Definition Integrierbarkeit < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Fr 21.01.2011 | | Autor: | freimann |
Hallo,
wir haben definiert, dass eine Funktion f:X [mm] \to [/mm] E (X Menge, E Banachraum) [mm] \mu-integrierbar [/mm] heißt, wenn es eine [mm] L_{1}-Cauchyfolge [/mm] von einfachen Funktionen gibt, die punktweise [mm] \mu-fast-ueberall [/mm] gegen f konvergieren.
Dabei soll [mm] \mu [/mm] ein Maß sein.
Eine [mm] L_{1}-Cauchyfolge [/mm] hatten wir folgendermaßen definiert:
Es ist [mm] ||g||:=\integral_{X}{|g|d\mu} [/mm] wobei g eine einfache Funktion ist. ||.|| ist eine Seminnorm. Eine [mm] L_{1}-Cauchyfolge [/mm] muss nun bzgl ||.|| erfüllen, was eine normale Cauchyfolge bzgl. einer Metrik erfüllt (epsilon-kriterium).
Eine Folge von einfachen Funktionen, die eine [mm] L_{1}-Cauchyfolge [/mm] sind, muss nicht punktweise konvergieren, weil bei einer Seminorm nicht ||v||=0 [mm] \gdw [/mm] v=0 gilt.
Hat man nun eine [mm] L_{1}-Cauchyfolge [/mm] von einfachen Funktionen, die punktweise [mm] \mu-fast-überall [/mm] gegen f konvergieren, dann ist diese Folge [mm] \mu-fast-überall [/mm] konvergent und auch eine (richtige) Cauchyfolge. Warum hat man dann den Begriff der [mm] L_{1}-Cauchyfolgen [/mm] überhaupt einfgeführt? Denn könnte man nicht in der Definition von [mm] \mu-integrierbar [/mm] " [mm] L_{1}-Cauchyfolge [/mm] " einfach durch "Cauchyfolge" ersetzen?
Viele Grüße,
freimann
P.S. Ich bin gerade etwas in Eile, wollte aber den Beitrag noch verfassen. Falls er also etwas ungenau sein sollte, tut es mir leid, aber ich hoffe, dass meine Frage rübergekommen ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Fr 21.01.2011 | | Autor: | dormant |
> Hallo,
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> wir haben definiert, dass eine Funktion f:X [mm]\to[/mm] E (X Menge,
> E Banachraum) [mm]\mu-integrierbar[/mm] heißt, wenn es eine
> [mm]L_{1}-Cauchyfolge[/mm] von einfachen Funktionen gibt, die
> punktweise [mm]\mu-fast-ueberall[/mm] gegen f konvergieren.
> Dabei soll [mm]\mu[/mm] ein Maß sein.
>
> Eine [mm]L_{1}-Cauchyfolge[/mm] hatten wir folgendermaßen
> definiert:
> Es ist [mm]||g||:=\integral_{X}{|g|d\mu}[/mm] wobei g eine einfache
> Funktion ist. ||.|| ist eine Seminnorm. Eine
> [mm]L_{1}-Cauchyfolge[/mm] muss nun bzgl ||.|| erfüllen, was eine
> normale Cauchyfolge bzgl. einer Metrik erfüllt
> (epsilon-kriterium).
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> Eine Folge von einfachen Funktionen, die eine
> [mm]L_{1}-Cauchyfolge[/mm] sind, muss nicht punktweise konvergieren,
> weil bei einer Seminorm nicht ||v||=0 [mm]\gdw[/mm] v=0 gilt.
>
> Hat man nun eine [mm]L_{1}-Cauchyfolge[/mm] von einfachen
> Funktionen, die punktweise [mm]\mu-fast-überall[/mm] gegen f
> konvergieren, dann ist diese Folge [mm]\mu-fast-überall[/mm]
> konvergent und auch eine (richtige) Cauchyfolge. Warum hat
> man dann den Begriff der [mm]L_{1}-Cauchyfolgen[/mm] überhaupt
> einfgeführt? Denn könnte man nicht in der Definition von
> [mm]\mu-integrierbar[/mm] " [mm]L_{1}-Cauchyfolge[/mm] " einfach durch
> "Cauchyfolge" ersetzen?
Man will bloß die Konvergenzart in der Definition der CF spezifizieren. [mm] L^1 [/mm] Konvergenz ist nicht das gleich wie f.ü.-Konvergenz.
>
> Viele Grüße,
> freimann
>
> P.S. Ich bin gerade etwas in Eile, wollte aber den Beitrag
> noch verfassen. Falls er also etwas ungenau sein sollte,
> tut es mir leid, aber ich hoffe, dass meine Frage
> rübergekommen ist.
>
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Fr 21.01.2011 | | Autor: | freimann |
Hallo dormant,
Was meinst du denn genau mit [mm] L_{1} [/mm] Konvergenz?
Meint man in der Definition von [mm] \mu-integrierbar [/mm] (ganz am Anfang von meinem ersten Post) punktweise Konvergenz im "normalen Sinne" bzgl. einer Norm/Metrik? So habe ich das jedenfalls verstanden. Und Du schreibst ja selbst, dass [mm] L_{1} [/mm] Konvergenz nicht das Gleiche wie f.ü.-Konvergenz ist.
