Def.+Wertb. angeben + Umkehrf. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Fr 23.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
| Aufgabe | Für die folgenden Funktionen gebe man einen möglichst großen Definitionsbereich an und ermittle die zugehörige Bildmenge. Falls f umkehrbar ist, berechne man die Umkehrfunktion f^-1 und gebe deren Definitionsbereich und die Bildmenge an.
[mm] f(x)=\bruch{x}{|x|}
[/mm]
[mm] f(x)=\bruch{7x+3}{5x-1} [/mm] |
Hallo,
Zunächst eine kleine Frage:
Muss man bei dieser Aufgabe das ganze nach dem Schema:
Vor.: .....
Beh.: ....
Es gilt: ....
gliedern? (Ich gehe erstmal hier davon aus, dass man es nicht muss)
Nun zur eigentlichen Aufgabe. Hier meine Lösungsvorschläge. Sind sie richtig? Bei der 2. Funktion komme ich nicht weiter...
[mm] f(x)=\bruch{x}{|x|}
[/mm]
Größtmöglicher Definitionsbereich mit zugehöriger Bildmenge:
f: [mm] \IR [/mm] \ {0} [mm] \to [/mm] {1, -1}
f(x) ist nicht umkehrbar, wenn für alle x1, x2 [mm] \in\IR [/mm] gilt: [mm] x1\not=x2 \wedge [/mm] f(x1)=f(x2)
x1=2
x2=3
Die Funktion ist nicht umkehrbar, denn
x1 [mm] \not= [/mm] x2 [mm] \wedge [/mm] f(x1)=f(x2)
----------
[mm] f(x)=\bruch{7x+3}{5x-1}
[/mm]
Größtmöglicher Definitionsbereich mit zugehöriger Bildmenge:
f: [mm] \IR [/mm] \ { [mm] {\bruch{1}{5}} [/mm] } [mm] \to \IR
[/mm]
f(x) ist nicht umkehrbar, wenn für alle x1, x2 [mm] \in\IR [/mm] gilt: [mm] x1\not=x2 \wedge [/mm] f(x1)=f(x2)
x1=2
x2=3
Die Funktion ist umkehrbar, denn
x1 [mm] \not= [/mm] x2 [mm] \wedge [/mm] f(x1) [mm] \not= [/mm] f(x2)
Hier krieg ich jetzt die Umkehrfunktion nicht gebildet...
[mm] y=\bruch{7x+3}{5x-1} [/mm] | *(5x-1)
[mm] \gdw [/mm] 5xy-y=7x+3 | -3
[mm] \gdw [/mm] 5xy-y-3=7x
???
Ich muss ja hier nach x auflösen und dann x mit y vertauschen, dann habe ich meine Umkehrfunktion. Aber ich kriege diese Gleichung nicht nach x aufgelöst, was ja galube ich dann bedeutet, dass die Funktion nicht umkehrbar ist oder? Aber oben an meinem Merksatz habe ich gesehen, dass sie umkehrbar sein muss?!
Wo liegt mein Fehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Fr 23.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Für die folgenden Funktionen gebe man einen möglichst
> großen Definitionsbereich an und ermittle die zugehörige
> Bildmenge. Falls f umkehrbar ist, berechne man die
> Umkehrfunktion f^-1 und gebe deren Definitionsbereich und
> die Bildmenge an.
>
> [mm]f(x)=\bruch{x}{|x|}[/mm]
>
> [mm]f(x)=\bruch{7x+3}{5x-1}[/mm]
> Hallo,
>
> Zunächst eine kleine Frage:
> Muss man bei dieser Aufgabe das ganze nach dem Schema:
>
> Vor.: .....
>
> Beh.: ....
>
> Es gilt: ....
>
> gliedern? (Ich gehe erstmal hier davon aus, dass man es
> nicht muss)
richtig
>
> Nun zur eigentlichen Aufgabe. Hier meine
> Lösungsvorschläge. Sind sie richtig? Bei der 2. Funktion
> komme ich nicht weiter...
>
> [mm]f(x)=\bruch{x}{|x|}[/mm]
> Größtmöglicher Definitionsbereich mit zugehöriger
> Bildmenge:
> f: [mm]\IR[/mm] \ {0} [mm]\to[/mm] {1, -1}
>
> f(x) ist nicht umkehrbar, wenn für alle x1, x2 [mm]\in\IR[/mm]
nicht für alle sondern es gibt x1,x2 für die gilt!
