Definitheit quadr. Form < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Sa 16.08.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Gesucht ist die Definitheit folgender quadratischer Form:
[mm] q_1=k²x²+(k+1)*y²+12xy [/mm] |
Hallo alle zusammen.
Ich habe mich beim Lösen der Aufgabe an folgendes gehalten:
http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Form
Also folgendes, meine Matrix sieht wie folgend aus:
ax²+bxy+cy²=0
[mm] \pmat{ a & b/2 \\ b/2 & c }
[/mm]
a=k²
b=12
c=k+1
Somit ist die Diskriminante: D=b²-4*a*c = 12²-4*k²*(k+1)
Der Wert welcher meine Diskriminante =0 setzt ist k=3
Jetzt meine Frage, woher weiß ich jetzt für welchen Wert meine quadr. Form definit positiv / negativ oder indefinit ist.
Auf der Seite steht zwar ein Kriterium für die Diskriminante, jedoch ergeben die Angaben dort für mich keinen Sinn [für positiv definite Formen (D < 0, a > 0) ; für negativ definite Formen (D < 0, a < 0): ] ...
Ich habe jedoch in meinem Buch ein Kriterium für meine Matrix gefunden in welchen gesagt wird:
... Die Form ist positiv definit falls alle Hauptminoren positiv sind...
Die Hauptminoren von [mm] \pmat{ k² & 6 \\ 6 & k+1 }
[/mm]
sind det(k²)=k²
und [mm] det\pmat{ k² & 6 \\ 6 & k+1 } [/mm] = 12²-4*k²*(k+1) > 0
Ergibt für mich einen Wert von k<3 für eine positiv definite Form.
Stimmt meine Interpretation und vor allem stimmt das k<3? Denn laut Lösungsangaben sollte genau umgekehrt, also die Form für k>3 positiv definit sein.
Dankeschön
lg
Zuggel
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> und [mm]det\pmat{ k² & 6 \\ 6 & k+1 }[/mm] = 12²-4*k²*(k+1) > 0
Hallo,
Du rechnest die Determinante verkehrt aus. Es geht genau andersrum.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Sa 16.08.2008 | | Autor: | Zuggel |
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> > und [mm]det\pmat{ k² & 6 \\ 6 & k+1 }[/mm] = 12²-4*k²*(k+1) > 0
>
> Hallo,
>
> Du rechnest die Determinante verkehrt aus. Es geht genau
> andersrum.
>
> Gruß v. Angela
Ach gott.. Jetzt wo du es sagst musste ich selbst etwas über meinen Fehler grinsen. Danke
Stimmt es dann, wenn ich folgendes sage:
Diskriminante := D
Dann ist meine quadr. Form:
- Wenn D>0 = positiv definit
- Wenn D<0= negativ definit
- Wenn D=0= indefinit
PS:Ich wollte noch fragen ob ich das Kriterium mit den Hauptminoren richtig angewandt habe?
Danke
lg
Zuggel
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> Ach gott.. Jetzt wo du es sagst musste ich selbst etwas
> über meinen Fehler grinsen. Danke
>
> Stimmt es dann, wenn ich folgendes sage:
Hallo,
nein, das stimmt nicht.
Die ganze Verwirrung kommt daher, daß Diskriminante und Determinante bei Dir durcheinanderpurzeln.
Ich würde es mir lieber mit der Determinante merken:
Det positiv und oberes linkes Element positiv ==> Matrix (bzw. Bilinearform) pos. definit
Det positiv und linkes oberes Element negativ ==> Matrix (bzw. Bilinearform) negativ definit
Det negativ ==> Matrix (bzw. Bilinearform) indefinit.
> Diskriminante := D
> Dann ist meine quadr. Form:
>
> - Wenn D>0 = positiv definit
> - Wenn D<0= negativ definit
> - Wenn D=0= indefinit
Dies hier vergiß bitte, es ist Unfug.
> PS:Ich wollte noch fragen ob ich das Kriterium mit den
> Hauptminoren richtig angewandt habe?
Abgesehen davon, daß Du die det falsch berechnet hast, ja.
