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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:39 Do 20.02.2014 | | Autor: | bennoman |
Hallo,
kann mir jemand sagen, was mit einem Integral gemeint ist, welches elementar lösbar ist.
Gruß
Benno
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Hallo,
damit sind Integrale gemeint, wo du die Lösung direkt angeben kannst, also die Stammfunktion direkt angeben kannst.
Anders ist das zum Beispiel bei [mm] f(x)=\frac{\sin{x}}{x}. [/mm] Dort findest du nicht direkt eine Stammmfunktion. Es ist nicht elementar lösbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 Fr 21.02.2014 | | Autor: | fred97 |
1. Der Begriff "elementar lösbar" ist nicht exakt definiert !
2. Jeder wird sagen: das Integral [mm] \integral_{}^{}{sin(x) dx} [/mm] ist elementar lösbar, denn $-cos(x)$ ist eien Stammfunktion von $sin(x)$
Sind wir aber mal ehrlich: $sin(x)$ und $cos(x)$ sind doch nur Abkürzungen für Potenzreihenentwicklungen !
Damit komme ich zum Beispiel von Richie:
(*) $ [mm] f(x)=\frac{\sin{x}}{x} [/mm] $ für x [mm] \ne [/mm] 0 und f(0)=1.
Richie schreibt:
"Dort findest du nicht direkt eine Stammmfunktion. Es ist nicht elementar lösbar."
Tatsächlich ? Vielleicht liegt das daran, dass für eine Stammfunktion der obigen Funktion f bisher noch keine schöne Abkürzung erfunden wurde !
Dann machen wir das doch: wir setzen, ganz unbescheiden,
[mm] $fred(x)=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n* \bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)*(2n+1)!}$
[/mm]
Für die Funktion f in (*) gilt nun
[mm] $\integral_{}^{}{f(x) dx}=fred(x)+C$
[/mm]
Ist das nicht schön ! [mm] \integral_{}^{}{f(x) dx} [/mm] ist also elementar lösbar.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Fr 21.02.2014 | | Autor: | Diophant |
Moin FRED,
> Dann machen wir das doch: wir setzen, ganz unbescheiden,
>
> [mm]fred(x)=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n* \bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)*(2n+1)!}[/mm]
>
> Für die Funktion f in (*) gilt nun
>
> [mm]\integral_{}^{}{f(x) dx}=fred(x)+C[/mm]
>
> Ist das nicht schön !
Si. 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Fr 21.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> 1. Der Begriff "elementar lösbar" ist nicht exakt
> definiert !
irgendwie geht das im Studium auch unter (oder es ist an mir vorbeigegangen).
Dort wird immer als selbstverständlich angesehen, was damit gemeint ist
oder gemeint sein könnte (was mir nie so wirklich 100%ig klar war). Ich
glaube aber, es gibt auch den Begriff "analytisch lösbar", für den ich
irgendwann wenigstens mal etwas gelesen habe, was in Richtung Definition
hätte gehen können (was ich leider nicht mehr finde).
Das erinnert mich an Aufgaben wie "Man bestimme den Definitionsbereich
folgender Funktion: ...", wo sogar mein Prof. sagte, dass er die Aufgabe
zwar auch so formuliere, aber das eigentlich, wenn man die Aufgabe
wortwörtlich behandelt, ziemlich sinnfrei sei, denn per Definitionem ist der
Definitionsbereich Bestandteil einer Funktion (man liest ja oft: "Eine Funktion
ist ein Tupel $(f,D,Z,...)$ so, dass...")
> 2. Jeder wird sagen: das Integral [mm]\integral_{}^{}{sin(x) dx}[/mm]
> ist elementar lösbar, denn [mm]-cos(x)[/mm] ist eien Stammfunktion
> von [mm]sin(x)[/mm]
>
> Sind wir aber mal ehrlich: [mm]sin(x)[/mm] und [mm]cos(x)[/mm] sind doch nur
> Abkürzungen für Potenzreihenentwicklungen !
Ja, ich merke mir immer "sin(x)=Imaginär- und cos(x)=Realteil von [mm] $e^{ix}$".
[/mm]
Aber natürlich braucht man dann wieder [mm] $e^{ix}$...
[/mm]
> Damit komme ich zum Beispiel von Richie:
>
> (*) [mm]f(x)=\frac{\sin{x}}{x}[/mm] für x [mm]\ne[/mm] 0 und f(0)=1.
>
> Richie schreibt:
>
> "Dort findest du nicht direkt eine Stammmfunktion. Es ist
> nicht elementar lösbar."
>
> Tatsächlich ? Vielleicht liegt das daran, dass für eine
> Stammfunktion der obigen Funktion f bisher noch keine
> schöne Abkürzung erfunden wurde !
>
> Dann machen wir das doch: wir setzen, ganz unbescheiden,
>
> [mm]fred(x)=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n* \bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)*(2n+1)!}[/mm]
>
> Für die Funktion f in (*) gilt nun
>
> [mm]\integral_{}^{}{f(x) dx}=fred(x)+C[/mm]
>
> Ist das nicht schön ! [mm]\integral_{}^{}{f(x) dx}[/mm] ist also
> elementar lösbar.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jetzt müssen wir das nur noch in die breite Masse tragen: Ehre, wem Ehre
gebührt. 
Gruß,
Marcel
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