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Forum "Folgen und Reihen" - Definition der Konvergenz
Definition der Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Definition der Konvergenz: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:23 Mo 07.02.2005
Autor: Julinchen

Hallo,

ich studiere Wirtschaftsinformatik und wir behandeln gerade das Thema Folgen und Reihen. Leider ist mir der Begriff der Konvergenz ein Rätsel. Daher meine Frage: " Kann mir vielleicht jemand erklären was die Konvergenz genau aussagt und wie ich beweisen kann, dass z.B. 2 Folgen konvergent sind."

Da dies mein erster Artikel in diesem Forum ist hoffe ich dass ich die Frage korrekt und verständlich formuliert habe, sonst sagt mir bitte Bescheid.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Definition der Konvergenz: Antwort bzw. Erklärungsversuch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:59 Mo 07.02.2005
Autor: Zwerglein

Hi, Julinchen,

also: vereinfacht gesagt, untersucht man bei der "Konvergenz" das, was eine Folge macht, wenn man immer größere Werte für n einsetzt, also n gegen Unendlich gehen lässt.
Wenn eine Folge "konvergent" ist, dann hat sie für n [mm] \to \infty [/mm] einen Grenzwert (endliche Zahl!).
Bei einer Funktion würdest Du sagen: Der Graph dieser Funktion hat eine waagrechte Asymptode.
(Beispiel : Die Normalhyperbel mit der Gleichung y= [mm] \bruch{1}{x}. [/mm]
Die nähert sich für [mm] x\to \infty [/mm] der Geraden mit der Gleichung y=0, also der x-Achse)

Zwischenfrage: Hilft Dir das, oder erklär' ich auf zu niedrigem Niveau?

Antwort erwartend
aber viele Grüße sendend:

Zwerglein

Bezug
        
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Definition der Konvergenz: MatheBank
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:02 Mo 07.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Julinchen,

erst einmal [willkommenmr] !!



Sieh' doch auch mal in unsere MatheBank ...

[guckstduhier]  MBKonvergenz


Gruß
Loddar


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Bezug
Definition der Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:23 Di 08.02.2005
Autor: Julinchen

@ Zwerglein: Nein du erklärst das wirklich gut, das hilft mir viel besser, als eine rein mathematische Definition. Vielleicht kannst du mir das ja sonst auch nochmal an einem kleinen Beispiel näher bringen, wenn du Zeit hast.

@ Loddar: Danke für den Tipp, das ist wirklich toll hier mit den vielen Funktionen.

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Definition der Konvergenz: Eigenes Beispiel?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:00 Di 08.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Julinchen,

hast Du vielleicht ein eigenes Beispiel, an dem wir Dir das erklären können.

Dann hast du gleich eine eigene Aufgabe gelöst und wir wissen, mit welchen Funktionen oder Folgen Ihr gerade arbeitet.


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Definition der Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:43 Di 08.02.2005
Autor: Julinchen

Hallo,

also wir haben 4 verschiedene Wege gehabt in der Vorlesung, die ich eigentlich alle gerne wiederholen würde. Das ist jetzt vielleicht etwas viel verlangt, aber ich stell die 4 Aufgabentypen mal hier rein und dann können wir das ja vielleicht gemeinsam an ein oder zwei Beispielen machen.

Verwenden Sie das Majorantenkriterium um die Konvergenz/Divergenz von folgender Reihe zu zeigen: [mm] \sum_ [/mm][mm]\bruch{1}{k+k^2+k^3}[/mm]

Verwenden Sie das Wurzelkriterium um die Konvergenz/Divergenz von folgender Reihe zu zeigen: [mm]\sum_[/mm][mm]\left( 1+\bruch{1}{k} \right)^{-k*k} [/mm]

Verwenden Sie das Quotientenkriterium um die Konvergenz/Divergenz von folgender Reihe zu zeigen:[mm]\sum_[/mm][mm]\left( \bruch{2^k}{k!} \right)[/mm]  

Verwenden Sie das Leibniz Kriterium um die Konvergenz/Divergenz von folgender Reihe zu zeigen:[mm]\sum_[/mm][mm](-1)^{k+1}*x^{2k}[/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Definition der Konvergenz: Quotientenkriterium
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:36 Di 08.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Julinchen,

da sieht das Thema ja gleich ganz anders aus.
Du bist ja beim Thema Reihen.

