Definition Metrischer Raum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:36 Do 10.03.2011 | | Autor: | Chessko |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Moin,
ich wollte mal überprüfen inwiefern ich die Grundprinzipien der metrischen Räume verstanden habe, die [*] sind von mir und der Rest ist aus dem Buch von Dirk Werner, Einführung i. d. Höhere Analysis.
Der metrische Raum wurde als (T,d) und [mm] \tau [/mm] als die Menge aller offenen Teilmengen von T definiert.
[*] [mm] $\Rightarrow \bigcup_{i \in I} T_{i} [/mm] =: [mm] \tau \subseteq [/mm] T$, wobei [mm] T_{i} \in [/mm] T (i [mm] \in [/mm] I Indexmenge).
(a) [mm] \emptyset \in \tau, [/mm] T [mm] \in \tau [/mm]
[*] [mm] \Rightarrow \tau [/mm] = T, da [mm] \tau \subseteq [/mm] T.
(b) Sind [mm] O_{1} \in \tau [/mm] und [mm] O_{2} \in \tau, [/mm] so gilt [mm] O_{1} \cap O_{1} \in \tau.
[/mm]
(c) Ist I eine beliebige Indexmenge und sind [mm] O_{i} \in \tau [/mm] (i [mm] \in [/mm] I), so ist auch [mm] \bigcup_{i \in I} O_{i} \in \tau.
[/mm]
Des weiteren wurde eine Kugel definiert:
[mm] U_{\epsilon}(t)=\{s \in T: d(s,t) < \epsilon\}
[/mm]
[*]Es gibt ein festes Element s [mm] \in [/mm] T, wobei immer der Abstand zwischen dem festen s und dem t bestimmt wird und dieser innerhalb der offenen Kugel mit dem Radius kleiner [mm] \epsilon [/mm] liegen muss.
Etwas später wurde dann der Rand von M definiert:
[mm] $\delta M:=$\{t\inT :U_{\epsilon}(t) \cap M \not= \emptyset \wedge U_{\epsilon}(t) \cap T \textbackslash M \not= \emptyset \ \forall \epsilon >0 \}
[/mm]
[*] [mm] \Rightarrow U_{\epsilon}(t) [/mm] muss in M sowie außerhalb von M liegen, aber T mindestens schneiden. Sprich [mm] $\delta [/mm] M$ beinhaltet (Gesamt M [mm] \cup [/mm] Eine abgeschlossene Menge die M umschließt und dabei minimal groß [mm] ist)$\textbackslash [/mm] $(Die Vereinigung der inneren offenen Mengen von M), so wie auch Teile von T.
D.h. doch eigentlich, das [mm] $\delta [/mm] M$ nicht mehr in M liegt, insofern M nicht abgeschlossen ist. Besonders da [mm] $\delta [/mm] M$ immer abgeschlossen sein wird, weil es gerade eine abgeschlossene Menge ohne eine offene ist. Also genau da wo die Vereinigungen von offenen Mengen in M aufhören beginnt der Rand von M und ist minimal breit.
Ich bin mir ziemlich unsicher was (a) angeht, weil ich nicht weiß ob ich den Einleitungssatz so verstanden habe, wie er gemeint ist. Vielleicht war mit [mm] \tau [/mm] auch offene Teilmengen gemeint die T überdecken, was aber auch nicht unbedingt nahe liegt, da T als topologischer Raum deklariert wurde.
MfG Chessko
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:46 Do 10.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Moin,
>
> ich wollte mal überprüfen inwiefern ich die
> Grundprinzipien der metrischen Räume verstanden habe, die
> [*] sind von mir und der Rest ist aus dem Buch von Dirk
> Werner, Einführung i. d. Höhere Analysis.
>
> Der metrische Raum wurde als (T,d) und [mm]\tau[/mm] als die Menge
> aller offenen Teilmengen von T definiert.
