ihm, dass er sich
> unendlich
> > oft geirrt hat. Genauer: Beweisen Sie, dass es
> unendlich
> > viele natürliche Zahlen m gibt, sodass 6n+1 und 6n-1
> > zusammengesetzt ist.
Hallo abakus,
> > zu 1. Zu zeigen ist, dass min. eine der Zahlen 6n+1 und
> > 6n-1 zusammengesetzt ist.
> Hallo,
> das ist logisch falsch. Zu zeigen ist hier, dass es eine
> Zahl n gibt, für die BEIDE Terme (also sowohl 6n-1 als
> auch 6n+1) KEINE Primzahl sind.
> Dafür brauchst du ein Beispiel und kein Lemma.
Ich hab jetzt nach ewigem ausprobieren eine Zahl gefunden für die es zutrifft unzwar n=50.
Aber ich hab einfach nur auprobiert aber weiß nicht wie man rechnerisch darauf kommen könnte. Reicht das aus als Beweis ?
zu der 2.) hab ich keider gar keinen Ansatz :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Do 23.10.2014 | | Autor: | abakus |
> > > 1.Der französische MAthematiker De Bouvelle "bewies"
> > 1509,
> > > dass für alle n [mm]\in \IN[/mm] eine der Zahlen 6n+1 oder
> 6n-1
> > > eine Primzahl ist.
> > > Beweisen Sie ihm, dass er sich geirrt hat.
> > >
> > > 2. Schlimmer noch, beweisen Sie ihm, dass er sich
> > unendlich
> > > oft geirrt hat. Genauer: Beweisen Sie, dass es
> > unendlich
> > > viele natürliche Zahlen m gibt, sodass 6n+1 und
> 6n-1
> > > zusammengesetzt ist.
> Hallo abakus,
>
> > > zu 1. Zu zeigen ist, dass min. eine der Zahlen 6n+1 und
> > > 6n-1 zusammengesetzt ist.
> > Hallo,
> > das ist logisch falsch. Zu zeigen ist hier, dass es
> eine
> > Zahl n gibt, für die BEIDE Terme (also sowohl 6n-1 als
> > auch 6n+1) KEINE Primzahl sind.
> > Dafür brauchst du ein Beispiel und kein Lemma.
>
> Ich hab jetzt nach ewigem ausprobieren eine Zahl gefunden
> für die es zutrifft unzwar n=50.
Mal sehen.
Vorgänger und Nachfolger von 6*50 sind 299 und 301.
301 ist durch 7 teilbar, und 299 ist durch 13 teilbar, okay.
Du bist etwas zu weit gerannt, denn bereits für 6*20 sind sowohl Vorgänger als auch Nachfolger keine Primzahlen.
> Aber ich hab einfach nur auprobiert aber weiß nicht wie
> man rechnerisch darauf kommen könnte. Reicht das aus als
> Beweis ?
Ja.
>
> zu der 2.) hab ich keider gar keinen Ansatz :(
Bezogen auf dein Beispiel:
300 lässt bei Teilung durch 7 den Rest 1.
Auch 300+7n lässt bei Teilung durch 7 den Rest 1 (und demzufolge ist der Vorgänger von 300+7n immer durch 7 teilbar). Für einige n gehört 300+7n sogar zu den Vielfachen von 6.
300 lässt bei Teilung durch 13 den Rest 12.
Auch 300+12m lässt bei Teilung durch 13 den Rest 12 (und demzufolge ist der Nachfolger von 300+13m immer durch 13 teilbar). Für einige m gehört auch 300+13m sogar zu den Vielfachen von 6.
Wähle jetzt mal n=6*13 und m=6*7...
Gruß Abakus
>
>
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> > > > 1.Der französische MAthematiker De Bouvelle "bewies"
> > > 1509,
> > > > dass für alle n [mm]\in \IN[/mm] eine der Zahlen 6n+1 oder
> > 6n-1
> > > > eine Primzahl ist.
> > > > Beweisen Sie ihm, dass er sich geirrt hat.
> > > >
> > > > 2. Schlimmer noch, beweisen Sie ihm, dass er sich
> > > unendlich
> > > > oft geirrt hat. Genauer: Beweisen Sie, dass es
> > > unendlich
> > > > viele natürliche Zahlen m gibt, sodass 6n+1 und
> > 6n-1
> > > > zusammengesetzt ist.
