Def.B. u. Allg. Lösung d. DGL < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] (1-sin(x))y'+\bruch{y}{1+sin(x)}=0
[/mm]
a) bestimmen Sie den Defintionsbereich der DGL.
b)Ermitteln Sie die allgemeine Lösung und alle möglichen maximalen Definitionsintervalle für diese Lösung. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
a) Ist wohl Def. B. [mm] x\in \IR
[/mm]
b)
Ist mein Ansatz:
y'=g(x)*h(y)
sprich ich forme [mm] (1-sin(x))y'+\bruch{y}{1+sin(x)}=0 [/mm] nach y' um.
Also nach y'=....
[mm] (1-sin(x))y'=-\bruch{y}{1+sin(x)} |*\bruch{1}{1-sin(x)}
[/mm]
[mm] y'=\bruch{1}{1-sin^2(x)}*y
[/mm]
also folgt: [mm] g(x)=\bruch{1}{1-sin^2(x)} [/mm] und h(y)=y
dann:
[mm] \bruch{y'}{h(y)}=g(x) [/mm] durch
[mm] y'=\bruch{dy}{dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{\bruch{dy}{dx}}{h(y)} dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral_{}^{}{\bruch{1}{y} dy}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{1-sin^2(x)}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] ln |y| = ?
Nun meine Frage wie integriere ich das [mm] \bruch{1}{1-sin^2(x)} [/mm] ???
Vielen dank schonmal für Tipps.
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Hallo Thomyatberlin.
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm](1-sin(x))y'+\bruch{y}{1+sin(x)}=0[/mm]
> a) bestimmen Sie den Defintionsbereich der DGL.
> b)Ermitteln Sie die allgemeine Lösung und alle möglichen
> maximalen Definitionsintervalle für diese Lösung.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> a) Ist wohl Def. B. [mm]x\in \IR[/mm]
> b)
> Ist mein Ansatz:
> y'=g(x)*h(y)
>
> sprich ich forme [mm](1-sin(x))y'+\bruch{y}{1+sin(x)}=0[/mm] nach y'
> um.
>
> Also nach y'=....
>
> [mm](1-sin(x))y'=-\bruch{y}{1+sin(x)} |*\bruch{1}{1-sin(x)}[/mm]
>
> [mm]y'=\bruch{1}{1-sin^2(x)}*y[/mm]
>
> also folgt: [mm]g(x)=\bruch{1}{1-sin^2(x)}[/mm] und h(y)=y
>
> dann:
>
> [mm]\bruch{y'}{h(y)}=g(x)[/mm] durch
>
> [mm]y'=\bruch{dy}{dx}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{\bruch{dy}{dx}}{h(y)} dx}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \integral_{}^{}{\bruch{1}{y} dy}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{1-sin^2(x)}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] ln |y| = ?
>
> Nun meine Frage wie integriere ich das
> [mm]\bruch{1}{1-sin^2(x)}[/mm] ???
Ersetzt im Nenner zu nächst
[mm]1-sin^2(x)=\cos^{2}\left(x\right)[/mm]
Die "1" im Zähler ersettz Du nun entsprechend:
[mm]1=\sin^{2}\left(x\right)+\cos^{2}\left(x\right)[/mm]
Damit kommst Du auf einen Ausdruck,
dessen Stammfunktion Dir bekannt sein sollte.
>
> Vielen dank schonmal für Tipps.
>
Gruss
MathePower
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Meinst du jetzt:
[mm] \Rightarrow \integral_{}^{}{\bruch{1}{y} dy}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{cos^2(x)}}
[/mm]
oder
[mm] \Rightarrow \integral_{}^{}{\bruch{1}{y} dy}=
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{sin^2(x)+cos^2(x)}{cos^2(x)}}
[/mm]
mich würde dann interessieren ob ich mir die integration bekannt sein sollte von [mm] \bruch{sin^2(x)+cos^2(x)}{cos^2(x)} [/mm] bzw von [mm] \bruch{sin^2(x)}{cos^2(x)} +\bruch {cos^2(x)}{cos^2(x)} [/mm] das wäre ja wiederum [mm] \bruch{sin^2(x)}{cos^2(x)}+1
[/mm]
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Hallo,
> Meinst du jetzt:
> [mm]\Rightarrow \integral_{}^{}{\bruch{1}{y} dy}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{cos^2(x)}}[/mm]
>
> oder
>
> [mm]\Rightarrow \integral_{}^{}{\bruch{1}{y} dy}=[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{sin^2(x)+cos^2(x)}{cos^2(x)}}[/mm]
>
> mich würde dann interessieren ob ich mir die integration
> bekannt sein sollte von [mm]\bruch{sin^2(x)+cos^2(x)}{cos^2(x)}[/mm]
> bzw von [mm]\bruch{sin^2(x)}{cos^2(x)} +\bruch {cos^2(x)}{cos^2(x)}[/mm]
> das wäre ja wiederum [mm]\bruch{sin^2(x)}{cos^2(x)}+1[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das kannst du schreiben als [mm] $1+\tan^2(x)$ [/mm] und das ist die Ableitung von ...?
Gruß
schachuzipus
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[mm] 1+\tan^2(x)=\bruch{1}{cos^2(x)} [/mm] davon die Stammfunktion ist tan(x) richtig?
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Hallo nochmal,
> [mm]1+\tan^2(x)=\bruch{1}{cos^2(x)}[/mm] davon die Stammfunktion ist tan(x) [mm]\red{+C}[/mm] richtig?
