Definition Riemann-Integral, < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Mo 26.01.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Im Forster wird zuerst das Integral für Treppenfunktionen [mm] \tau[a,b] [/mm] definiert:
Sei [mm] \phi \in \tau[a,b] [/mm] definiert bezüglich der Unterteilung [mm] a=x_0
[mm] \int_a^b \phi(x) [/mm] dx := [mm] \sum_{k=1}^n c_k (x_k -x_{k-1}).
[/mm]
Es wir dann anschließend die Wohldefiniertheit der Definition gezeigt (Unabhängigkeit der Zerlegung) und dannach wir die Riemann-integrierbarkeit durch die Gleichheit des Ober- und Unterintegrals für beschränkte funktionen f:[a,b] [mm] \rightarrow \mathbb{R} [/mm] definiert.:
$ [mm] \int_a^b^{\*} [/mm] $ f(x) dx := inf $ [mm] \{\int_a^b \psi(x) dx : \spi \in \tau[a,b], f \le \psi\} [/mm] $
$ [mm] \int_a^b_{\*} [/mm] $ f(x) dx := sup $ [mm] \{\int_a^b \phi(x) dx : \spi \in \tau[a,b], \phi \le f\} [/mm] $
Ist das nun, dasselbe wie die Darbouxschen Integrale?
Hier wird z.B. im Heuser das untere und obere Darbouxsche Integral eingeführt:
Sei f eine beschränkte Funktion auf [a,b] sowie [mm] Z:=\{x_0,..,x_n\} [/mm] irgendeine Zerlegung von [a,b] mit den Teilintervallen [mm] I_k:=[x_{k-1},x_k]. [/mm] Mit den Zahlen [mm] m_k:= [/mm] inf [mm] f(I_k), M_k:= [/mm] sup [mm] f(I_k) [/mm] bilde man nun die Ober- und Untersumme
[mm] U(f,Z):=\sum_{k=1}^n m_k |I_k| [/mm] bzw. [mm] O(f,Z):=\sum_{k=1}^n M_k |I_k|. [/mm]
Nennen wir
[mm] \int_a^b_{\*} [/mm] := [mm] sup_{Z} [/mm] U(Z) das untere,
[mm] \int_a^b^{\*}:= inf_{Z} [/mm] O(Z) das obere Darbouxsche Integral von f auf [a,b] |
Hallo,
Ich hoffe ich habe meine Frage klar ausgedrückt. Es herrscht etwas Verwirrung bezüglich des Themas.
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Mo 26.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Im Forster wird zuerst das Integral für Treppenfunktionen
> [mm]\tau[a,b][/mm] definiert:
> Sei [mm]\phi \in \tau[a,b][/mm] definiert bezüglich der
> Unterteilung [mm]a=x_0
> [mm]\phi|_{]x_{k-1},x_k[}=c_k[/mm] für k=1,..,n. Dann setzt man
> [mm]\int_a^b \phi(x)[/mm] dx := [mm]\sum_{k=1}^n c_k (x_k -x_{k-1}).[/mm]
>
> Es wir dann anschließend die Wohldefiniertheit der
> Definition gezeigt (Unabhängigkeit der Zerlegung) und
> dannach wir die Riemann-integrierbarkeit durch die
> Gleichheit des Ober- und Unterintegrals für beschränkte
> funktionen f:[a,b] [mm]\rightarrow \mathbb{R}[/mm] definiert.:
> [mm]\int_a^b^{\*}[/mm] f(x) dx := inf [mm]\{\int_a^b \psi(x) dx : \spi \in \tau[a,b], f \le \psi\}[/mm]
>
> [mm]\int_a^b_{\*}[/mm] f(x) dx := sup [mm]\{\int_a^b \phi(x) dx : \spi \in \tau[a,b], \phi \le f\}[/mm]
>
> Ist das nun, dasselbe wie die Darbouxschen Integrale?
Ja
FRED
> Hier wird z.B. im Heuser das untere und obere Darbouxsche
> Integral eingeführt:
> Sei f eine beschränkte Funktion auf [a,b] sowie
> [mm]Z:=\{x_0,..,x_n\}[/mm] irgendeine Zerlegung von [a,b] mit den
> Teilintervallen [mm]I_k:=[x_{k-1},x_k].[/mm] Mit den Zahlen [mm]m_k:=[/mm]
> inf [mm]f(I_k), M_k:=[/mm] sup [mm]f(I_k)[/mm] bilde man nun die Ober- und
> Untersumme
> [mm]U(f,Z):=\sum_{k=1}^n m_k |I_k|[/mm] bzw. [mm]O(f,Z):=\sum_{k=1}^n M_k |I_k|.[/mm]
> Nennen wir
> [mm]\int_a^b_{\*}[/mm] := [mm]sup_{Z}[/mm] U(Z) das untere,
> [mm]\int_a^b^{\*}:= inf_{Z}[/mm] O(Z) das obere Darbouxsche
> Integral von f auf [a,b]
> Hallo,
> Ich hoffe ich habe meine Frage klar ausgedrückt. Es
> herrscht etwas Verwirrung bezüglich des Themas.
> LG,
> sissi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Mo 26.01.2015 | | Autor: | sissile |
Danke für die Antwort,
kannst du mir vlt. auch erklären wieso das dasselbe ist? Ich verstehe, dass nämlich noch nicht ganz.
LG,
sissi
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Hiho,
> Danke für die Antwort, kannst du mir vlt. auch erklären wieso das dasselbe ist?
zeige, dass die beiden Definitionen die selben Ober- bzw. Unterintegrale ergeben.