> > zu der 2.) hab ich keider gar keinen Ansatz :(
> Bezogen auf dein Beispiel:
> 300 lässt bei Teilung durch 7 den Rest 1.
Es ist 300=42*7+6. Sagt man nicht dass der Rest dann 6 ist ?
> Auch 300+7n lässt bei Teilung durch 7 den Rest 1 (und
> demzufolge ist der Vorgänger von 300+7n immer durch 7
> teilbar). Für einige n gehört 300+7n sogar zu den
> Vielfachen von 6.
Ich glaube du hast dich verschrieben. Nicht der Vorgänger sondern der Nachfolger von 300+7n ist immer durch 7 teilbar.
> 300 lässt bei Teilung durch 13 den Rest 12.
Jetzt hätte ich gesagt, dass der Rest ist. Ich weiß was du meinst, vielleicht verstehe ich den Rest falsch.
> Auch 300+12m lässt bei Teilung durch 13 den Rest 12 (und
> demzufolge ist der Nachfolger von 300+13m immer durch 13
> teilbar). Für einige m gehört auch 300+13m sogar zu den
> Vielfachen von 6.
Hier ist nicht der Nachfolger sondern der Vorgänger immer durch 13 teilbar.
> Wähle jetzt mal n=6*13 und m=6*7...
Für n*6*13 erhalte ich
300+7n=300+7*6*13=846:6=141
300+7m=300+13*6*7=846:6=141 bzw.
6n+1=6*6*13+1=469, 469 ist keine Primzahl
6n-1=6*6*13-1=467 , 467 ist aber eine Primzahl.
Jetzt bin ich etwas verwirrt, da 6n-1 eine Primzahlt ist und wir aber zeigen wollten, dass es unendlich viele n gibt für die 6n-1 und 6n+1 keine Primzahlen sind.
Ich hab mir nun gedacht allgemein aufzuschreiben:
Wähle [mm] x=\bruch{n}{6}. [/mm] Dann ist 6n+1=x*a eine zusammengesetzte Zahl für ein n [mm] \in \IN.
[/mm]
Wie wählt man aber x bei 6n-1 ?
lg
studentin
>
> >
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Fr 24.10.2014 | | Autor: | abakus |
> > > > > 1.Der französische MAthematiker De Bouvelle "bewies"
> > > > 1509,
> > > > > dass für alle n [mm]\in \IN[/mm] eine der Zahlen 6n+1
> oder
> > > 6n-1
> > > > > eine Primzahl ist.
> > > > > Beweisen Sie ihm, dass er sich geirrt hat.
> > > > >
> > > > > 2. Schlimmer noch, beweisen Sie ihm, dass er
> sich
> > > > unendlich
> > > > > oft geirrt hat. Genauer: Beweisen Sie, dass es
> > > > unendlich
> > > > > viele natürliche Zahlen m gibt, sodass 6n+1 und
> > > 6n-1
> > > > > zusammengesetzt ist.
>
> > > zu der 2.) hab ich keider gar keinen Ansatz :(
> > Bezogen auf dein Beispiel:
> > 300 lässt bei Teilung durch 7 den Rest 1.
>
> Es ist 300=42*7+6. Sagt man nicht dass der Rest dann 6 ist
> ?
>
> > Auch 300+7n lässt bei Teilung durch 7 den Rest 1 (und
> > demzufolge ist der Vorgänger von 300+7n immer durch 7
> > teilbar). Für einige n gehört 300+7n sogar zu den
> > Vielfachen von 6.
>
> Ich glaube du hast dich verschrieben. Nicht der Vorgänger
> sondern der Nachfolger von 300+7n ist immer durch 7
> teilbar.
Du hast Recht, ich habe die beiden Fälle verwechselt.
Nochmal von vorn:
299 ist durch 13 teilbar, 300 lässt also den Rest 1 bei Teilung durch 13.
300 ist durch 6 teilbat
301 ist durch 7 teilbar, 300 lässt also den Rest 6 bei Teilung durch 7.
Alle Teilbarkeiten wiederholen sich mit (unterschiedlicher) Regelmäßigkeit.
Auch 306, 312, 318 usw. sind duch 6 teilbar, aber die Vorgänger 305, 311, 318 sind nicht durch 13 teilbar.
Wählst du allerdings 300+13*6 als Vielfaches von 6, so ist der Vorgänger 299+13*6 auch durch 13 teilbar (299 war durch 13 teilbar und der zusätzliche Summand 13*6 ist es auch).
