Defekte Teile in Lieferung < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Mo 11.04.2005 | | Autor: | baerchen |
Hallo Ihr,
ich möchte folgende Aufgabe lösen:
Angenommen 10% der Bauteile einer Lieferung sind defekt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Lieferung angenommen?
Aus der Lieferung werden zufällig 10 Bauteile entnommen und kontrolliert. Wenn alle Bauteile in Ordnung sind, wird die Lieferung angenommen; sind 2 oder mehr Teile defekt, geht die gesamte Lieferung zurück. Wenn 1 Teil defekt ist, werden weitere 10 Bauteile überprüft; fallt unter diesen mindestens 1 defektes Teil entdeckt wird, weist der Kunde die Lieferung zurück.
Meine Lösung:
2 oder mehr defekt: P (1<x<10) bei p = 0,1 und n=10 : 1-0,736 = 26,4%
1 oder mehr defekt: P (x>0) bei p=0,1, und n=10: 1-0,369 = 61%
Muss ich jetzt die beiden Ergebnisse addieren, denn es ist ja ein Prüfplan? Doch dann wäre die Wahrscheinlichkeit, dass die Lieferung abgewiesen werden würde, extrem hoch. Außerdem bin ich mir beim zweiten nicht sicher, ob nicht n=20 ist, aber dann könnten ja auch 18 defekt sein und von den ersten 10 ist ja nur 1 defekt.
Über Hilfe würde ich mich freuen :)
Liebe Grüße
Bärchen
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Hey also der Anfang ist ja schon mal gut..
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> Angenommen 10% der Bauteile einer Lieferung sind defekt.
> Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Lieferung
> angenommen?
>
> Aus der Lieferung werden zufällig 10 Bauteile entnommen und
> kontrolliert. Wenn alle Bauteile in Ordnung sind, wird die
> Lieferung angenommen; sind 2 oder mehr Teile defekt, geht
> die gesamte Lieferung zurück. Wenn 1 Teil defekt ist,
> werden weitere 10 Bauteile überprüft; fallt unter diesen
> mindestens 1 defektes Teil entdeckt wird, weist der Kunde
> die Lieferung zurück.
>
> Meine Lösung:
> 2 oder mehr defekt: P (1<x<10) bei p = 0,1 und n=10 :
> 1-0,736 = 26,4%
Soweit richtig!
> 1 oder mehr defekt: P (x>0) bei p=0,1, und n=10: 1-0,369 =
> 61%
>Also es ist erst mal richtig wie du diese wahrscheinlichkeit ausgerechnet hast, allerdings ist diese wahrscheinlichkeit ja erst für die 2.Probe relevant, wenn in der ersten Probe genau 1 Teil defekt ist .
(Du schaust ja in diesem Fall auf 2mal eine Stichprobe mit jeweils n=10.)
Das heißt du musst auch noch die Wahrscheinlichkeit P (x=1) in der 1. Probe ausrechnen.
Diese Lieferung wird ja nur dann abgelehnt wenn in der 1. Probe genau 1 Teil (x=1) defekt ist und in der 2.Probe dann mind 1Teil (x>0) defekt ist also gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass diese Lieferung abgelehnt wird:
P(x=1) * P(x>0)!!
> Muss ich jetzt die beiden Ergebnisse addieren, denn es ist
> ja ein Prüfplan? Doch dann wäre die Wahrscheinlichkeit,
> dass die Lieferung abgewiesen werden würde, extrem hoch.
> Außerdem bin ich mir beim zweiten nicht sicher, ob nicht
> n=20 ist, aber dann könnten ja auch 18 defekt sein und von
> den ersten 10 ist ja nur 1 defekt.
Nun hast du ja 2 mögliche Ereignisse bei denen deine Lieferung abgelehnt wird.