> gilt: [mm]x1\not=x2 \wedge[/mm] f(x1)=f(x2)
>
> x1=2
> x2=3
>
> Die Funktion ist nicht umkehrbar, denn
> x1 [mm]\not=[/mm] x2 [mm]\wedge[/mm] f(x1)=f(x2)
>
>
> ----------
>
> [mm]f(x)=\bruch{7x+3}{5x-1}[/mm]
> Größtmöglicher Definitionsbereich mit zugehöriger
> Bildmenge:
> f: [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
\ { [mm]{\bruch{1}{5}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]\to \IR[/mm]
hier musst du wohl zeigen, dass du ganz [mm] \IR [/mm] erreichst!
> f(x) ist nicht umkehrbar, wenn für alle x1, x2 [mm]\in\IR[/mm]
> gilt: [mm]x1\not=x2 \wedge[/mm] f(x1)=f(x2)
>
> x1=2
> x2=3
hier hilft ein einziges Bsp nicht! durch Angabe der Umkehrfkt zeigst du, dass es sie gibt ausser für...?
> Die Funktion ist umkehrbar, denn
> x1 [mm]\not=[/mm] x2 [mm]\wedge[/mm] f(x1) [mm]\not=[/mm] f(x2)
>
> Hier krieg ich jetzt die Umkehrfunktion nicht gebildet...
>
> [mm]y=\bruch{7x+3}{5x-1}[/mm] | *(5x-1)
>
> [mm]\gdw[/mm] 5xy-y=7x+3 | -3
>
> [mm]\gdw[/mm] 5xy-y-3=7x
> ???
Alles mit x auf eine seite, Rest auf die andere, x ausklammern und durch (...) dividieren
> Wo liegt mein Fehler?
keiner, aber dein merksatz hast du auch falsch angewendet.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Fr 23.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
> Hallo
> > Für die folgenden Funktionen gebe man einen möglichst
> > großen Definitionsbereich an und ermittle die zugehörige
> > Bildmenge. Falls f umkehrbar ist, berechne man die
> > Umkehrfunktion f^-1 und gebe deren Definitionsbereich und
> > die Bildmenge an.
> >
> > [mm]f(x)=\bruch{x}{|x|}[/mm]
> >
> > [mm]f(x)=\bruch{7x+3}{5x-1}[/mm]
> > Hallo,
> >
> > Zunächst eine kleine Frage:
> > Muss man bei dieser Aufgabe das ganze nach dem Schema:
> >
> > Vor.: .....
> >
> > Beh.: ....
> >
> > Es gilt: ....
> >
> > gliedern? (Ich gehe erstmal hier davon aus, dass man es
> > nicht muss)
> richtig
> >
> > Nun zur eigentlichen Aufgabe. Hier meine
> > Lösungsvorschläge. Sind sie richtig? Bei der 2. Funktion
> > komme ich nicht weiter...
> >
> > [mm]f(x)=\bruch{x}{|x|}[/mm]
> > Größtmöglicher Definitionsbereich mit zugehöriger
> > Bildmenge:
> > f: [mm]\IR[/mm] \ {0} [mm]\to[/mm] {1, -1}
> >
> > f(x) ist nicht umkehrbar, wenn für alle x1, x2 [mm]\in\IR[/mm]
> nicht für alle sondern es gibt x1,x2 für die gilt!
> > gilt: [mm]x1\not=x2 \wedge[/mm] f(x1)=f(x2)
> >
> > x1=2
> > x2=3
> >
> > Die Funktion ist nicht umkehrbar, denn
> > x1 [mm]\not=[/mm] x2 [mm]\wedge[/mm] f(x1)=f(x2)
> >
> >
> > ----------
> >
> > [mm]f(x)=\bruch{7x+3}{5x-1}[/mm]
> > Größtmöglicher Definitionsbereich mit zugehöriger
> > Bildmenge:
> > f: [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> \ { [mm]{\bruch{1}{5}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> } [mm]\to \IR[/mm]
> hier musst du wohl zeigen, dass du ganz [mm]\IR[/mm]
> erreichst!
