Definitheit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo an alle,
also mein erstes PRoblerm geht in Richtung Definitheit.
Wir definieren positiv definit wie folgt:
A [mm] \in [/mm] M(n x n, [mm] \IR)
[/mm]
[mm] A_{k} [/mm] = M(k x k)
Eine Matrix ist positv definit, falls alle Determinanten [mm] A_{k} [/mm] , k [mm] \in [/mm] {1,...,n}
Nun die Aufgabe, in der ich bisher nicht weit gekommen bin:
Eine symmetrische Matrix A [mm] \in [/mm] M(n x n, [mm] \IR) [/mm] heißt negativ definit, wenn gilt:
( [mm] x^{t} [/mm] ist der transponierte Vektor)
[mm] x^{t}Ax [/mm] < 0 [mm] \forall [/mm] 0 [mm] \not= [/mm] x [mm] \in \IR^n
[/mm]
Zeigen Sie: A negativ definit <=> -A positiv definit
Also folgendes hab ich nun errechnet daraus:
[mm] (a_{ij} [/mm] : i = spaltennummer. j = zeilennummer)
[mm] x^{t}Ax [/mm] = [mm] ((x_{1}a_{1,1} [/mm] +...+ [mm] x_{n}a_{1n})x_1 +...+(x_{1}a_{1,n} [/mm] +...+ [mm] x_{n}a_{n,n})x_n
[/mm]
Nun denke ich daß irgenwie es etws in der richrung sein muss daß [mm] a_{i,i} [/mm] kleineer als [mm] a_{i+1,i+1} [/mm] sein muß., aber komme irgenwie nicht dazu aufzustellen, wann das ganze negativ ist.
denn dann kann man anhand desssen warschienlich zeigen, dass alle determinanten in dem Fall negativ sind, und die von -A dann logischerweise positiv.
hoffe ihr wisst ein wenig mehr ;)
grüße
|
|
| |
|
Der Anfang deines Beitrags ist ja um einiges verdorben: Da hören Sätze auf einmal auf, obwohl der entscheidende Inhalt zu erwarten wäre ...
Zum eigentlichen Problem:
Wieso der Aufwand mit den Koordinaten? Rechne mit den Matrizen selbst!
Voraussetzung:
[mm]A[/mm] negativ definit
Behauptung:
[mm]-A[/mm] positiv definit
Zum Beweis der Behauptung ist zu zeigen: Für alle Spalten [mm]0 \neq x \in \mathbb{R}^n[/mm] gilt [mm]x^t (-A) x > 0[/mm]. (Das ist die Definition der positiven Definitheit.)
Und jetzt beweise das. Das ist wirklich ganz einfach und nicht einmal ein Einzeiler. Beachte [mm]-A = (-1) \cdot A[/mm] und daß die Matrizenmultiplikation mit der skalaren Multiplikation verträglich ist.
|
|
|
|