Auch hier gibt es einen Eintrag in der MatheBank
(leider noch etwas lückenhaft):

[guckstduhier] MBKonvergenzkriterium


Machen wir mal das Beispiel mit dem Quotientenkriterium:

> Verwenden Sie das Quotientenkriterium um die
> Konvergenz/Divergenz von folgender Reihe zu
> zeigen:[mm]\sum_[/mm][mm]\left( \bruch{2^k}{k!} \right)[/mm]  

Damit die Reihe [mm] $\summe_{k=1}^{\infty} a_k$ [/mm] konvergiert, muß für die Folge [mm] $a_k$ [/mm] gelten:
[mm] $\left| \ \bruch{a_{k+1}}{a_k} \ \right| [/mm] \ [mm] \red{<} [/mm] \ 1$


Für [mm] $\left| \ \bruch{a_{k+1}}{a_k} \ \right| [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ 1$ divergiert die Reihe.


Für [mm] $\left| \ \bruch{a_{k+1}}{a_k} \ \right| [/mm] \ [mm] \red{=} [/mm] \ 1$ kann mit dem Quotientenkriterium keine Aussage getroffen werden.
Dann muß man die Konvergenz/Divergenz mit einem anderen Kriterium zeigen.




Also wir haben ja: [mm] $a_k [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2^k}{k!}$ [/mm]

Dann berechnen wir:
[mm] $\left| \ \bruch{a_{k+1}}{a_k} \ \right|$ [/mm]
$= \ [mm] \left| \ \bruch{\bruch{2^{k+1}}{(k+1)!}}{\bruch{2^k}{k!}} \ \right|$ [/mm]
$= \ [mm] \left| \ \bruch{2^{k+1} * k!}{2^k * (k+1)!} \ \right|$ [/mm]
$= \ [mm] \left| \ \bruch{2^1 * 2^k * k!}{2^k * k! * (k+1)} \ \right|$ [/mm]
$= \ [mm] \left| \ \bruch{2}{k+1} \ \right|$ [/mm]

Für $k [mm] \ge [/mm] 2$ können wir nun sagen: [mm] $\bruch{2}{k+1} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{2}{3} [/mm] \ < \ 1$

Unsere Reihe ist also konvergent.


Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Definition der Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:41 Di 08.02.2005
Autor: Julinchen

Hallo Loddar,

das ist ja super, ich glaube ich beginne so langsam zu verstehen, was bei diesen Aufgaben passiert. Vielen Dank schonmal soweit.
Ich habe nun versucht noch eine andere Aufgabe selbst zu lösen und komme jetzt kurz vor Schluss nicht weiter, vielleicht bekommst du meinen Fehler ja raus?

Wir haben folgende Reihe:
[mm]\sum_[/mm][mm]\left( \bruch{(-1)^k*k^{\bruch{1}{2}}}{k!} \right)[/mm]

[mm]a_k[/mm] = [mm]\left( \bruch{(-1)^k*k^{\bruch{1}{2}}}{k!} \right)[/mm]

Daraus ergibt sich:
[mm] \left| \ \bruch{\bruch{(-1)^{k+1}*(k+1)^{\bruch{1}{2}}}{(k+1)!}}{\bruch{(-1)^k*k^{\bruch{1}{2}}}{k!}} \ \right| [/mm]

=  [mm] \left| \ \bruch{(-1)^{k+1}*(k+1)^{\bruch{1}{2}}*k!}{(-1)^k *k^{\bruch{1}{2}}*(k+1)!} \ \right| [/mm]

so meine weiteren Überlegungen enden da, dass sich ja 2 Wurzeln ergeben, aber sich dann nichts weiter kürzen lässt?? Habe ich den falschen Ansatz gewählt?