1. gleich in der 1. Probe sind mind 2 teile Defekt und wird sofort abgelehnt: P(x>1)
2.in der 1. Probe ist eins und in der 2. ist mind. eins defekt und wird daraufhin abgelehnt: P(x=1)*P(x>0)
Diese beiden möglichen wahrscheinlichkeiten musst du nun addieren!
>
> Über Hilfe würde ich mich freuen :)
>
>
> Liebe Grüße
> Bärchen
>
>
Hoffe konnte dir helfen
gruß
Christina
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Di 12.04.2005 | | Autor: | baerchen |
Hallo Christina,
herzlichen Dank für deine Hilfe!
Ich habe nun für den 1. Teil der Aufgabe 26,4% und für den 2. Teil der Aufgabe 0,387*0,651 = 25,2% heraus.
Dies addiert, also das Endergebnis, macht 51,6%.
Ich habe die Aufgabe auch noch mit p = 1/6 ausgerechnet.
Da erhielt ich für den 1. Teil 51,5%, für den 2. Teil 0,838 * 0,07857 = 6,58%
Endergebnis: 58,1%
Liebe Grüße
Bärchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:38 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Baerchen!
> Ich habe nun für den 1. Teil der Aufgabe 26,4% und für den
> 2. Teil der Aufgabe 0,387*0,651 = 25,2% heraus.
>
> Dies addiert, also das Endergebnis, macht 51,6%.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich habe die Aufgabe auch noch mit p = 1/6 ausgerechnet.
>
> Da erhielt ich für den 1. Teil 51,5%, für den 2. Teil 0,838
> * [mm] \red{0,07857} [/mm] = 6,58%
Wie kommst du auf den rotmarkierten Wert? Dort habe ich etwas anderes raus (vielleicht habe ich mich aber auch verrechnet  ). Kannst du vielleicht deinen Rechenweg für diesen Teil noch einmal genau angeben? Danke! 
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Mi 13.04.2005 | | Autor: | baerchen |
Hallo Julius,
da muss ich wohl etwas falsch in den Taschenrechner getippt haben... Richtig müsste sein: 0,485-0,162 = 0,323
Dann erhält man: 0,838 * 0,323 = 27,07%, was ein Endergebnis beim Test von 78,57% bedeutet.
Liebe Grüße
Bärchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Mi 13.04.2005 | | Autor: | baerchen |
Hallo Ihr,
die letzte Mitteilung von mir, ist eigentlich eine Frage. Beim Artikel überarbeiten gibt es leider keine Funktion, die Mitteilung in eine Frage umzuwandeln.
Liebe Grüße
Bärchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo baerchen!
Jetzt stimmt alles!!! ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:41 Mi 13.04.2005 | | Autor: | baerchen |
Hallo Julius,
herzlichen Dank für deine Hilfe!
Liebe Grüße
Bärchen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Di 19.04.2005 | | Autor: | cYrUz86 |
Hallo,
da ich mich auf die morgige Abiturprüfung vorbereite, habe ich auch mal diese Aufgabe durchgerechnet, jedoch mit einem anderen Ansatz und anscheinend auch anderem Ergebnis.
Jetzt erstmal mein Ansatz:
X=Anz. der defekten Bauteile
X=B(10;0,1)
P(X=0) = 0,9^10 = 0,3487
Gesucht ist ja die Wahtscheinlichkeit für das Ereignis, ob die Lieferung angenommen wird. Ich habe mir gedacht, dass man einerseits natürlich die Wahrscheinlichkeit für 0 defekte Teile aufstellen muss (s.o.) und dann noch die Wahrscheinlichkeit, dafür, dass ein 1 Teil bei der ersten Kontrolle und 0 Teile bei der zweiten defekt sind. Das habe ich als bedingte Wahrscheinlichkeit aufgefasst mit der Bedingung, dass zuerst ein defektes Teil gefunden wurde.