(Das, was ich oben aufgeschrieben habe, ist ja das Hauptminorenkriterium).
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Mo 18.08.2008 | | Autor: | Zuggel |
Meine Lösung ist jetzt:
[mm] det\pmat{ k² & 6 \\ 6 & k+1 } [/mm] = k²*(k+1)-36 wobei k=3 ist
Für k>3 ist die det positiv, das linke obere Element positiv => pos. definit
Für k<3 ist die det negativ, das linke obere Element positiv => ? (laut Lösung negativ definit)
Betrachte ich mir jetzt aber den Fall k<3 genauer, sollte es ja nicht möglich sein, dass das linkere obere Element negativ wird. Es soll erwähnt sein, dass die Lösung nicht frei von Fehlern ist (und somit auch nicht sicher ist, ob diese Matrix semidefinit ist, was ich in meiner nächsten Frage anschneide)
Für semidefinit gibt es kein Hauptminor-Kriterium, mit welchem Verfahren sollte ich dort arbeiten? Denn für k=3 sollte meine quadr. Form semidefinit positiv sein.
Ich habe es vorhin jedenfalls mit der Berechnung der Eigenwerte versucht, das Endet mit einer doch sehr unüberschaubaren Gleichung (siehe unten) Gibt es hier noch ein nützliches Kriterium (ich kenne nur das mit den Hauptminoren und eben den Eigenwerten).
Wenn ich mit [mm] \lambda [/mm] als Eigenwert rechne, bekomme ich folgende Matrix:
[mm] det\pmat{ k²-\lambda & 6 \\ 6 & k+1-\lambda } [/mm] = [mm] \lambda²-(k²+k²+1)*\lambda [/mm] +k³+k²-36
Also ich könnte hier das ganze nicht ansatzweise in irgend eine Form bringen, welche mir einen Hinweis auf die Lösung geben würde.
PS: Ich habe mir gerade folgende Form unter die Lupe genommen: -x²+y²+2*z²+2kxz+2yz. Diese utnersuche ich durch eine Hesse Matrix, nach dem partiellen Ableiten in alle Richtungen gelange ich zu der Matrix: [mm] \pmat{ -2 & 0 & 2k \\ 0 & 2 & 2 \\ 2k & 2 & 4 } [/mm] (mit Taschenrechner kontrolliert).
[mm] D_1 [/mm] := det (-2) = -2
[mm] D_2 [/mm] := det [mm] \pmat{ -2 & 0 \\ 0 & 2 } [/mm] = -4
[mm] D_3 [/mm] := det [mm] \pmat{ -2 & 0 & 2k \\ 0 & 2 & 2 \\ 2k & 2 & 4 } [/mm] = 8k²-8 welches 0 ist für [mm] \pm1
[/mm]
Du hast vorhin geschrieben, wenn die det negativ ist, so ist meine Form indefinit. Wenn ich k variiere so ist meine det immer negativ auser für [mm] \pm [/mm] 1. Also wäre meine Matrix indefinit für [mm] k\in\IR /\{\pm1\}
[/mm]
Danke
lg
Zuggel
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> Meine Lösung ist jetzt:
>
> [mm]det\pmat{ k² & 6 \\ 6 & k+1 }[/mm] = k²*(k+1)-36
Hallo,
genau.
> wobei k=3 ist
Nein, die det dieser Matrix ist immer k²*(k+1)-36.
Wenn k=3, dann is die det=0.
>
> Für k>3 ist die det positiv, das linke obere Element
> positiv => pos. definit
Ja.
>
> Für k<3 ist die det negativ, das linke obere Element
> positiv =>
Indefinit.
> ? (laut Lösung negativ definit)
Das ist nicht richtig.
Nehmen wir k=2, also die Matrix [mm] \pmat{ 4 & 6 \\ 6 & 3}.
[/mm]
Es ist (1 [mm] 0)\pmat{ 4 & 6 \\ 6 & 3}\vektor{1\\0}=(1 0)\vektor{4\\6}= [/mm] 4.