Bezug
                                                        
Bezug
Definition der Konvergenz: Weitere Umformungen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:59 Di 08.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Julinchen,

folgende Umformungen kannst Du noch vornehmen:

[mm] $(-1)^{k+1} [/mm] \ = \ [mm] (-1)^k [/mm] * [mm] (-1)^1$ [/mm]

$(k+1)! \ = k! * (k+1)$


Zudem gilt ja:
[mm] $\bruch{a^{\bruch{1}{2}}}{a} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a^{\bruch{1}{2}}}{a^1} [/mm] \ = \ [mm] a^{\bruch{1}{2}} [/mm] * [mm] a^{-1} [/mm] \ = \ [mm] a^{\bruch{1}{2}-1} [/mm] \ = \ [mm] a^{- \bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{a^{\bruch{1}{2}}}$ [/mm]

Sowie:
[mm] $a^m [/mm] * [mm] b^m [/mm] \ = \ [mm] (a*b)^m$ [/mm]


Also nun noch kürzen und zusammenfassen...

Kommst Du nun weiter mit diesen Hinweisen?
Wie lautet dann Dein Ergebnis?


Loddar


Bezug
                                                                
Bezug
Definition der Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:17 Di 08.02.2005
Autor: Julinchen

Hallo Loddar,

diese Umformung kannte ich nicht.

> Zudem gilt ja:
>  [mm]\bruch{a^{\bruch{1}{2}}}{a} \ = \ \bruch{a^{\bruch{1}{2}}}{a^1} \ = \ a^{\bruch{1}{2}} * a^{-1} \ = \ a^{\bruch{1}{2}-1} \ = \ a^{- \bruch{1}{2}} \ = \ \bruch{1}{a^{\bruch{1}{2}}}[/mm]

Daraus folgt für mich dann:
[mm]\bruch{(-1)^k*(-1)^1*(k+1)^{\bruch{1}{2}}*k!}{(-1)^k*k^{\bruch{1}{2}}*k!*(k+1)}[/mm]

Nach kürzen und Anwendung der Regel von dir folgt:
[mm]\bruch{(-1)^1*(k+1)^{-\bruch{1}{2}}}{k^{\bruch{1}{2}}}[/mm]

Und dann:
[mm]\bruch{(k-1)^{-\bruch{1}{2}}}{k^{\bruch{1}{2}}}[/mm]

Bezug
                                                                        
Bezug
Definition der Konvergenz: weitere Schritte ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:43 Di 08.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Julia!


> diese Umformung kannte ich nicht.
> Zudem gilt ja:

>[mm]\bruch{a^{\bruch{1}{2}}}{a} \ = \ \bruch{a^{\bruch{1}{2}}}{a^1} \ = \ a^{\bruch{1}{2}} * a^{-1} \ = \ a^{\bruch{1}{2}-1} \ = \ a^{- \bruch{1}{2}} \ = \ \bruch{1}{a^{\bruch{1}{2}}}[/mm]

Dabei handelt es aber "lediglich" um die Anwendung von MBPotenzgesetzen ... ;-)



> Daraus folgt für mich dann:
> [mm]\bruch{(-1)^k*(-1)^1*(k+1)^{\bruch{1}{2}}*k!}{(-1)^k*k^{\bruch{1}{2}}*k!*(k+1)}[/mm]

[daumenhoch]


> Nach kürzen und Anwendung der Regel von dir folgt:
> [mm]\bruch{(-1)^1*(k+1)^{-\bruch{1}{2}}}{k^{\bruch{1}{2}}}[/mm]

[daumenhoch]


Und weiter ??
(Betragsstriche nicht vergessen, dann kann der Term [mm] $(-1)^1$ [/mm] nämlich auch irgendwann verschwinden):

