Dedekindscher Schnitt < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Do 03.11.2005 | | Autor: | musunoi |
Hallo!
habe folgende Aufgabe zu lösen, bzw. die Vollständigkeit zu zeigen, und weiss nicht wo ich anfangen soll:
Ein Dedekindscher Schnitt ist ein Paar nicht leerer Mengen A,B ⊂ R mit
i) A ∪ B = R,
ii) für beliebige a ∈ A, b ∈ B gilt a ≤ b.
Zu zeigen ist: Die Vollständigkeit von R ist äquivalent zu der Aussage:
Zu jedem Dedekindschen Schnitt (A,B) gibt es ein s ∈ R mit a ≤ s ≤ b für alle a ∈ A,
b ∈ B.
Könnt ihr mir bitte weiterhelfen?
Vielen Dank 
musunoi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Musunoi,
ich nehme an, ihr habt die Vollständigkeit von [mm] \IR [/mm] definiert als "Konvergenz jeder Cauchyfolge in [mm] \IR". [/mm] Andernfalls müsstes Du angeben, was "Vollständigkeit" heißt.
1. Jeder Dedekindschnitt habe eine Trennzahl s:
Sei eine Cauchyfolge [mm] \{x_i : i\in \IN\} [/mm] gegeben, dann teile sie in eine monoton wachsende Teilfolge [mm] a_i [/mm] und eine monoton fallende [mm] b_i. [/mm] Du erhältst einen Dedekindschnitt durch A := [mm]\{[/mm]a : es gibt ein i mit a [mm] \le a_i[/mm] [mm]\}[/mm] und B := [mm]\{[/mm]b : es gibt ein j mit [mm] b_j \le [/mm] b[mm]\}[/mm]. Die Trennzahl s ist dann Grenzwert der beiden Folgen bzw. der von [mm] x_i.
[/mm]
2. Jede Cauchyfolge [mm] \{x_i : i\in \IN\} [/mm] habe einen Grenzwert s in [mm] \IR:
[/mm]
Zu einem Dedekindschnitt A und B und zu zwei Zahlen [mm] a_0 [/mm] aus A und [mm] b_0 [/mm] aus B definierst Du zwei monotone Folgen [mm] \{a_i \} [/mm] und [mm] \{b_i \}, [/mm] indem Du entscheidest, ob der Mittelwert 0,5 [mm] (a_i [/mm] + [mm] b_i) [/mm] in A liegt, dann ist a{i+1} := 0,5 [mm] (a_i [/mm] + [mm] b_i) [/mm] , oder in B liegt, dann ist [mm] b_{i+1} [/mm] := 0,5 [mm] (a_i [/mm] + [mm] b_i). [/mm] Den nächsten fehlenden Wert [mm] a_{i+1} [/mm] oder je nachdem [mm] b_{i+1} [/mm] holst Du Dir durch forgesetzte Mittelwertsbildung.
Dann kriegst Du eine monoton wachsende Folge in A und eine fallende Folge in B mit gleichem Grenzwert s, der dann die gesuchte Trennzahl ist.
Wahrscheinlich kannst Du das Ganze noch "entschlacken".
Grüße, Richard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:13 Mi 09.11.2005 | | Autor: | musunoi |
Hallo Herr Toellner,
vielen Dank für Ihre ausfürliche Antwort; war sehr hilfreich. So konnte ich die Aufgabe lösen, und noch wichtiger, habe endlich verstanden, worum es eigentlich geht.
Nochmals herzlichen Dank!
Gruß,
musunoi
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