> [*] [mm]\Rightarrow \bigcup_{i \in I} T_{i} =: \tau \subseteq T[/mm],
> wobei [mm]T_{i} \in[/mm] T (i [mm]\in[/mm] I Indexmenge).
Das ist völliger Unsinn. [mm] \tau [/mm] ist eine Teilmenge der Potenzmenge von T !!!!
>
> (a) [mm]\emptyset \in \tau,[/mm] T [mm]\in \tau[/mm]
> [*] [mm]\Rightarrow \tau[/mm] = T, da [mm]\tau \subseteq[/mm] T.
Quatsch !
> (b) Sind [mm]O_{1} \in \tau[/mm] und [mm]O_{2} \in \tau,[/mm] so gilt [mm]O_{1} \cap O_{1} \in \tau.[/mm]
>
> (c) Ist I eine beliebige Indexmenge und sind [mm]O_{i} \in \tau[/mm]
> (i [mm]\in[/mm] I), so ist auch [mm]\bigcup_{i \in I} O_{i} \in \tau.[/mm]
>
>
> Des weiteren wurde eine Kugel definiert:
>
> [mm]U_{\epsilon}(t)=\{s \in T: d(s,t) < \epsilon\}[/mm]
> [*]Es gibt
> ein festes Element s [mm]\in[/mm] T, wobei immer der Abstand
> zwischen dem festen s und dem t bestimmt wird und dieser
> innerhalb der offenen Kugel mit dem Radius kleiner [mm]\epsilon[/mm]
> liegen muss.
Oh Gott ! Es sind t [mm] \in [/mm] T und [mm] \epsilon> [/mm] 0 vorgegeben. Dann ist [mm] U_{\epsilon}(t) [/mm] die Menge aller Punkte s [mm] \in [/mm] T , welche einen Abstand < [mm] \epsilon [/mm] von t haben.
>
>
> Etwas später wurde dann der Rand von M definiert:
> [mm]\delta M:=[/mm][mm] \{t\inT :U_{\epsilon}(t) \cap M \not= \emptyset \wedge U_{\epsilon}(t) \cap T \textbackslash M \not= \emptyset \ \forall \epsilon >0 \}[/mm]
>
> [*] [mm]\Rightarrow U_{\epsilon}(t)[/mm] muss in M sowie außerhalb
> von M liegen, aber T mindestens schneiden. Sprich [mm]\delta M[/mm]
> beinhaltet (Gesamt M [mm]\cup[/mm] Eine abgeschlossene Menge die M
> umschließt und dabei minimal groß ist)[mm]\textbackslash [/mm](Die
> Vereinigung der inneren offenen Mengen von M), so wie auch
> Teile von T.
Nochmal: oh Gott !.
Sei t [mm] \in \partial [/mm] M. Obige def. besagt: für jedes [mm] \epsilon> [/mm] 0 trifft die Menge [mm] U_{\epsilon}(t) [/mm] sowohl M als auch T \ M.
Randpunkte von M können, müssen aber nicht zu M gehören.
>
> D.h. doch eigentlich, das [mm]\delta M[/mm] nicht mehr in M liegt,
> insofern M nicht abgeschlossen ist. Besonders da [mm]\delta M[/mm]
> immer abgeschlossen sein wird, weil es gerade eine
> abgeschlossene Menge ohne eine offene ist. Also genau da wo
> die Vereinigungen von offenen Mengen in M aufhören beginnt
> der Rand von M und ist minimal breit.
>
>
Puuh.
FRED
> Ich bin mir ziemlich unsicher was (a) angeht, weil ich
> nicht weiß ob ich den Einleitungssatz so verstanden habe,
> wie er gemeint ist. Vielleicht war mit [mm]\tau[/mm] auch offene
> Teilmengen gemeint die T überdecken, was aber auch nicht
> unbedingt nahe liegt, da T als topologischer Raum
> deklariert wurde.