[mm]\left| \ \bruch{(-1)^1}{k^{\bruch{1}{2}} * (k+1)^{\bruch{1}{2}}} \ \right|[/mm]
[mm]= \ \left| \ (-1)^1 \right| \ * \ \left| \bruch{1}{k^{\bruch{1}{2}} * (k+1)^{\bruch{1}{2}}} \ \right|[/mm]
[mm]= \ 1 \ * \ \left| \bruch{1}{[k * (k+1)]^{\bruch{1}{2}}} \ \right|[/mm]
[mm]= \ \left| \bruch{1}{\wurzel{k * (k+1)}} \ \right|[/mm]

Was kann man nun über diesen Ausdruck sagen?
Ist er "$< 1$" oder "$> 1$" oder "$= 1$" ?


Loddar


Bezug
                                                                                
Bezug
Definition der Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:36 Di 08.02.2005
Autor: Julinchen

Hallo,

die Reihe ist konvergent, da ab k=2 gilt: [mm] \left| \bruch{1}{\wurzel{k \cdot{} (k+1)}} \ \right| [/mm] < [mm]\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm]

Ich hoffe ich bekomme jetzt diesen [daumenhoch] Smiley, denn dann habe ich dieses Kriterium zumindest schonmal verstanden!!

LG
Julia

Bezug
                                                                                        
Bezug
Definition der Konvergenz: Hhmmm ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:54 Di 08.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Julia!


> die Reihe ist konvergent, da ab k=2 gilt:
> [mm]\left| \bruch{1}{\wurzel{k \cdot{} (k+1)}} \ \right| < \wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm]


> Ich hoffe ich bekomme jetzt diesen Smiley,
> denn dann habe ich dieses Kriterium zumindest schonmal
> verstanden!!

Hhhmm - na gut : [daumenhoch] [daumenhoch] !!

Aber ruhig auch hinschreiben (der Vollständigkeit halber):
[mm]\left| \bruch{1}{\wurzel{k \cdot{} (k+1)}} \ \right| \ < \ \wurzel{\bruch{1}{2}} \ \red{< \ 1}[/mm]


Loddar


Bezug
                                        
Bezug
Definition der Konvergenz: Leibniz-Kriterium: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:21 Di 08.02.2005
Autor: Loddar


> Verwenden Sie das Leibniz Kriterium um die
> Konvergenz/Divergenz von folgender Reihe zu
> zeigen:[mm]\sum_[/mm][mm](-1)^{k+1}*x^{2k}[/mm]

Für das Leibniz-Kriterium sind zwei Punkte einzuhalten (notwendige Kriterien):

[1] Es muss eine alternierende Folge vorliegen (d.h. die Vorzeichen der einzelnen Folgenglieder wechseln sich immer ab).

Das Kriterium ist bei unserer Aufgabe erfüllt, wegen [mm] "$(-1)^{k+1}$". [/mm]


[2] Die vorliegende Folge [mm] $a_k$ [/mm] muss eine Nullfolge sein (d.h. der Grenzwert der Folge muss 0 sein: [mm] $\limes_{k\rightarrow\infty} a_k [/mm] \ = \ 0$ ).

[3] Die vorliegende Folge [mm] $\blue{a_k}$ [/mm] muss monoton fallend sein: [mm] $\blue{a_{k+1} \ \le \ a_k}$ [/mm] .


Dies' ist für unsere Aufgabe noch zu überprüfen.

Wann bzw. für welche $x$ gilt also: [mm] $\limes_{k\rightarrow\infty} a_k [/mm] \ = \ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \left( x^{2k} \right) [/mm]  \ = \ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \left( x^{2} \right)^k [/mm] \ = \ 0$ ??


Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Definition der Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:50 Di 08.02.2005
Autor: Julinchen

Hallo,

Das ist doch z.B. für x=0 der Fall oder?