Mache dir dazu folgende zwei Dinge für [mm] $\psi [/mm] := [mm] \summe_{k=1}^n M_k*1_{I_k}$ [/mm] klar:
1.) [mm] \psi [/mm] ist selbst wieder eine Treppenfunktion mit $f [mm] \le \psi$
[/mm]
Was folgt daraus als Relation zwischen den unterschiedlichen Oberintegraldefinitionen?
2.) Für jede Treppenfunktion [mm] \phi [/mm] bezüglich der Zerlegung von [a,b] in Teilintervalle [mm] I_k [/mm] mit $f [mm] \le \phi$ [/mm] gilt [mm] $\psi \le \phi$
[/mm]
Was folgt daraus als Relation zwischen den unterschiedlichen Oberintegraldefinitionen?
Also insgesamt?
Gruß,
Gono
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:12 Di 27.01.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
1)
Sei [mm] \epsilon_i \in [x_{i-1},x_i]=I_i [/mm] ein beliebiges Element des Intervalls:
[mm] \psi(\epsilon_i):= (\sum_{k=1}^n M_k \cdot{}1_{I_k}) (\epsilon_i)=M_i=\sup (f(I_i))
[/mm]
[mm] \phi(\epsilon_i):=(\sum_{k=1}^n m_k \cdot{}1_{I_k}) (\epsilon_i)=m_i =\inf (f(I_i))
[/mm]
Das gilt für alle i [mm] \in \{1,..,n\} [/mm] und jeweils ein beliebiges Element des Intervalls, dementsprechend sind [mm] \psi, \phi [/mm] Treppenfunktionen auf [a,b].
[mm] \sup(f(I_i))\ge f(I_i) \forall [/mm] i [mm] \in \{1,..,n\}
[/mm]
d.h. [mm] \psi \ge [/mm] f
[mm] \inf(f(I_i))\le f(I_i) \forall [/mm] i [mm] \in \{1,..,n\}
[/mm]
d.h. [mm] \phi \le [/mm] f
Daraus folgt [mm] O(f,Z)=\sum_{k=1}^n M_k (x_k-x_{k-1})=\sum_{k=1}^n \psi(\epsilon_k) (x_k-x_{k-1})=\int_a^b \psi(x) [/mm] dx [mm] \in [/mm] $ [mm] \{\int_a^b \psi(x) dx : \psi \in \tau[a,b], f \le \psi\} [/mm] $
[mm] U(f,Z)=\sum_{k=1}^n m_k (x_k-x_{k-1})= \int_a^b \phi(x) [/mm] dx [mm] \in [/mm] $ [mm] \{\int_a^b \phi(x) dx : \phi \in \tau[a,b], \phi \le f\} [/mm] $
Das heißt
inf [mm] \{\int_a^b \psi(x) dx : \psi \in \tau[a,b], f \le \psi\} \le [/mm] O(f,Z)
sup [mm] \{\int_a^b \phi(x) dx : \phi \in \tau[a,b], \phi \le f\} \ge [/mm] U(f,Z)
Da das für alle Zerlegungen gilt folgt
inf [mm] \{\int_a^b \psi(x) dx : \psi \in \tau[a,b], f \le \psi\} \le [/mm] inf O(f,Z)
sup [mm] \{\int_a^b \phi(x) dx : \phi \in \tau[a,b], \phi \le f\} \ge [/mm] sup U(f,Z)
2)
Angenommen es würde eine Treppepenfunktion [mm] \overline{\psi} [/mm] mit der Eigenschaft [mm] f\le \overline{\psi} [/mm] und ein Zwischenwert [mm] \epsilon_i \in I_i [/mm] existieren mit [mm] \overline{\psi}(\epsilon_i) \le \psi(\epsilon_i).
[/mm]
Dann folgt [mm] \overline{\psi}(\epsilon_i) \le sup(f(I_i))
[/mm]
Nach Def des Supremums [mm] \exists [/mm] Zwischenwert [mm] s_i \in I_i [/mm] : [mm] \overline{\psi}(\epsilon_i)\le f(s_i)
[/mm]
Da [mm] \overline{\psi} [/mm] eine Treppenfunktion mit Zerteilung Z: [mm] \overline{\psi}(s_i)=\overline{\psi}(\epsilon_i)\le f(s_i)
[/mm]
Was ein Widerspruch zu [mm] \overline{\psi} \ge [/mm] f ist.
D.h. wie du schreibst:
Für jede Treppenfunktion $ [mm] \kappa$ [/mm] bezüglich der Zerlegung von [a,b] in Teilintervalle $ [mm] I_k [/mm] $ mit $ f [mm] \le \kappa [/mm] $ gilt $ [mm] \psi \le \kappa [/mm] $
[mm] O(f,Z)=\int_a^b \psi \le \int_a^b \kappa
[/mm]
O(f,Z) [mm] \le [/mm] inf [mm] \{\int_a^b \psi(x) dx : \psi \in \tau[a,b], f \le \psi\}
[/mm]
Da das für alle Zerlegungen Z so gilt:
inf O(f,Z) [mm] \le [/mm] inf [mm] \{\int_a^b \psi(x) dx : \psi \in \tau[a,b], f \le \psi\}
[/mm]
Für das Unterintegral analog
Aus 1&2
inf O(f,Z) = inf [mm] \{\int_a^b \psi(x) dx : \psi \in \tau[a,b], f \le \psi\}
[/mm]
sup [mm] \{\int_a^b \phi(x) dx : \phi \in \tau[a,b], \phi \le f\} [/mm] = sup U(f,Z)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Do 29.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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