Wie genau mache ich das?
> > f(x) ist nicht umkehrbar, wenn für alle x1, x2 [mm]\in\IR[/mm]
> > gilt: [mm]x1\not=x2 \wedge[/mm] f(x1)=f(x2)
> >
> > x1=2
> > x2=3
> hier hilft ein einziges Bsp nicht! durch Angabe der
> Umkehrfkt zeigst du, dass es sie gibt ausser für...?
Wieso reicht ein einziges Beispiel nicht aus?
Ich habe doch gezeigt, dass zwei verschiedene Werte aus dem Definitionsbereich den gleichen Funktionswert besitzen. Wenn dies der Fall ist (z.b. für x1=2, x2=3), dann ist die Funktion nicht umkehrbar.
> > Die Funktion ist umkehrbar, denn
> > x1 [mm]\not=[/mm] x2 [mm]\wedge[/mm] f(x1) [mm]\not=[/mm] f(x2)
> >
> > Hier krieg ich jetzt die Umkehrfunktion nicht gebildet...
> >
> > [mm]y=\bruch{7x+3}{5x-1}[/mm] | *(5x-1)
> >
> > [mm]\gdw[/mm] 5xy-y=7x+3 | -3
> >
> > [mm]\gdw[/mm] 5xy-y-3=7x
> > ???
> Alles mit x auf eine seite, Rest auf die andere, x
> ausklammern und durch (...) dividieren
Stimmt...
Werd das ganze nochmal verbessert aufschreiben, sobald die 2 obigen Fragen geklärt sind.
>
> > Wo liegt mein Fehler?
> keiner, aber dein merksatz hast du auch falsch
> angewendet.
> Gruss leduart
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Hallo Jack,
> > Hallo
> > > Für die folgenden Funktionen gebe man einen
> möglichst
> > > großen Definitionsbereich an und ermittle die zugehörige
> > > Bildmenge. Falls f umkehrbar ist, berechne man die
> > > Umkehrfunktion f^-1 und gebe deren Definitionsbereich und
> > > die Bildmenge an.
> > >
> > > [mm]f(x)=\bruch{x}{|x|}[/mm]
> > >
> > > [mm]f(x)=\bruch{7x+3}{5x-1}[/mm]
> > > Hallo,
> > >
> > > Zunächst eine kleine Frage:
> > > Muss man bei dieser Aufgabe das ganze nach dem
> Schema:
> > >
> > > Vor.: .....
> > >
> > > Beh.: ....
> > >
> > > Es gilt: ....
> > >
> > > gliedern? (Ich gehe erstmal hier davon aus, dass man es
> > > nicht muss)
> > richtig
> > >
> > > Nun zur eigentlichen Aufgabe. Hier meine
> > > Lösungsvorschläge. Sind sie richtig? Bei der 2. Funktion
> > > komme ich nicht weiter...
> > >
> > > [mm]f(x)=\bruch{x}{|x|}[/mm]
> > > Größtmöglicher Definitionsbereich mit
> zugehöriger
> > > Bildmenge:
> > > f: [mm]\IR[/mm] \ {0} [mm]\to[/mm] {1, -1}
> > >
> > > f(x) ist nicht umkehrbar, wenn für alle x1, x2 [mm]\in\IR[/mm]
> > nicht für alle sondern es gibt x1,x2 für die gilt!
> > > gilt: [mm]x1\not=x2 \wedge[/mm] f(x1)=f(x2)
> > >
> > > x1=2
> > > x2=3
> > >
> > > Die Funktion ist nicht umkehrbar, denn
> > > x1 [mm]\not=[/mm] x2 [mm]\wedge[/mm] f(x1)=f(x2)
> > >
> > >
> > > ----------
> > >
> > > [mm]f(x)=\bruch{7x+3}{5x-1}[/mm]
> > > Größtmöglicher Definitionsbereich mit
> zugehöriger
> > > Bildmenge:
> > > f: [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> >
> > \ { [mm]{\bruch{1}{5}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> >
> > } [mm]\to \IR[/mm]
> > hier musst du wohl zeigen, dass du ganz [mm]\IR[/mm]
> > erreichst!
>
> Wie genau mache ich das?