Wäre die Matrix neg. definit, dürfte hier ja nichts positives herauskommen, s. Definition der Definitheit.
> Für semidefinit gibt es kein Hauptminor-Kriterium, mit
> welchem Verfahren sollte ich dort arbeiten? Denn für k=3
> sollte meine quadr. Form semidefinit positiv sein.
Bei symmetrischen 2x2-Matrizen ist das einfach:
wenn die Determinante =0 ist, und die Summe der Diagonalelemente positiv, so ist die Matrix positiv semidefinit,
wenn die Determinante =0 ist, und die Summe der Diagonalelemente negativ, so ist die Matrix negativ semidefinit,
Aber Achtung: für größere Matrizen klappt das nicht!
> Matrix: $ [mm] \pmat{ -2 & 0 & 2k \\ 0 & 2 & 2 \\ 2k & 2 & 4 } [/mm] $
> [mm]D_1[/mm] := det (-2) = -2
> [mm]D_2[/mm] := det [mm]\pmat{ -2 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm] = -4
> [mm]D_3[/mm] := det [mm]\pmat{ -2 & 0 & 2k \\ 0 & 2 & 2 \\ 2k & 2 & 4 }[/mm]
> = 8k²-8 welches 0 ist für [mm]\pm1[/mm]
Ich bekomme eine andere Determinante , nämlich [mm] -8k^2, [/mm] rechne nochmal nach.
>
> Du hast vorhin geschrieben, wenn die det negativ ist, so
> ist meine Form indefinit.
Das, was ich schrieb, bezog sich auf 2x2-Matrizen, die Du dort betrachtet hast.
Für größere symmetrische Matrizen:
Alle Hauptminoren positiv ==> pos. definit
gerade Hauptminoren pos. , ungerade negativ ==> negativ definit
Det. ungleich 0 und keiner der anderen beiden Fälle ==> indefinit.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Mo 18.08.2008 | | Autor: | Zuggel |
> > Meine Lösung ist jetzt:
> >
> > [mm]det\pmat{ k² & 6 \\ 6 & k+1 }[/mm] = k²*(k+1)-36
>
> Hallo,
>
> genau.
>
> > wobei k=3 ist
>
> Nein, die det dieser Matrix ist immer k²*(k+1)-36.
>
> Wenn k=3, dann is die det=0.
Das meinte ich damit :)
>
> >
> > Für k>3 ist die det positiv, das linke obere Element
> > positiv => pos. definit
>
> Ja.
>
> >
> > Für k<3 ist die det negativ, das linke obere Element
> > positiv =>
>
> Indefinit.
>
> > ? (laut Lösung negativ definit)
>
> Das ist nicht richtig.
Mhm alles klar! Wenn ich jetzt aber die Matrix einfach so hernehme ohne sie zu kontrollieren und mir plötzlich bei der [mm] D_3 [/mm] det=0 herauskommt. Soll ich dann einfach auf der [mm] D_2 [/mm] arbeiten und die [mm] D_3 [/mm] auser Spiel lassen?
>
> Nehmen wir k=2, also die Matrix [mm]\pmat{ 4 & 6 \\ 6 & 3}.[/mm]
>
> Es ist (1 [mm]0)\pmat{ 4 & 6 \\ 6 & 3}\vektor{1\\0}=(1 0)\vektor{4\\6}=[/mm]
> 4.
>
> Wäre die Matrix neg. definit, dürfte hier ja nichts
> positives herauskommen, s. Definition der Definitheit.
>
>
> > Für semidefinit gibt es kein Hauptminor-Kriterium, mit
> > welchem Verfahren sollte ich dort arbeiten? Denn für k=3
> > sollte meine quadr. Form semidefinit positiv sein.
>
> Bei symmetrischen 2x2-Matrizen ist das einfach:
> wenn die Determinante =0 ist, und die Summe der
> Diagonalelemente positiv, so ist die Matrix positiv
> semidefinit,
> wenn die Determinante =0 ist, und die Summe der
> Diagonalelemente negativ, so ist die Matrix negativ
> semidefinit,
Mir dämmert es, dass die Summe aller Diagonalelemente = Spur der Matrix bedeutet, kann das sein?