Du hättest auch 300+26*6 oder 300+39*6 ... wählen können, der Vorgänger 299+13*6, 299+26*6 bzw. 299+39*6 wäre immer durch 13 teilbar.
Leider spielt der Nachfolger da nicht mit.
Weder 301+13*6, 301+26*6 noch 301+39*6 ist auch wieder (so wie 301) durch 7 teilbar.
ABER 299+(13*7)*6 ist wie 299 durch 13 teilbar, UND 301+(13*7)*6 ist wie 301 durch 7 teilbar.
Somit hast du eine zweite Vorgänger/Nachfolgerpaar eines Vielfachen von 6 gefunden, was wegen dieser beiden Teilbarkeiten keine Primzahl ist.
Wo findest du nun ein drittes, viertes, fünftes Paar mit der Teilbarkeit durch 13 bzw. 7?
Gruß Abakus
>
> > 300 lässt bei Teilung durch 13 den Rest 12.
>
> Jetzt hätte ich gesagt, dass der Rest ist. Ich weiß was
> du meinst, vielleicht verstehe ich den Rest falsch.
>
> > Auch 300+12m lässt bei Teilung durch 13 den Rest 12 (und
> > demzufolge ist der Nachfolger von 300+13m immer durch 13
> > teilbar). Für einige m gehört auch 300+13m sogar zu den
> > Vielfachen von 6.
>
> Hier ist nicht der Nachfolger sondern der Vorgänger immer
> durch 13 teilbar.
>
> > Wähle jetzt mal n=6*13 und m=6*7...
> Für n*6*13 erhalte ich
> 300+7n=300+7*6*13=846:6=141
> 300+7m=300+13*6*7=846:6=141 bzw.
>
> 6n+1=6*6*13+1=469, 469 ist keine Primzahl
> 6n-1=6*6*13-1=467 , 467 ist aber eine Primzahl.
>
> Jetzt bin ich etwas verwirrt, da 6n-1 eine Primzahlt ist
> und wir aber zeigen wollten, dass es unendlich viele n gibt
> für die 6n-1 und 6n+1 keine Primzahlen sind.
>
> Ich hab mir nun gedacht allgemein aufzuschreiben:
> Wähle [mm]x=\bruch{n}{6}.[/mm] Dann ist 6n+1=x*a eine
> zusammengesetzte Zahl für ein n [mm]\in \IN.[/mm]
> Wie wählt man
> aber x bei 6n-1 ?
>
> lg
> studentin
>
> >
> > >
> > >
>
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Hallo,
> Du hast Recht, ich habe die beiden Fälle verwechselt.
> Nochmal von vorn:
> 299 ist durch 13 teilbar, 300 lässt also den Rest 1 bei
> Teilung durch 13.
> 300 ist durch 6 teilbat
> 301 ist durch 7 teilbar, 300 lässt also den Rest 6 bei
> Teilung durch 7.
>
> Alle Teilbarkeiten wiederholen sich mit (unterschiedlicher)
> Regelmäßigkeit.
> Auch 306, 312, 318 usw. sind duch 6 teilbar, aber die
> Vorgänger 305, 311, 318 sind nicht durch 13 teilbar.
> Wählst du allerdings 300+13*6 als Vielfaches von 6, so
> ist der Vorgänger 299+13*6 auch durch 13 teilbar (299 war
> durch 13 teilbar und der zusätzliche Summand 13*6 ist es
> auch).
> Du hättest auch 300+26*6 oder 300+39*6 ... wählen
> können, der Vorgänger 299+13*6, 299+26*6 bzw. 299+39*6
> wäre immer durch 13 teilbar.
> Leider spielt der Nachfolger da nicht mit.
> Weder 301+13*6, 301+26*6 noch 301+39*6 ist auch wieder (so
> wie 301) durch 7 teilbar.
>
> ABER 299+(13*7)*6 ist wie 299 durch 13 teilbar, UND
> 301+(13*7)*6 ist wie 301 durch 7 teilbar.
> Somit hast du eine zweite Vorgänger/Nachfolgerpaar eines
> Vielfachen von 6 gefunden, was wegen dieser beiden
> Teilbarkeiten keine Primzahl ist.
> Wo findest du nun ein drittes, viertes, fünftes Paar mit
> der Teilbarkeit durch 13 bzw. 7?