Nun, du gibst dir ein bel. [mm]y\in\IR[/mm] vor und musst dazu ein [mm]x\in\IR[/mm] angeben mit [mm]f(x)=y[/mm]
Also [mm]\frac{7x+3}{5x-1}=y[/mm]
Das musst du nach x auflösen; dabei wirst du feststellen, dass die Umformung für ein gewisses y nicht klappt, da du durch 0 teilen müsstest.
Dh. dieses y erreichst du nicht ...
>
> > > f(x) ist nicht umkehrbar, wenn für alle x1, x2 [mm]\in\IR[/mm]
> > > gilt: [mm]x1\not=x2 \wedge[/mm] f(x1)=f(x2)
> > >
> > > x1=2
> > > x2=3
> > hier hilft ein einziges Bsp nicht! durch Angabe der
> > Umkehrfkt zeigst du, dass es sie gibt ausser für...?
>
> Wieso reicht ein einziges Beispiel nicht aus?
> Ich habe doch gezeigt, dass zwei verschiedene Werte aus
> dem Definitionsbereich den gleichen Funktionswert besitzen.
> Wenn dies der Fall ist (z.b. für x1=2, x2=3), dann ist die
> Funktion nicht umkehrbar.
Das wäre es, ist es aber nicht, es ist [mm]f(2)=17/9[/mm] und [mm]f(3)=12/7[/mm] (modulo Rechenfehler)
Es werden hier keine 2 verschiedenen Werte aus dem Definitionsbereich auf ein und dasselbe Bild geschickt ...
Lass dir das Biest doch mal plotten ...
>
>
> > > Die Funktion ist umkehrbar, denn
> > > x1 [mm]\not=[/mm] x2 [mm]\wedge[/mm] f(x1) [mm]\not=[/mm] f(x2)
> > >
> > > Hier krieg ich jetzt die Umkehrfunktion nicht gebildet...
> > >
> > > [mm]y=\bruch{7x+3}{5x-1}[/mm] | *(5x-1)
> > >
> > > [mm]\gdw[/mm] 5xy-y=7x+3 | -3
> > >
> > > [mm]\gdw[/mm] 5xy-y-3=7x
> > > ???
> > Alles mit x auf eine seite, Rest auf die andere, x
> > ausklammern und durch (...) dividieren
>
> Stimmt...
> Werd das ganze nochmal verbessert aufschreiben, sobald die
> 2 obigen Fragen geklärt sind.
Gut, mache das, dann klärt sich auch deine erste Frage ...
>
> >
> > > Wo liegt mein Fehler?
> > keiner, aber dein merksatz hast du auch falsch
> > angewendet.
> > Gruss leduart
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Fr 23.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
> Hallo Jack,
>
>
> > > Hallo
> > > > Für die folgenden Funktionen gebe man einen
> > möglichst
> > > > großen Definitionsbereich an und ermittle die zugehörige
> > > > Bildmenge. Falls f umkehrbar ist, berechne man die
> > > > Umkehrfunktion f^-1 und gebe deren Definitionsbereich und
> > > > die Bildmenge an.
> > > >
> > > > [mm]f(x)=\bruch{x}{|x|}[/mm]
> > > >
> > > > [mm]f(x)=\bruch{7x+3}{5x-1}[/mm]
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > Zunächst eine kleine Frage:
> > > > Muss man bei dieser Aufgabe das ganze nach dem
> > Schema:
> > > >
> > > > Vor.: .....
> > > >
> > > > Beh.: ....
> > > >
> > > > Es gilt: ....
> > > >
> > > > gliedern? (Ich gehe erstmal hier davon aus, dass man es
> > > > nicht muss)
> > > richtig
> > > >
> > > > Nun zur eigentlichen Aufgabe. Hier meine
> > > > Lösungsvorschläge. Sind sie richtig? Bei der 2. Funktion
> > > > komme ich nicht weiter...
> > > >
> > > > [mm]f(x)=\bruch{x}{|x|}[/mm]
> > > > Größtmöglicher Definitionsbereich mit
> > zugehöriger
> > > > Bildmenge:
> > > > f: [mm]\IR[/mm] \ {0} [mm]\to[/mm] {1, -1}
> > > >
> > > > f(x) ist nicht umkehrbar, wenn für alle x1, x2 [mm]\in\IR[/mm]
> > > nicht für alle sondern es gibt x1,x2 für die gilt!