>
> Aber Achtung: für größere Matrizen klappt das nicht!
Ist es dort aufwändiger oder ein anderes Kriterium zu verwenden?
>
>
> > Matrix: [mm]\pmat{ -2 & 0 & 2k \\ 0 & 2 & 2 \\ 2k & 2 & 4 }[/mm]
>
> > [mm]D_1[/mm] := det (-2) = -2
> > [mm]D_2[/mm] := det [mm]\pmat{ -2 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm] = -4
> > [mm]D_3[/mm] := det [mm]\pmat{ -2 & 0 & 2k \\ 0 & 2 & 2 \\ 2k & 2 & 4 }[/mm]
> > = 8k²-8 welches 0 ist für [mm]\pm1[/mm]
>
> Ich bekomme eine andere Determinante , nämlich [mm]-8k^2,[/mm]
> rechne nochmal nach.
also: -2*2*4 + 0*2*2*k + 2*k*0*2 - (2*k*2*2*k + 2*2*-2 + 4*0*0) = -8*k²-8
Habe ich jetzt einen Rechenfehler gemacht oder du *etwas verwirrt bin*
>
> >
> > Du hast vorhin geschrieben, wenn die det negativ ist, so
> > ist meine Form indefinit.
>
> Das, was ich schrieb, bezog sich auf 2x2-Matrizen, die Du
> dort betrachtet hast.
>
> Für größere symmetrische Matrizen:
>
> Alle Hauptminoren positiv ==> pos. definit
>
> gerade Hauptminoren pos. , ungerade negativ ==> negativ
> definit
>
> Det. ungleich 0 und keiner der anderen beiden Fälle ==>
> indefinit.
>
> Gruß v. Angela
>
>
Alles klar, Danke
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> Mhm alles klar! Wenn ich jetzt aber die Matrix einfach so
> hernehme ohne sie zu kontrollieren und mir plötzlich bei
> der [mm]D_3[/mm] det=0 herauskommt. Soll ich dann einfach auf der
> [mm]D_2[/mm] arbeiten und die [mm]D_3[/mm] auser Spiel lassen?
Hallo,
wenn's 'ne 2x2-Matrix ist, gibt's kein [mm] D_3,
[/mm]
und wenn's 'ne größere matrix ist, darfst Du's nicht unbeachtet lassen.
Über größere Matrizen hatte ich ja auch etwas geschrieben.
> >
> > > Für semidefinit gibt es kein Hauptminor-Kriterium, mit
> > > welchem Verfahren sollte ich dort arbeiten? Denn für k=3
> > > sollte meine quadr. Form semidefinit positiv sein.
> >
> > Bei symmetrischen 2x2-Matrizen ist das einfach:
> > wenn die Determinante =0 ist, und die Summe der
> > Diagonalelemente positiv, so ist die Matrix positiv
> > semidefinit,
> > wenn die Determinante =0 ist, und die Summe der
> > Diagonalelemente negativ, so ist die Matrix negativ
> > semidefinit,
>
> Mir dämmert es, dass die Summe aller Diagonalelemente =
> Spur der Matrix bedeutet, kann das sein?
Ja.
Und die Summer der Hauptdiagonalelemente ist auch gleich der Summe der Eigenwerte. Deshalb funktioniert das, was ich geschrieben habe.
>
> >
> > Aber Achtung: für größere Matrizen klappt das nicht!
>
> Ist es dort aufwändiger oder ein anderes Kriterium zu
> verwenden?
Semidefinitheit für größere Matrizen ist mit Aufwand verbunden.
Wenn die große det =0 ist, weiß man, daß die matrix weder pos. noch neg. definit und auch nicht indefinit sein kann.
Ob sie aber pos. semidefinit oder neg. semidefinit oder nichts v. beiden ist, kann man nicht einfach so ablesen.
Mir fällt jetzt spontan nur der Weg über die Eigenwertberechnung ein.
