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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Di 11.11.2014 | | Autor: | David15 |
| Aufgabe | | Gegeben ist die Hesse-Matrix einer Funktion f: [mm] H(f)=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 } [/mm] |
Meine Frage lautet: Ist die zur Hesse-Matrix gehörende Funktion f nun konvex oder streng konvex?
Laut meinen Unterlagen ist f
- konvex, wenn die zugehörige Hesse-Matrix positiv semidefinit ist, wenn also die Eigenwerte der Hesse-Matrix alle >=0 sind.
- streng konvex, wenn die zugehörige Hesse-Matrix positiv definit ist, wenn also die Eigenwerte der Hesse-Matrix alle >0 sind.
Berechne ich nun die Eigenwerte der Hesse-Matrix, so erhalte ich einen doppelten Eigenwert [mm] \lambda_{1,2}=2. [/mm] Damit wären ja beide Eigenwerte >0, die Hesse-Matrix also positiv definit und die Funktion damit streng konvex. In meinen Unterlagen steht aber, dass die Hesse-Matrix positiv semidefinit und die Funktion daher konvex sei.
Wo liegt nun das Problem? Möglicherweise sind alle streng konvexen Funktionen zugleich auch konvex bzw. alle positiv definiten Matrizen zugleich auch positiv semidefinit?
Danke für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Di 11.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben ist die Hesse-Matrix einer Funktion f: [mm]H(f)=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm]
>
> Meine Frage lautet: Ist die zur Hesse-Matrix gehörende
> Funktion f nun konvex oder streng konvex?
beides!
> Laut meinen Unterlagen ist f
>
> - konvex, wenn die zugehörige Hesse-Matrix positiv
> semidefinit ist, wenn also die Eigenwerte der Hesse-Matrix
> alle >=0 sind.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> - streng konvex, wenn die zugehörige Hesse-Matrix positiv
> definit ist, wenn also die Eigenwerte der Hesse-Matrix alle
> >0 sind.
>
> Berechne ich nun die Eigenwerte der Hesse-Matrix, so
> erhalte ich einen doppelten Eigenwert [mm]\lambda_{1,2}=2.[/mm]
Genau: [mm] $\det(\pmat{2-\lambda, & 0\\0, & 2-\lambda})=(2-\lambda)^2 \stackrel{!}{=}0$ [/mm] zeigt das.
> Damit wären ja beide Eigenwerte >0, die Hesse-Matrix also
> positiv definit und die Funktion damit streng konvex.
> In meinen Unterlagen steht aber, dass die Hesse-Matrix positiv
> semidefinit und die Funktion daher konvex sei.
>
> Wo liegt nun das Problem? Möglicherweise sind alle streng
> konvexen Funktionen zugleich auch konvex bzw. alle positiv
> definiten Matrizen zugleich auch positiv semidefinit?
Genau. Vergleichen kannst Du das mit der Monotonie: Ist eine Funktion
streng monoton wachsend, so ist sich auch monoton wachsend.
Denn: Aus $x < [mm] y\,$ [/mm] folgt stets
$f(x) < [mm] f(y)\,,$
[/mm]
und weil für $f(x) < [mm] f(y)\,$ [/mm] auch
($f(x) < [mm] f(y)\,$ [/mm] oder [mm] $f(x)=f(y)\,$)
[/mm]
wahr ist, folgt aus [mm] $f(x)
Jetzt schauen wir: [mm] $f\,$ [/mm] heißt konvex, wenn für alle $r [mm] \in [/mm] [0,1]$ und alle $x,y [mm] \in [/mm] D$ (der
Definitionsbereich muss auch KONVEX sein) gilt
[mm] ($\*$) [/mm] $f(r*x+(1-r)*y) [mm] \le r*f(x)+(1-r)*f(y)\,.$
[/mm]
Bei "strikt konvex" steht da zudem noch $x [mm] \not=y$ [/mm] und anstatt $r [mm] \in [/mm] [0,1]$ *nur*
$r [mm] \in [/mm] (0,1)$ dabei, zudem
$f(r*x+(1-r)*y) [mm] \red{\;<\;} r*f(x)+(1-r)*f(y)\,.$
[/mm]
Wir zeigen nun: Strikt konvexe Funktionen sind konvex. Die Untersuchung der
Ungleichung [mm] ($\*$) [/mm] ist eh nur für den Fall $x [mm] \not=y$ [/mm] interessant (mach' Dir [formal!]
klar, warum!).
Sei also $x [mm] \not=y\,.$ [/mm] Im Falle [mm] $r=0\,$ [/mm] ist
[mm] $f(r*x+(1-r)*y)=f(0*x+1*y)=\red{f(y)}\,,$
[/mm]
und
[mm] $r*f(x)+(1-r)*f(y)=0*f(x)+1*f(y)=\blue{f(y)}\,.$
[/mm]
Wegen
[mm] $\red{f(y)}$ $=\,$ $\blue{f(y)}$ [/mm] folgt auch $f(y) [mm] \le f(y)\,,$
[/mm]
also gilt [mm] ($\*$) [/mm] in diesem Fall.
Die Betrachtung von [mm] $r=1\,$ [/mm] geht vollkommen analog ("$f(x) [mm] \le f(x)\,.$")
[/mm]
Sei nun also $r [mm] \in (0,1)\,.$ [/mm] Dann gilt
$f(r*x+(1-r)*y) [mm] \red{\;<\;} [/mm] r*f(x)+(1-r)*f(y)$
und es folgt
$f(r*x+(1-r)*y) [mm] \red{\;<\;} [/mm] r*f(x)+(1-r)*f(y)$
[mm] $\Longrightarrow$
[/mm]
$f(r*x+(1-r)*y) [mm] \blue{\;\le\;} r*f(x)+(1-r)*f(y)\,.$
[/mm]
P.S. Dass die positive Definitheit auch positve Semidefinitheit impliziert,
brauch ich nun sicher nicht noch vorzukauen. Die Kurzfassung:
Wenn alle Eigenwerte (echt) positiv sind, dann sind sie auch alle nichtnegativ. [mm] ($\lambda [/mm] > 0$ [mm] $\Rightarrow$ $\lambda \ge 0\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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