> > > > gilt: [mm]x1\not=x2 \wedge[/mm] f(x1)=f(x2)
> > > >
> > > > x1=2
> > > > x2=3
> > > >
> > > > Die Funktion ist nicht umkehrbar, denn
> > > > x1 [mm]\not=[/mm] x2 [mm]\wedge[/mm] f(x1)=f(x2)
> > > >
> > > >
> > > > ----------
> > > >
> > > > [mm]f(x)=\bruch{7x+3}{5x-1}[/mm]
> > > > Größtmöglicher Definitionsbereich mit
> > zugehöriger
> > > > Bildmenge:
> > > > f: [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> >
> > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > >
> > > \ { [mm]{\bruch{1}{5}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> >
> > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > >
> > > } [mm]\to \IR[/mm]
> > > hier musst du wohl zeigen, dass du
> ganz [mm]\IR[/mm]
> > > erreichst!
> >
> > Wie genau mache ich das?
>
> Nun, du gibst dir ein bel. [mm]y\in\IR[/mm] vor und musst dazu ein
> [mm]x\in\IR[/mm] angeben mit [mm]f(x)=y[/mm]
>
> Also [mm]\frac{7x+3}{5x-1}=y[/mm]
>
> Das musst du nach x auflösen; dabei wirst du feststellen,
> dass die Umformung für ein gewisses y nicht klappt, da du
> durch 0 teilen müsstest.
Habe jetzt die Umkehrfunktion gebildet:
[mm] f^-1(x)=\bruch{-x-3}{7-5x}
[/mm]
Hier darf der Nenner nicht 0 werden bzw. x darf nicht [mm] \bruch{7}{5} [/mm] sein.
Bedeutet also, dass die Bildmenge der Ausgangsfunktion ganz [mm] \IR [/mm] umfasst, außer [mm] \bruch{7}{5}.
[/mm]
Also:
f: [mm] \IR [/mm] \ { [mm] {\bruch{1}{5}} [/mm] } [mm] \to \IR [/mm] \ { [mm] {\bruch{7}{5}} [/mm] }
so richtig?
>
> Dh. dieses y erreichst du nicht ...
>
> >
> > > > f(x) ist nicht umkehrbar, wenn für alle x1, x2 [mm]\in\IR[/mm]
> > > > gilt: [mm]x1\not=x2 \wedge[/mm] f(x1)=f(x2)
> > > >
> > > > x1=2
> > > > x2=3
> > > hier hilft ein einziges Bsp nicht! durch Angabe der
> > > Umkehrfkt zeigst du, dass es sie gibt ausser für...?
> >
> > Wieso reicht ein einziges Beispiel nicht aus?
> > Ich habe doch gezeigt, dass zwei verschiedene Werte aus
> > dem Definitionsbereich den gleichen Funktionswert besitzen.
> > Wenn dies der Fall ist (z.b. für x1=2, x2=3), dann ist die
> > Funktion nicht umkehrbar.
>
> Das wäre es, ist es aber nicht, es ist [mm]f(2)=17/9[/mm] und
> [mm]f(3)=12/7[/mm] (modulo Rechenfehler)
>
> Es werden hier keine 2 verschiedenen Werte aus dem
> Definitionsbereich auf ein und dasselbe Bild geschickt ...
>
> Lass dir das Biest doch mal plotten ...
Hab grad glaub ich gedacht, du sprichst von der 1. Funktion.
Natürlich ist die 2. Funktion umkehrbar.
>
> >
> >
> > > > Die Funktion ist umkehrbar, denn
> > > > x1 [mm]\not=[/mm] x2 [mm]\wedge[/mm] f(x1) [mm]\not=[/mm] f(x2)
> > > >
> > > > Hier krieg ich jetzt die Umkehrfunktion nicht gebildet...
> > > >
> > > > [mm]y=\bruch{7x+3}{5x-1}[/mm] | *(5x-1)
> > > >
> > > > [mm]\gdw[/mm] 5xy-y=7x+3 | -3
> > > >
> > > > [mm]\gdw[/mm] 5xy-y-3=7x
> > > > ???