>
> >
> >
> > > Matrix: [mm]\pmat{ -2 & 0 & 2k \\ 0 & 2 & 2 \\ 2k & 2 & 4 }[/mm]
>
> >
> > > [mm]D_1[/mm] := det (-2) = -2
> > > [mm]D_2[/mm] := det [mm]\pmat{ -2 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm] = -4
> > > [mm]D_3[/mm] := det [mm]\pmat{ -2 & 0 & 2k \\ 0 & 2 & 2 \\ 2k & 2 & 4 }[/mm]
> > > = 8k²-8 welches 0 ist für [mm]\pm1[/mm]
> >
> > Ich bekomme eine andere Determinante , nämlich [mm]-8k^2,[/mm]
> > rechne nochmal nach.
>
> also: -2*2*4 + 0*2*2*k + 2*k*0*2 - (2*k*2*2*k + [mm] 2*2*\red{-2} [/mm] +
> 4*0*0) = -8*k²-8
> Habe ich jetzt einen Rechenfehler gemacht oder du *etwas
> verwirrt bin*
Beachte das rot markierte. Minus minus gibt dann am Ende plus.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Di 19.08.2008 | | Autor: | Zuggel |
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> > Mhm alles klar! Wenn ich jetzt aber die Matrix einfach so
> > hernehme ohne sie zu kontrollieren und mir plötzlich bei
> > der [mm]D_3[/mm] det=0 herauskommt. Soll ich dann einfach auf der
> > [mm]D_2[/mm] arbeiten und die [mm]D_3[/mm] auser Spiel lassen?
>
> Hallo,
>
> wenn's 'ne 2x2-Matrix ist, gibt's kein [mm]D_3,[/mm]
>
> und wenn's 'ne größere matrix ist, darfst Du's nicht
> unbeachtet lassen.
> Über größere Matrizen hatte ich ja auch etwas
> geschrieben.
>
>
Stimmt
> > >
> > > > Für semidefinit gibt es kein Hauptminor-Kriterium, mit
> > > > welchem Verfahren sollte ich dort arbeiten? Denn für k=3
> > > > sollte meine quadr. Form semidefinit positiv sein.
> > >
> > > Bei symmetrischen 2x2-Matrizen ist das einfach:
> > > wenn die Determinante =0 ist, und die Summe der
> > > Diagonalelemente positiv, so ist die Matrix positiv
> > > semidefinit,
> > > wenn die Determinante =0 ist, und die Summe der
> > > Diagonalelemente negativ, so ist die Matrix negativ
> > > semidefinit,
> >
> > Mir dämmert es, dass die Summe aller Diagonalelemente =
> > Spur der Matrix bedeutet, kann das sein?
>
> Ja.
>
> Und die Summer der Hauptdiagonalelemente ist auch gleich
> der Summe der Eigenwerte. Deshalb funktioniert das, was ich
> geschrieben habe.
Summe der Eigenwerte: Ich nehme an, dass die Spur auch die Summe aller Eigenwerte bei einer 3x3 Matrix ist, oder?
>
> >
> > >
> > > Aber Achtung: für größere Matrizen klappt das nicht!
> >
> > Ist es dort aufwändiger oder ein anderes Kriterium zu
> > verwenden?
>
> Semidefinitheit für größere Matrizen ist mit Aufwand
> verbunden.
> Wenn die große det =0 ist, weiß man, daß die matrix weder
> pos. noch neg. definit und auch nicht indefinit sein kann.
>
> Ob sie aber pos. semidefinit oder neg. semidefinit oder
> nichts v. beiden ist, kann man nicht einfach so ablesen.
> Mir fällt jetzt spontan nur der Weg über die
> Eigenwertberechnung ein.
>
Ok alles klar, Dankeschön :)
> >
> > >
> > >
> > > > Matrix: [mm]\pmat{ -2 & 0 & 2k \\ 0 & 2 & 2 \\ 2k & 2 & 4 }[/mm]
>
> >
> > >
> > > > [mm]D_1[/mm] := det (-2) = -2
> > > > [mm]D_2[/mm] := det [mm]\pmat{ -2 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm] = -4
> > > > [mm]D_3[/mm] := det [mm]\pmat{ -2 & 0 & 2k \\ 0 & 2 & 2 \\ 2k & 2 & 4 }[/mm]
> > > > = 8k²-8 welches 0 ist für [mm]\pm1[/mm]
> > >
> > > Ich bekomme eine andere Determinante , nämlich [mm]-8k^2,[/mm]
> > > rechne nochmal nach.