>
> MfG Chessko
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Do 10.03.2011 | | Autor: | Chessko |
Erst mal Danke, dass du dir diese Gotteslästerung durchgelesen und darauf reagiert hast.
Okay,
Der metrische Raum wurde als (T,d) und $ [mm] \tau [/mm] $ als die Menge aller offenen Teilmengen von T definiert.
Also klar ist, dass T die Grundmenge ist. Da $ [mm] \tau [/mm] $ die Menge aller offenen Teilmengen der Grundmenge T ist, kann $ [mm] \tau [/mm] $ nur eine Teilmenge der Potenzmenge sein, da die Potenzmenge alle Teilmengen beinhaltet, also abgeschlossene und offene. (Ich hatte vorher gedacht, dass [mm] \tau [/mm] die Potenzmenge ist, weil ich nicht an die abgeschlossenen Mengen gedacht habe.)
Dann ist [mm] P(T):=\{U|U \subseteq T \} [/mm] also P von T ist die Menge aller U für die gilt, U ist Teilmenge von T.
Außerdem ist dann [mm] \tau \subseteq [/mm] P(T), speziell [mm] \tau [/mm] := [mm] \{ U \subseteq T \ | \ \forall t \in U \ \exists \varepsilon > 0 : U_{\epsilon}(t) \subseteq U \} \subseteq [/mm] P(T) die Menge der offenen Teilmengen von T.
(a) $ [mm] \emptyset \in \tau, [/mm] $ T $ [mm] \in \tau [/mm] $ [mm] (\Leftrightarrow [/mm] T [mm] \subseteq \tau) [/mm]
... dies wird nun aus der Definition klar, werde es mir aber nochmal extra beweisen.
Die Kugel ist mir nun auch klar.
Zum Abstand.
$ [mm] \delta [/mm] M:= $$ [mm] \{t\inT :U_{\epsilon}(t) \cap M \not= \emptyset \wedge U_{\epsilon}(t) \cap T \textbackslash M \not= \emptyset \ \forall \epsilon >0 \} [/mm] $
Wahrscheinlich war meine Formulierung ziemlich miserabel, aber ich werde es nochmal versuchen, mit deiner Korrektur.
Also das [mm] U_{\epsilon}(t) [/mm] die Mengen M sowohl als auch die Menge [mm] $T\backslash [/mm] M$ treffen muss und zwar für [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ war mir schon klar, dass folgt ja direkt aus der Definition/den Eigenschaften.
[mm] $(U_{\epsilon}(t) \cap [/mm] T [mm] \textbackslash [/mm] M) [mm] \not= \emptyset$ \Rightarrow [/mm] außerhalb von M
[mm] $(U_{\epsilon}(t) \cap [/mm] M) [mm] \not= \emptyset [/mm] $ [mm] \Rightarrow [/mm] innerhalb von M
Danke für deine Antwort, ich denke ich habe es jetzt besser verstanden.
Wenn es nocht etwas zu beanstanden gibt nur zu.
MfG Chessko.
|
|
|
| |
|
Huhu,
> Also klar ist, dass T die Grundmenge ist. Da [mm]\tau[/mm] die Menge
> aller offenen Teilmengen der Grundmenge T ist, kann [mm]\tau[/mm]
> nur eine Teilmenge der Potenzmenge sein, da die Potenzmenge
> alle Teilmengen beinhaltet, also abgeschlossene und offene.
Die Aussage stimmt so zwar, aber du denkst garantiert wieder völlig falsch. Die Potenzmenge enthält zwar alle offenen und abgeschlossenen Teilmengen, aber auch noch viel mehr.
Ich seh in deinem Kopf nach obiger Aussage förmlich folgende Gleichung:
Potenzmenge = offene Mengen + abgeschlossenene Mengen
Das ist natürlich Schwachsinn, da es auch Mengen gibt, die weder offen noch abgeschlossen sind, oder auch beides.
Also merke: Die Potenzmenge ist genau das, wie sie definiert ist: Die Menge aller Teilmengen von T!