> > > Alles mit x auf eine seite, Rest auf die andere, x
> > > ausklammern und durch (...) dividieren
> >
> > Stimmt...
> > Werd das ganze nochmal verbessert aufschreiben, sobald
> die
> > 2 obigen Fragen geklärt sind.
>
> Gut, mache das, dann klärt sich auch deine erste Frage
> ...
>
> >
> > >
> > > > Wo liegt mein Fehler?
> > > keiner, aber dein merksatz hast du auch falsch
> > > angewendet.
> > > Gruss leduart
> >
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:53 Sa 24.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo Jack,
> >
> >
> > > > Hallo
> > > > > Für die folgenden Funktionen gebe man einen
> > > möglichst
> > > > > großen Definitionsbereich an und ermittle die zugehörige
> > > > > Bildmenge. Falls f umkehrbar ist, berechne man die
> > > > > Umkehrfunktion f^-1 und gebe deren Definitionsbereich und
> > > > > die Bildmenge an.
> > > > >
> > > > > [mm]f(x)=\bruch{x}{|x|}[/mm]
> > > > >
> > > > > [mm]f(x)=\bruch{7x+3}{5x-1}[/mm]
> > > > > Hallo,
> > > > >
> > > > > Zunächst eine kleine Frage:
> > > > > Muss man bei dieser Aufgabe das ganze nach dem
> > > Schema:
> > > > >
> > > > > Vor.: .....
> > > > >
> > > > > Beh.: ....
> > > > >
> > > > > Es gilt: ....
> > > > >
> > > > > gliedern? (Ich gehe erstmal hier davon aus, dass man es
> > > > > nicht muss)
> > > > richtig
> > > > >
> > > > > Nun zur eigentlichen Aufgabe. Hier meine
> > > > > Lösungsvorschläge. Sind sie richtig? Bei der 2. Funktion
> > > > > komme ich nicht weiter...
> > > > >
> > > > > [mm]f(x)=\bruch{x}{|x|}[/mm]
> > > > > Größtmöglicher Definitionsbereich mit
> > > zugehöriger
> > > > > Bildmenge:
> > > > > f: [mm]\IR[/mm] \ {0} [mm]\to[/mm] {1, -1}
> > > > >
> > > > > f(x) ist nicht umkehrbar, wenn für alle x1, x2 [mm]\in\IR[/mm]
> > > > nicht für alle sondern es gibt x1,x2 für die gilt!
> > > > > gilt: [mm]x1\not=x2 \wedge[/mm] f(x1)=f(x2)
> > > > >
> > > > > x1=2
> > > > > x2=3
> > > > >
> > > > > Die Funktion ist nicht umkehrbar, denn
> > > > > x1 [mm]\not=[/mm] x2 [mm]\wedge[/mm] f(x1)=f(x2)
> > > > >
> > > > >
> > > > > ----------
> > > > >
> > > > > [mm]f(x)=\bruch{7x+3}{5x-1}[/mm]
> > > > > Größtmöglicher Definitionsbereich mit
> > > zugehöriger
> > > > > Bildmenge:
> > > > > f: [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> >
> > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > >
> > > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > > > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > > > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > > >
> > > > \ { [mm]{\bruch{1}{5}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> >
> > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > >
> > > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > > > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > > > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > > >
> > > > } [mm]\to \IR[/mm]
> > > > hier musst du wohl zeigen, dass
> du
> > ganz [mm]\IR[/mm]
> > > > erreichst!
> > >
> > > Wie genau mache ich das?
> >
> > Nun, du gibst dir ein bel. [mm]y\in\IR[/mm] vor und musst dazu ein
> > [mm]x\in\IR[/mm] angeben mit [mm]f(x)=y[/mm]
> >
> > Also [mm]\frac{7x+3}{5x-1}=y[/mm]
> >
> > Das musst du nach x auflösen; dabei wirst du feststellen,
> > dass die Umformung für ein gewisses y nicht klappt, da du
> > durch 0 teilen müsstest.
>
>
> Habe jetzt die Umkehrfunktion gebildet:
>
> [mm]f^-1(x)=\bruch{-x-3}{7-5x}[/mm]
>
> Hier darf der Nenner nicht 0 werden bzw. x darf nicht
> [mm]\bruch{7}{5}[/mm] sein.