> >
> > also: -2*2*4 + 0*2*2*k + 2*k*0*2 - (2*k*2*2*k +
> [mm]2*2*\red{-2}[/mm] +
> > 4*0*0) = -8*k²-8
> > Habe ich jetzt einen Rechenfehler gemacht oder du
> *etwas
> > verwirrt bin*
>
> Beachte das rot markierte. Minus minus gibt dann am Ende
> plus.
Ja das schon, aber ums nochmal durchzurechnen:
[-2*2*4] + [0*2*2*k] + [2*k*0*2] - [(2*k*2*2*k + 2*2*{-2} + 4*0*0)] =
[-16] + [0] + [0] - (8k² - 8 + 0)
oder
-16 + 0 + 0 - 8k² + 8 =
- 8k² - 16 + 8=
- 8k² -8
lg
Zuggel
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> Summe der Eigenwerte: Ich nehme an, dass die Spur auch die
> Summe aller Eigenwerte bei einer 3x3 Matrix ist, oder?
Hallo,
ja, bloß es nützt Dir hier für die Semidefinitheit nichts: enn ein Eigenwert =0 ist, und die Summe der Eigenwerte 5, dann weißt Du noch langen nicht, ob alle EWe positiv sind.
> > > > > Matrix: [mm]\pmat{ -2 & 0 & 2k \\ 0 & 2 & 2 \\ 2k & 2 & 4 }[/mm]
> [-2*2*4] + [0*2*2*k] + [2*k*0*2] - [(2*k*2*2*k + 2*2*{-2} +
> 4*0*0)] =
>
> [-16] + [0] + [0] - (8k² - 8 + 0)
> oder
>
> -16 + 0 + 0 - 8k² + 8 =
> - 8k² - 16 + 8=
> - 8k² -8
Ogottogott: bei mir war tagelang 2*2*4=8 ...
Ich bekenne kleinlaut. Deine Det ist richtig.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:57 Di 19.08.2008 | | Autor: | Zuggel |
>
> > Summe der Eigenwerte: Ich nehme an, dass die Spur auch die
> > Summe aller Eigenwerte bei einer 3x3 Matrix ist, oder?
>
> Hallo,
>
> ja, bloß es nützt Dir hier für die Semidefinitheit nichts:
> enn ein Eigenwert =0 ist, und die Summe der Eigenwerte 5,
> dann weißt Du noch langen nicht, ob alle EWe positiv sind.
Hm muss ich mir jetzt nochmal durchrechnen bevor ich eine weitere Frage dazu stelle.
>
> > > > > > Matrix: [mm]\pmat{ -2 & 0 & 2k \\ 0 & 2 & 2 \\ 2k & 2 & 4 }[/mm]
>
> > [-2*2*4] + [0*2*2*k] + [2*k*0*2] - [(2*k*2*2*k + 2*2*{-2} +
> > 4*0*0)] =
> >
> > [-16] + [0] + [0] - (8k² - 8 + 0)
> > oder
> >
> > -16 + 0 + 0 - 8k² + 8 =
> > - 8k² - 16 + 8=
> > - 8k² -8
>
> Ogottogott: bei mir war tagelang 2*2*4=8 ...
Das ist mir auch passiert, deshalb habe ich mir gedacht ich schreibe dir nochmal die Ergebnisse hin. Ich habs eben mit Derive + Taschenrechner kontrolliert und echt nichtmehr verstanden ob ich überall falsch eintippe oder doch etwas anderes falsch ist.
Etwas anderes, 2 Postings vorher hast du geschrieben:
> > Für k<3 ist die det negativ, das linke obere Element
> > positiv =>
>
> Indefinit.
>
> > ? (laut Lösung negativ definit)
>
> Das ist nicht richtig.