> (Ich hatte vorher gedacht, dass [mm]\tau[/mm] die Potenzmenge ist,
> weil ich nicht an die abgeschlossenen Mengen gedacht
> habe.)
Und nicht nur an die nicht..........
> Dann ist [mm]P(T):=\{U|U \subseteq T \}[/mm] also P von T ist die
> Menge aller U für die gilt, U ist Teilmenge von T.
Die Potenzmenge halt....
> Außerdem ist dann [mm]\tau \subseteq[/mm] P(T), speziell [mm]\tau[/mm] := [mm]\{ U \subseteq T \ | \ \forall t \in U \ \exists \varepsilon > 0 : U_{\epsilon}(t) \subseteq U \} \subseteq[/mm]
> P(T) die Menge der offenen Teilmengen von T.
Bisher noch nix spannendes....
> (a) [mm]\emptyset \in \tau,[/mm] T [mm]\in \tau[/mm] [mm](\Leftrightarrow[/mm] T
> [mm]\subseteq \tau)[/mm]
> ... dies wird nun aus der Definition klar, werde es mir
> aber nochmal extra beweisen.
Mach mal.
> Zum Abstand.
Das wars? Ich denke du meinst Rand, nicht Abstand. Was war nochmal gleich der Abstand?
> [mm]\delta M:=[/mm][mm] \{t\inT :U_{\epsilon}(t) \cap M \not= \emptyset \wedge U_{\epsilon}(t) \cap T \textbackslash M \not= \emptyset \ \forall \epsilon >0 \}[/mm]
> Wahrscheinlich war meine Formulierung ziemlich miserabel,
Jap. Aber war ist gut 
Das gibt sich aber auch nur durch Übung, Übung, Übung.
> Also das [mm]U_{\epsilon}(t)[/mm] die Mengen M sowohl als auch die
> Menge [mm]T\backslash M[/mm] treffen muss und zwar für [mm]\epsilon > 0[/mm]
> war mir schon klar, dass folgt ja direkt aus der
> Definition/den Eigenschaften.
Aha, was heisst denn "Treffen"? Genau zwischen die Augen? Auch die ![[]](/images/popup.gif) Begriffserklärung von Wikipedia liefert keinen einzigen Treffer (*höhö*) im Bereich Mathematik.
> Wenn es nocht etwas zu beanstanden gibt nur zu.
Und jetzt mal genug aufgezogen: Ich denke, du meinst schon das richtige. In der Mathematik essentiell wichtig ist es aber eben auch, das alles mathematisch korrekt ausdrücken zu können, und daran hapert es bei dir noch gewaltig.
Du solltest also lieber daran arbeiten, als am Verständnis des Stoffes.
Du wirst übrigens auch feststellen: Kann man sich selbst gut mathematisch ausdrücken, verstehet man die gegebenen Sätze / Definitionen / Theoreme gleich viel besser.
All die von dir aufgeschriebenen Definitionen sind eigentlich sehr rudimentär und nicht schwer zu verstehen, wenn man sich angewöhnt mathematisch präzise zu formulieren.....
MFG;
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:11 Fr 11.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Aha, was heisst denn "Treffen"? Genau zwischen die Augen?
> Auch die
> Begriffserklärung von Wikipedia
> liefert keinen einzigen Treffer (*höhö*) im Bereich
> Mathematik.
Hallo Gono,
ja, mach Dich nur lustig. Ich sehe es Dir nach, denn Du bist noch unerfahren. "Treffen" kam von mir.
Das ist eine durchaus übliche Ausdrucksweise, wenn auch nicht sehr verbreitet:
Eine Menge A trifft die Menge B [mm] \gdw [/mm] $A [mm] \cap [/mm] B [mm] \ne \emptyset$
[/mm]
gruß FRED
P.S.: Wiki ist nicht die heilige Schrift.
|
|
|
|