> Bedeutet also, dass die Bildmenge der Ausgangsfunktion
> ganz [mm]\IR[/mm] umfasst, außer [mm]\bruch{7}{5}.[/mm]
> Also:
> f: [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
\ { [mm]{\bruch{1}{5}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]\to \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
\ { [mm]{\bruch{7}{5}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> so richtig?
Ja
FRED
>
> >
> > Dh. dieses y erreichst du nicht ...
> >
> > >
> > > > > f(x) ist nicht umkehrbar, wenn für alle x1, x2 [mm]\in\IR[/mm]
> > > > > gilt: [mm]x1\not=x2 \wedge[/mm] f(x1)=f(x2)
> > > > >
> > > > > x1=2
> > > > > x2=3
> > > > hier hilft ein einziges Bsp nicht! durch Angabe
> der
> > > > Umkehrfkt zeigst du, dass es sie gibt ausser für...?
> > >
> > > Wieso reicht ein einziges Beispiel nicht aus?
> > > Ich habe doch gezeigt, dass zwei verschiedene Werte
> aus
> > > dem Definitionsbereich den gleichen Funktionswert besitzen.
> > > Wenn dies der Fall ist (z.b. für x1=2, x2=3), dann ist die
> > > Funktion nicht umkehrbar.
> >
> > Das wäre es, ist es aber nicht, es ist [mm]f(2)=17/9[/mm] und
> > [mm]f(3)=12/7[/mm] (modulo Rechenfehler)
> >
> > Es werden hier keine 2 verschiedenen Werte aus dem
> > Definitionsbereich auf ein und dasselbe Bild geschickt ...
> >
> > Lass dir das Biest doch mal plotten ...
>
> Hab grad glaub ich gedacht, du sprichst von der 1.
> Funktion.
> Natürlich ist die 2. Funktion umkehrbar.
>
>
> >
> > >
> > >
> > > > > Die Funktion ist umkehrbar, denn
> > > > > x1 [mm]\not=[/mm] x2 [mm]\wedge[/mm] f(x1) [mm]\not=[/mm] f(x2)
> > > > >
> > > > > Hier krieg ich jetzt die Umkehrfunktion nicht gebildet...
> > > > >
> > > > > [mm]y=\bruch{7x+3}{5x-1}[/mm] | *(5x-1)
> > > > >
> > > > > [mm]\gdw[/mm] 5xy-y=7x+3 | -3
> > > > >
> > > > > [mm]\gdw[/mm] 5xy-y-3=7x
> > > > > ???
> > > > Alles mit x auf eine seite, Rest auf die andere,
> x
> > > > ausklammern und durch (...) dividieren
> > >
> > > Stimmt...
> > > Werd das ganze nochmal verbessert aufschreiben,
> sobald
> > die
> > > 2 obigen Fragen geklärt sind.
> >
> > Gut, mache das, dann klärt sich auch deine erste Frage
> > ...
> >
> > >
> > > >
> > > > > Wo liegt mein Fehler?
> > > > keiner, aber dein merksatz hast du auch falsch
> > > > angewendet.
> > > > Gruss leduart
> > >
> >
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
> >
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Sa 24.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
Danke für eure Hilfen bisher ;)
Jetzt möchte ich nochmal alles komplett in verbesserter Form aufschreiben.
Ein kleines Problem habe ich aber noch:
Was schreibe ich jeweils hinter "Vor.: ....?" und "Beh.: ....?" hin?
Meine Idee:
Vor.: [mm] f(x)=\bruch{x}{|x|}
[/mm]
Beh.: Definitionsbereich und Bildmenge von [mm] f(x)=\bruch{x}{|x|} [/mm] und falls f(x) umkehrbar ist, dann f^-1(x) mit dem zugehörigen Definitionsbereich und Bildmenge
Es gilt: Hier dann der ganze Rechenweg, welcher noch kommt, wenn die obige Frage geklärt ist.
Ist das so richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Sa 24.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Schema passt hier nicht.
Wenn dann:
gegeben f(x)=..
zu zeigen:
Def. Bereich
Wertebereich
f(x) (nicht) umkehrbar
Umkehrfkt [mm] f^{-1}(x)=... [/mm] gültig auf...
Gruss leduart
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