>
> Nehmen wir k=2, also die Matrix [mm]\pmat{ 4 & 6 \\ 6 & 3}.[/mm]
>
> Es ist (1 [mm]0)\pmat{ 4 & 6 \\ 6 & 3}\vektor{1\\0}=(1 0)\vektor{4\\6}=[/mm]
> 4.
>
> Wäre die Matrix neg. definit, dürfte hier ja nichts
> positives herauskommen, s. Definition der Definitheit.
>
Also ich bekomme hier, wenn ich für k<3 einen Wert einsetze immer eine negative Zahl heraus, habe folgendes versucht: k=2,1,0,-1 bis -10. Es sind immer engative Werte herausgekommen. Somit wäre die Matrix für k<3 doch negativ definit und nicht indefinit, oder?
Jedoch laut Kriterium ist die Det der Matrix negativ und somit indefinit. Ich habe eben versucht auch den Taschenrechner lösen zu lassen, der findet keinen Wert für k mit welchem die Determinante unterhalb von k=3 positiv wird (kann jetzt aber auch etwas falsch getippt haben..)
lg
Zuggel
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Hallo,
wir betrachten gerade [mm] \pmat{ k^2&6\\6&k+1}.
[/mm]
> > > Für k<3 ist die det negativ, das linke obere Element
> > > positiv =>
> >
> > Indefinit.
> >
> > > ? (laut Lösung negativ definit)
> >
> > Das ist nicht richtig.
> >
> > Nehmen wir k=2, also die Matrix [mm]\pmat{ 4 & 6 \\ 6 & 3}.[/mm]
>
> >
> > Es ist (1 [mm]0)\pmat{ 4 & 6 \\ 6 & 3}\vektor{1\\0}=(1 0)\vektor{4\\6}=[/mm]
> > 4.
> >
> > Wäre die Matrix neg. definit, dürfte hier ja nichts
> > positives herauskommen, s. Definition der Definitheit.
> >
>
>
> Also ich bekomme hier, wenn ich für k<3 einen Wert einsetze
> immer eine negative Zahl heraus,
Was meinst Du mit "hier" und was hast Du berechnet?
Die Determinante der Matrix ganz oben?
Ihre Eigenwerte?
(1 [mm] 0)\pmat{ k^2&6\\6&k+1}\vektor{1\\0}?
[/mm]
Wofür bekommst Du immer was Negatives, und wozu ist das ein Widerspruch?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Di 19.08.2008 | | Autor: | Zuggel |
Aus vorigem Posting:
>
> > Summe der Eigenwerte: Ich nehme an, dass die Spur auch die
> > Summe aller Eigenwerte bei einer 3x3 Matrix ist, oder?
>
> Hallo,
>
> ja, bloß es nützt Dir hier für die Semidefinitheit nichts:
> enn ein Eigenwert =0 ist, und die Summe der Eigenwerte 5,
> dann weißt Du noch langen nicht, ob alle EWe positiv sind.
Um ein Fazit daraus zu ziehen, bei einer 3x3 Matrix ist es immer Vorteilhaft ihre Eigenwerte direkt zu berechnen.
> Hallo,
>
> wir betrachten gerade [mm]\pmat{ k^2&6\\6&k+1}.[/mm]
>
> > > > Für k<3 ist die det negativ, das linke obere Element
> > > > positiv =>
> > >
> > > Indefinit.
> > >
> > > > ? (laut Lösung negativ definit)
> > >
> > > Das ist nicht richtig.
> > >
> > > Nehmen wir k=2, also die Matrix [mm]\pmat{ 4 & 6 \\ 6 & 3}.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Es ist (1 [mm]0)\pmat{ 4 & 6 \\ 6 & 3}\vektor{1\\0}=(1 0)\vektor{4\\6}=[/mm]
> > > 4.
> > >
> > > Wäre die Matrix neg. definit, dürfte hier ja nichts
> > > positives herauskommen, s. Definition der Definitheit.