Ich hab jetzt für einige a ausprobiert und herausgefunden, dass die Zahlen 299+(a*13*7)*6 durch 13 teilbar sind, für a 1,2 oder 3. (Ich denke es trifft auf alle a [mm] \in \IN [/mm] zu aber bewiesen hab ich das nicht)
Und die Zahlen 301+(b*13*7)*6 sind stets durch 7 teilbar.
So, wir wollten nun ursprünglich zeigen, dass es unendlich viele Zahlen n gibt sodass 6n-1 und 6n+1 zusammengesetzt ist.
Für n=50 ist mir das jetzt einleuchtend, aber wie geh ich denn allgemein an die Aufgabe ?
lg
studentin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Sa 25.10.2014 | | Autor: | abakus |
> Ich hab jetzt für einige a ausprobiert und herausgefunden,
> dass die Zahlen 299+(a*13*7)*6 durch 13 teilbar sind, für
> a 1,2 oder 3. (Ich denke es trifft auf alle a [mm]\in \IN[/mm] zu
> aber bewiesen hab ich das nicht)
>
> Und die Zahlen 301+(b*13*7)*6 sind stets durch 7 teilbar.
>
> So, wir wollten nun ursprünglich zeigen, dass es unendlich
> viele Zahlen n gibt sodass 6n-1 und 6n+1 zusammengesetzt
> ist.
>
> Für n=50 ist mir das jetzt einleuchtend, aber wie geh ich
> denn allgemein an die Aufgabe ?
>
> lg
> studentin
>
a*13*7 ist IMMER (für jedes natürliche a und nicht nur für a=1, 2 oder 3) durch 7 und auch durch 13 teilbar.
Warum verwenden wir eigentlich "a"?
n*13*7 ist immer durch 13 und durch 7 teilbar.
n*13*7*6 ist immer ein Vielfaches von 6.
300+ n*13*7*6 ist auch immer ein Vielfaches von 6.
Da 299 durch 13 teilbar war, ist auch
299+ n*13*7*6 immer durch 13 teilbar unsd somit keine Primzahl.
Und welche für die Aufgabe wichtige Eigenschaft hat 301+ n*13*7*6 ?
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> a*13*7 ist IMMER (für jedes natürliche a und nicht nur
> für a=1, 2 oder 3) durch 7 und auch durch 13 teilbar.
> Warum verwenden wir eigentlich "a"?
> n*13*7 ist immer durch 13 und durch 7 teilbar.
> n*13*7*6 ist immer ein Vielfaches von 6.
> 300+ n*13*7*6 ist auch immer ein Vielfaches von 6.
> Da 299 durch 13 teilbar war, ist auch
> 299+ n*13*7*6 immer durch 13 teilbar unsd somit keine
> Primzahl.
> Und welche für die Aufgabe wichtige Eigenschaft hat
> 301+ n*13*7*6 ?
301+n*13*7*6 ist immer durch 7 teilbar also keine Primzahl.
Und da es unendlich viele a und n gibt für die das zutrifft, ist bewiesen dass es unendlich viele n gib, sodass 6n+1 und 6n-1 zusammengesetzt ist.
Richtig ?
lg
Studentin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:35 Sa 25.10.2014 | | Autor: | abakus |
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> > a*13*7 ist IMMER (für jedes natürliche a und nicht nur
> > für a=1, 2 oder 3) durch 7 und auch durch 13 teilbar.
> > Warum verwenden wir eigentlich "a"?
> > n*13*7 ist immer durch 13 und durch 7 teilbar.
> > n*13*7*6 ist immer ein Vielfaches von 6.
> > 300+ n*13*7*6 ist auch immer ein Vielfaches von 6.
> > Da 299 durch 13 teilbar war, ist auch
> > 299+ n*13*7*6 immer durch 13 teilbar unsd somit keine
> > Primzahl.
> > Und welche für die Aufgabe wichtige Eigenschaft hat
> > 301+ n*13*7*6 ?
>
> 301+n*13*7*6 ist immer durch 7 teilbar also keine
> Primzahl.
> Und da es unendlich viele a und n gibt für die das
> zutrifft, ist bewiesen dass es unendlich viele n gib,
> sodass 6n+1 und 6n-1 zusammengesetzt ist.
> Richtig ?
>
> lg
> Saira
Ja, das passt so. (Wobei in meiner Argumentation nur die Variable n vorkommt, nicht noch eine andere Variable a.)
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