Ja, aber leite doch [mm]\tan(x)[/mm] wieder ab, dann kannst du es selber überprüfen!
Gruß
schachuzipus
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[mm] tan(x)+C=\bruch{sin(x)}{cos(x)}+C
[/mm]
[mm] \bruch{sin(x)'}{cos(x')}= \bruch{cos(x)}{cos(x)}+\bruch {-sin(x)*sin(x)}{-cos^2(x)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] tan(x)'=1+tan(x)
Alles klar. Und C fällt weg, weil es eine konstante ist.
Jetzt habe ich folgenden Ausdruck:
ln |y|=tan(x)+c mit exp multiplizieren
[mm] |y|=e^{tan(x)}+c=e^{tan(x)}*e^C
[/mm]
ich soll die allgemeine Lösung berechnen
jetzt muss ich ja die Betragstriche betrachten und das C.
Mein Frage ist jetzt, wie berechne ich C?
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Hallo nochmal,
> [mm]tan(x)+C=\bruch{sin(x)}{cos(x)}+C[/mm]
>
> [mm]\bruch{sin(x)'}{cos(x')}= \bruch{cos(x)}{cos(x)}+\bruch {-sin(x)*sin(x)}{-cos^2(x)}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] tan(x)'=1+tan(x)
>
> Alles klar. Und C fällt weg, weil es eine konstante ist.
>
> Jetzt habe ich folgenden Ausdruck:
>
> ln |y|=tan(x)+c mit exp multiplizieren
Besser "verketten"!!!
>
> [mm]|y|=e^{tan(x)}+c=e^{tan(x)}*e^C[/mm]
Da ist dir das erste [mm]C[/mm] runtergerutscht:
[mm]\ln(|y|)=\tan(x)+C\Rightarrow |y|=e^{\tan(x)+C}=e^C\cdot{}e^{tan(x)}[/mm] nach Potenzgesetz
Nun ist [mm]e^C[/mm] eine Konstante, nennen wir die klein [mm]c[/mm]
Dann hast du [mm]|y|=c\cdot{}e^{\tan(x)}[/mm] mit [mm]c\in\IR^+_0[/mm]
Also [mm]y=\tilde c\cdot{}e^{tan(x)}[/mm] mit [mm]\tilde c\in\IR[/mm]
Nun musst du dich noch um den Definitionsbereich kümmern.
Die Lösung einer Dgl. ist immer auf einer zusammenhängenden Menge definiert (hier einem Intervall!)
>
> ich soll die allgemeine Lösung berechnen
>
> jetzt muss ich ja die Betragstriche betrachten und das C.
>
> Mein Frage ist jetzt, wie berechne ich C?
Weiter als oben kannst du es nicht aufdröseln.
Wenn du eine Anfangsbedingung - etwa [mm]y(x_0)=y_0[/mm] gegeben hättest, könntest du das [mm]\tilde c[/mm] eindeutig bestimmen und bekämest auch für den Anfangswert ein eind. Definitionsintervall.
So allg. ist die Lösungsschar auf Intervallen der Form ... definiert.
Das steht ja weiter oben ...
Gruß
schachuzipus
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Wir haben festgestellt, dass der Definitions Bereich [mm] \IR\backslash{x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi, k\in\IZ} [/mm] ist. Also wären die Intervalle halt immer zwischen diesen Definitionslücken. Wie schreibt man sowas Formal? Oder meinen sie mit maximal Definitionsintervall I:[-pi/2,3pi/2] oder verstehe ich das jetzt ganz falsch?
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Hallo Thomyatberlin,
> Wir haben festgestellt, dass der Definitions Bereich
> [mm]\IR\backslash{x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi, k\in\IZ}[/mm] ist. Also
> wären die Intervalle halt immer zwischen diesen
> Definitionslücken. Wie schreibt man sowas Formal? Oder
> meinen sie mit maximal Definitionsintervall I:[-pi/2,3pi/2]
> oder verstehe ich das jetzt ganz falsch?
Das verstehst Du schon richtig.
Der Definitionsbereich ist [mm]I=\IR \backslash \left\{-\frac{\pi}{2}+2k\pi, k\in\IZ\right\}[/mm]
Gruss
MathePower
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Hallo,
> [mm](1-sin(x))y'+\bruch{y}{1+sin(x)}=0[/mm]
> a) bestimmen Sie den Defintionsbereich der DGL.
> b)Ermitteln Sie die allgemeine Lösung und alle möglichen
> maximalen Definitionsintervalle für diese Lösung.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> a) Ist wohl Def. B. [mm]x\in \IR[/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Hmm, was ist mit denjenigen [mm]x\in\IR[/mm], wo [mm]\sin(x)=-1[/mm] ist?
Da teilst du im zweiten Summanden doch durch 0 ...
Gruß
schachuzipus
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also [mm] x\in\IR [/mm] außer(-pi/2)
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Hallo nochmal,
> also [mm]x\in\IR[/mm] außer(-pi/2)
Naja, unter anderem, der Sinus ist ja periodisch, [mm]x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi, k\in\IZ[/mm] liefert auch eine Definitionslücke!
Gruß
schachuzipus
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natürlich du hast vollkommen Recht, dass ist mir auch gerade eingefallen das es periodisch ist und ich das berücksichten muss, danke nochmals ;)
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