> > >
> >
> >
> > Also ich bekomme hier, wenn ich für k<3 einen Wert einsetze
> > immer eine negative Zahl heraus,
>
> Was meinst Du mit "hier" und was hast Du berechnet?
> Die Determinante der Matrix ganz oben?
> Ihre Eigenwerte?
>
Ich habe die determinante berechnet und in meinem Eifer angenommen, dass es Eigenwerte wären. Entschuldige Bitte
> (1 [mm]0)\pmat{ k^2&6\\6&k+1}\vektor{1\\0}?[/mm]
>
Was du mit dieser Rechnung ausrechnest würde ich trotzdem noch gerne wissen und was daraus resultiert
PS:
Alle Hauptminoren positiv ==> pos. definit
gerade Hauptminoren pos. , ungerade negativ ==> negativ definit
Det. ungleich 0 und keiner der anderen beiden Fälle ==> indefinit.
Du hast geschrieben, det ungleich 0. Wenn ich jetzt eine Matrix mit [mm] D_1 [/mm] = 2 [mm] D_2=0 [/mm] und [mm] D_3=-8 [/mm] habe. So versagt das Hauptminoren-Kriterium. Liege ich hiermit richtig?
(Funktion: x²+2y²+2z²+2xy+2xz)
Danke
lg
Zuggel
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> Aus vorigem Posting:
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> > > Summe der Eigenwerte: Ich nehme an, dass die Spur auch die
> > > Summe aller Eigenwerte bei einer 3x3 Matrix ist, oder?
> >
> > Hallo,
> >
> > ja, bloß es nützt Dir hier für die Semidefinitheit nichts:
> > enn ein Eigenwert =0 ist, und die Summe der Eigenwerte 5,
> > dann weißt Du noch langen nicht, ob alle EWe positiv sind.
>
> Um ein Fazit daraus zu ziehen, bei einer 3x3 Matrix ist es
> immer Vorteilhaft ihre Eigenwerte direkt zu berechnen.
Hallo,
nicht unbedingt, denn das kann ja ziemlich mühsam sein, jedenfalls, wenn man per Hand rechnet.
Für Definitheit/Indefinitheit tut es das Hauptminorenkriterium hier doch sehr gut, und wenn man damit bereits zum Ziel kommt, würde man das doch verwenden.
Bloß wenn es um die Semidefinitheit geht, kommt man wohl um die Berechnung der Eigenwerte nicht drumherum - jedenfalls fällt mir nichts anderes ein.
> > wir betrachten gerade [mm]\pmat{ k^2&6\\6&k+1}.[/mm]
> >
> > > > > Für k<3 ist die det negativ, das linke obere Element
> > > > > positiv =>
> > > >
> > > > Indefinit.
> > > >
> > > > > ? (laut Lösung negativ definit)
> > > >
> > > > Das ist nicht richtig.
>
> > (1 [mm]0)\pmat{ k^2&6\\6&k+1}\vektor{1\\0}[/mm] =4
> >
>
> Was du mit dieser Rechnung ausrechnest würde ich trotzdem
> noch gerne wissen und was daraus resultiert
Ich wollte mit dieser Rechnung unterstreichen, daß das Ergebnis der Dir vorliegenden Lösung (negativ definit) nicht stimmen kann.
> Alle Hauptminoren positiv ==> pos. definit
>
> gerade Hauptminoren pos. , ungerade negativ ==> negativ
> definit
>
> Det. ungleich 0 und keiner der anderen beiden Fälle ==>
> indefinit.
>
> Du hast geschrieben, det ungleich 0. Wenn ich jetzt eine
> Matrix mit [mm]D_1[/mm] = 2 [mm]D_2=0[/mm] und [mm]D_3=-8[/mm] habe. So versagt das
> Hauptminoren-Kriterium. Liege ich hiermit richtig?
Ja.
Sowohl das Hauptminorenkriterium als auch das mit den Eigenwerten funktioniert nur für symmetrische bzw. (in [mm] \IC) [/mm] hermitesche Matrizen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Mi 20.08.2008 | | Autor: | Zuggel |
Alles klar!
Danek Angela, du hast mir sehr geholfen =)
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