LG
Julia

Bezug
                                                        
Bezug
Definition der Konvergenz: Naja ;-) Es gibt noch mehr ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:07 Di 08.02.2005
Autor: Loddar


> Das ist doch z.B. für x=0 der Fall oder?

Da hast Du recht, aber das ist doch etwas trivial, oder?
Da ergibt sich ja: [mm] $\summe_{k=1}^{\infty} \left[ (-1)^{k+1} * 0^{2k} \right] [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] 0 \ = \ 0$


Es gibt aber noch mehr Werte für $x$, für die [mm] $a_k$ [/mm] eine Nullfolge wird.

Denk' mal Richtung geometrische Folge ...


Loddar


Bezug
                                                                
Bezug
Definition der Konvergenz: geometrische Reihe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:35 Di 08.02.2005
Autor: Julinchen

Hallo Loddar,

die Definition der geometrischen Reihe sagt ja aus, dass 2 aufeinanderfolgende Glieder dasselbe Verhältnis haben.
Eine Nullfolge ist genau dann eine Nullfolge, wenn der Grenzwert der Folge gegen 0 konvergiert.

In unserem Beispiel konvergiert die Folge dann für alle x >1 gegen 0, oder?

So habe ich die geometrische Reihe verstanden, nur leider wäre es so sicherlich kein Beweis.

LG und vielen Dank für deine Geduld mit mir
Julia

Bezug
                                                                        
Bezug
Definition der Konvergenz: Genau andersrum ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:58 Di 08.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Julia!

> Die Definition der geometrischen Folge sagt ja aus, dass 2
> aufeinanderfolgende Glieder dasselbe Verhältnis haben.

[daumenhoch]

Eine Reihe ist die Aufsummierung der einzelnen Folgenglieder!



> In unserem Beispiel konvergiert die Folge dann für alle x
> >1 gegen 0, oder?

[notok]
Genau andersrum!


Nimm doch mal das (Gegen-)Beispiel:
[mm] $a_k [/mm] = [mm] 2^k$ [/mm]
Die ersten Folgenglieder lauten doch: [mm] $a_k [/mm] \ : \ 2; \ 4; \ 8; \ 16; \ ...$
Das ist nun ganz gewiss keine Nullfolge, oder?

Nullfolgen erhalten wir für alle $ [mm] \left| x \right| [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 1$.
Also auch z.B. für $x \ = \ - [mm] \bruch{1}{3}$. [/mm]


Alle Klarheiten beseitigt nun?


Loddar


Bezug
                                                                                
Bezug
Definition der Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:19 Di 08.02.2005
Autor: Julinchen

Puh,

ich hab das Zeichen vertüddelt, ich meinte eigentlich auch x<1!! Aber trotzdem super, dass du das nochmal durchgegangen bist, vielen Dank.

Nun sind die beiden Bedingungen also erfüllt. Das heißt meine Reihe ist konvergent, richtig??

LG
Julia

Bezug
                                                                                        
Bezug
Definition der Konvergenz: Fallunterscheidung!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:32 Di 08.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Julia!


> Nun sind die beiden Bedingungen also erfüllt. Das heißt
> meine Reihe ist konvergent, richtig??

Da in unserer Aufgabe lediglich ein "$x$" angegeben ist, mußt Du eine Fallunterscheidung machen für:

[1] [mm] $\left| x \right| [/mm] < 1$

und

[2] [mm] $\left| x \right| \ge [/mm] 1$


Klar?

Loddar



Bezug
                                                                                                
Bezug
Definition der Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Di 08.02.2005
Autor: Julinchen

Hallo Loddar,

zusammenfassend lässt sich also sagen, dass unsere Reihe für:
[1]  [mm] \left| x \right| [/mm] < 1 konvergiert

und für :
[2]  [mm] \left| x \right| \ge [/mm] 1 divergiert, da wir für alle x<1 keine Nullfolge erhalten und somit eines der Leibniz Kriterien nicht erfüllt ist.

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Definition der Konvergenz: Stimmt (fast) ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:02 Di 08.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Julia (mal wieder) ;-) ...