P("Die Lieferung wird angenommen") = P(X=0) + [P(X=1)*P(X=0)]/P(X=1)
= 0,3487 + (0,3874*0,3487)/0,3874 = 69,74%
Ich würde mich freuen, wenn jemand meinen Ansatz bestätigen könnte oder ggfs. Fehler anmerken würde. Auch über weitere Aufgaben aus der Stochastik im Rahmen der Abiturvorbereitung würde ich mich sehr freuen.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke!
Pascal
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Hallo Pascal!
> X=Anz. der defekten Bauteile
> X=B(10;0,1)
>
> P(X=0) = 0,9^10 = 0,3487
> Gesucht ist ja die Wahtscheinlichkeit für das Ereignis, ob
> die Lieferung angenommen wird.
Das stimmt. Im bisherigen Strang wurde die Gegenwkt. berechnet.
> Ich habe mir gedacht, dass
> man einerseits natürlich die Wahrscheinlichkeit für 0
> defekte Teile aufstellen muss (s.o.) und dann noch die
> Wahrscheinlichkeit, dafür, dass ein 1 Teil bei der ersten
> Kontrolle und 0 Teile bei der zweiten defekt sind. Das habe
> ich als bedingte Wahrscheinlichkeit aufgefasst mit der
> Bedingung, dass zuerst ein defektes Teil gefunden wurde.
OK. Kann man machen. Du interessierst Dich dann aber im zweiten Teil für das Produkt aus dieser bedingten Wahrscheinlichkeit und der Wahrscheinlichkeit, dass zuerst ein defektes Teil gefunden wurde (nicht nur für die bedingte Wkt.; denke an ein Baumdiagramm, da musst Du entlang des Pfades die Wkt. multiplizieren!)
> P("Die Lieferung wird angenommen") = P(X=0) +
> [P(X=1)*P(X=0)]/P(X=1)
Außerdem solltest Du hier nicht zweimal X nehmen. Bezeichne besser mit [mm] $X_1$ [/mm] die Anzahl der defekten Teile bei der ersten Kontrolle und mit [mm] $X_2$ [/mm] entsprechend die der zweiten Kontrolle. Dann kann man wegen der Aufgabenstellung davon ausgehen, dass diese beiden Zufallsvariablen unabhängig sind (die erste Ziehung sollte ja die zweite nicht beeinflussen, wenn die Menge an Teilen insgesamt groß genug ist). Damit gilt
[mm] $P(X_2=0|X_1=1)=\frac{P(\{X_2=0\}\cap\{ X_1=1\})}{P(X_1=1)}=\frac{P(X_2=0)\cdot P( X_1=1)}{P(X_1=1)}=P(X_2=0)$
[/mm]
und für den zweiten Teil bekommt man somit
[mm] $P(X_1=1)\cdot P(X_2=0|X_1=1)=P(X_1=1)\cdot P(X_2=0)=0,3874\cdot [/mm] 0,3487.$
Dabei benutzt man, dass [mm] $X_1$ [/mm] und [mm] $X_2$ [/mm] die gleiche Verteilung besitzen (nämlich o.g. Binomialverteilung), aber sie sind eben nicht identisch (in dem Sinn, dass sie jedes Mal dasselbe Ergebnis liefern). Das Endergebnis lautet dann $0,3487 + (0,3874*0,3487) = 0,4838.$
Im Übrigen wäre die von Dir (evt.) gemeinte Wkt.
[mm] $P(X=0|X=1)=P(\{X=0\}\cap \{X=1\})/P(X=1)=0$,
[/mm]
da nicht gleichzeitig die Ereignisse X=0 und X=1 eintreten können. Aber vielleicht wolltest Du das auch gar nicht bestimmen; dann vergiss es einfach wieder.
Alles klar?
Viele Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Di 19.04.2005 | | Autor: | cYrUz86 |
Hallo Brigitte,
danke für deine schnelle und sehr hilfreiche Antwort! Ja, jetzt wird mir alles klar :) Man sollte sich am besten immer einen Baum denken, der erspart einen große Mühe.
Jedenfalls vielen Dank!
Viele Grüße,
Pascal
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