Definition Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 Do 08.03.2007 | | Autor: | AndyH |
| Aufgabe | Sei z.B. f: [mm] [0,1]\cup \{2 \} \to \IR [/mm] mit
[mm] f(x)=\begin{cases} x^2, & \mbox{für } 0 \le x \le 1 \\ 1, & \mbox{für } x = 2 \end{cases}
[/mm]
Ist f in x=2 stetig? |
Hallo Leute.
Die Aufgabe scheint recht simpel, verwirrt mich aber, weil ich auf verschiedene Def. von Stetigkeit stoße.
Epsilon-Delta lassen wir bitte mal außen vor.
Bei Otto Forster (analysis 1) heißt es schlicht:
"Sei f: D [mm] \to \IR [/mm] eine Funktion und a [mm] \in [/mm] D.
Die Funktion f heißt stetig im Punkt a, falls
[mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] f(x) = f(a)
f heißt stetig in D , falls f in jedem Punkt von D stetig ist."
Meine Frage: Sei nun eine beliebige Folge mit Werten in D (definiert wie oben), die gegen x=2 konvergiert, zum Beispiel ganz einfach [mm] x_{n}=2 [/mm] für alle n.
So wäre f in x=2 doch stetig, oder?
Andere Definitionen von Stetigkeit führen den Begriff "isoliert", bzw. "nichtisoliert" und "erreichbar" ein und erklären Stetigkeit nur für nichtisolierte Stellen in D. (x=2 wäre im obigen Beispiel eine isolierte Stelle)
Anhand solcher Definitionen wäre die Schwierigkeit an der Stelle x=2 umgangen.
Wer kann mir sagen, inwieweit ich bei der Forsterschen Definition offenbar einen Denkfehler begehe?
|
|
| |
|
Hallo AndyH,
wenn deine Antwort lautet, "f ist stetig", dann ist das richtig. (Du hast es nur nirgends geschrieben.)
Hier kannst du am besten die epsilon-delta-Definition verwenden. In isolierten Punkten des Definitionsbereichs D ist jede Funktion stetig, da man in einem solchen Spezialfall fuer jedes beliebige epsilon als delta den halben Abstand zum naechsten Punkt in D verwenden kann.
Hugo
|
|
|
|