Und dementsprechend verstehe ich dann den Sinn hinter der Definition von [mm] \mu-integrierbar [/mm] nicht. Zunächst soll es da eine [mm] L_{1} [/mm] Cauchyfolge von einfachen Funktionen geben, die aber dann punktweise gegen ein f konvergiert, was heißt, dass es eine Cauchyfolge ist. Warum nimmt man dann in der Definition den Begriff [mm] L_{1} [/mm] Cauchyfolge überhaupt her? Oder ist nicht jede Cauchyfolge eine [mm] L_{1} [/mm] Cauchyfolge?
Viele Grüße,
freimann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:53 Sa 22.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo dormant,
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> Was meinst du denn genau mit [mm]L_{1}[/mm] Konvergenz?
> Meint man in der Definition von [mm]\mu-integrierbar[/mm] (ganz am
> Anfang von meinem ersten Post) punktweise Konvergenz im
> "normalen Sinne" bzgl. einer Norm/Metrik?
Verstehe ich nicht. Hier geht es doch um Funktionen mit Werten in [mm] $\IR\cup\{\infty\}$. [/mm] Punktweise Konvergenz ist über die Standardnorm in [mm] $\IR$ [/mm] definiert.
> Und dementsprechend verstehe ich dann den Sinn hinter der
> Definition von [mm]\mu-integrierbar[/mm] nicht. Zunächst soll es da
> eine [mm]L_{1}[/mm] Cauchyfolge von einfachen Funktionen geben, die
> aber dann punktweise gegen ein f konvergiert, was heißt,
> dass es eine Cauchyfolge ist.
Hier wirfst du einiges durcheinander. Punktweise Konvergenz bedeutet, dass für jeden Punkt x die Folge [mm] $f_n(x)$ [/mm] eine Cauchyfolge im Bildraum der Funktionen [mm] $f_n$ [/mm] (also in [mm] $\IR\cup\{\infty\}$) [/mm] ist. Das ist viel weniger als die Aussage, dass [mm] $f_n$ [/mm] eine Cauchyfolge im Raum der Funktionen ist.
Die Aussage kannst du aber noch gar nicht machen, weil dein Funktionenraum keine Norm hat; ohne Norm gibt's keine Cauchyfolgen.
Genau deswegen wird die Halbnorm [mm] $\|\cdot\|_1$ [/mm] für einfache Funktionen definiert und dann auf [mm] $\mu$-integrierbare [/mm] Funktionen erweitert. Erst wenn du den Funktionenraum durch die Äquivalenzrelation [mm] "$\mu$-fast [/mm] überall gleich" dividierst, entsteht aus der Halbnorm eine Norm.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:50 Sa 22.01.2011 | | Autor: | freimann |
Super, damit hast Du meine Fragen beantwortet!
Danke.
freimann
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Di 25.01.2011 | | Autor: | freimann |
Eine Frage habe ich noch:
Sei [mm] (f_j)_{j\in\IN} [/mm] eine Folge von Funktionen. Weiter
[mm] f_j: [/mm] X [mm] \to [/mm] E [mm] \forall [/mm] j . Dabei ist X eine Menge und E ein Banachraum (also vollständig und normiert).
Der Funktionenraum V:={f| f: X [mm] \to [/mm] E} sei mit einer Norm versehen. (Also die Annahme ist hier, dass es eine Norm auf V geben soll).
Bezüglich dieser Norm soll [mm] (f_j)_{j\in\IN} [/mm] eine Cauchyfolge sein (Bezüglich der von dieser Norm induzierten Metrik).
Konvergiert dann [mm] (f_j)_{j\in\IN} [/mm] punktweise in E?
Diese Frage habe ich mir gestellt. Bis jetzt war es in Beispielen oder Übungsaufgaben immer so, dass man von der Norm im Funktionenraum irgendwie auf die Norm in E gekommen ist, weil die zusammenhingen. Kann man aber eine Aussage treffen, wenn man nur das weiß, was ich geschrieben habe?
Viele Grüße,
freimann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:04 Mi 26.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Eine Frage habe ich noch:
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> Sei [mm](f_j)_{j\in\IN}[/mm] eine Folge von Funktionen. Weiter
> [mm]f_j:[/mm] X [mm]\to[/mm] E [mm]\forall[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
j . Dabei ist X eine Menge und E ein
> Banachraum (also vollständig und normiert).
>
> Der Funktionenraum V:={f| f: X [mm]\to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
E} sei mit einer Norm
> versehen. (Also die Annahme ist hier, dass es eine Norm auf
> V geben soll).
>
> Bezüglich dieser Norm soll [mm](f_j)_{j\in\IN}[/mm] eine
> Cauchyfolge sein (Bezüglich der von dieser Norm
> induzierten Metrik).
>
> Konvergiert dann [mm](f_j)_{j\in\IN}[/mm] punktweise in E?
>
> Diese Frage habe ich mir gestellt. Bis jetzt war es in
> Beispielen oder Übungsaufgaben immer so, dass man von der
> Norm im Funktionenraum irgendwie auf die Norm in E gekommen
> ist, weil die zusammenhingen. Kann man aber eine Aussage
> treffen, wenn man nur das weiß, was ich geschrieben habe?
Nein, wie soll das möglich sein, wenn keinerlei Zusammenhang zwichen den Normen auf E bzw. V besteht ????
FRED
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> Viele Grüße,
> freimann
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