> Zusammenfassend lässt sich also sagen, dass unsere Reihe für:
> [1]  [mm]\left| x \right| < 1[/mm] konvergiert
> und für :
> [2]  [mm]\left| x \right| \ge 1[/mm] divergiert, da wir für alle $x \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ 1$
> keine Nullfolge erhalten und somit eines der Leibniz-Kriterien
> nicht erfüllt ist.

Mit der (kleinen) Korrektur in Rot : [daumenhoch]
Also: Bitte aufpassen beim Aufschreiben ...


Loddar


Bezug
                                        
Bezug
Definition der Konvergenz: Wurzelkriterium : allgemein
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:27 Di 08.02.2005
Autor: Loddar

Für das Wurzelkriterium mußt Du untersuchen:

[mm] $\wurzel[k]{\left| \ a_k \ \right| }$ [/mm]

Auch hier wieder:
- "$< 1$"   [mm] $\Rightarrow$ [/mm] konvergent
- "$> 1$"   [mm] $\Rightarrow$ [/mm] divergent
- "$= 1$"   [mm] $\Rightarrow$ [/mm] keine Aussage möglich



> Verwenden Sie das Wurzelkriterium um die
> Konvergenz/Divergenz von folgender Reihe zu zeigen:
> [mm]\sum_[/mm][mm]\left( 1+\bruch{1}{k} \right)^{-k*k}[/mm]

Für unsere Aufgabe mußt Du untersuchen:

[mm] $\wurzel[k]{\left| \ \left( 1+\bruch{1}{k} \right)^{-k*k} \ \right| }$ [/mm]
$= \ [mm] \left| \ \left( 1+\bruch{1}{k} \right)^{-k} \ \right|$ [/mm]
$= \ [mm] \bruch{1}{\left| \ \left( 1+\bruch{1}{k} \right)^{k} \ \right|}$ [/mm]
usw.


Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Definition der Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:10 Di 08.02.2005
Autor: Julinchen

Hallo Loddar,

daraus lässt sich ja dann wiederum schließen, dass die Reihe konvergent ist. Wow das Thema ist ja gar nicht soooooooooooooo schwer wie ich dachte.
Auch hier nochmal vielen Dank für deine Mühe, du hast mir sehr weiter geholfen.

LG
julia

Bezug
                                                        
Bezug
Definition der Konvergenz: Stimmt !!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:14 Di 08.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Julia!

> daraus lässt sich ja dann wiederum schließen, dass die
> Reihe konvergent ist.

[daumenhoch]


> Wow das Thema ist ja gar nicht soooooooooooooo schwer
> wie ich dachte.

Man muß halt lediglich wissen, mit welchem Kriterium man arbeiten muß.


Grüße
Loddar


Bezug
                                                                
Bezug
Definition der Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:00 Di 08.02.2005
Autor: Julinchen

Hallo,

stimmt, nur da hoffe ich, dass das in der Klausur vorgegeben wird, denn an der Reihe an sich werde ich es wohl nicht erkennen können, welches Kriterium ich nutzen sollte.

LG
Julia

Bezug
                                                                        
Bezug
Definition der Konvergenz: Wahl des Kriteriums
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:08 Di 08.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Julia!


Sieh' Dir mal Deine einzelnen Aufgaben an. Dann wirst Du vielleicht erkennen, für welchen Typ der Folgen [mm] $a_k$ [/mm] Du welches Kriterium anwenden mußt.

Alternierende Folgen schreien ja fast nach dem Leibniz-Kriterium.


Wenn Du Folgen hast, die nur aus Produkten und/oder Divisionen (Brüche in faktorisierter Form) bestehen, ist das ein Hinweis auf das Quotientenkriterium.


Bei Folgen mit der Zählervariable ($k$ oder $n$) im Exponenten bietet sich natürlich das Wurzelkriterium an.


All' diese sind natürlich keine Verpflichtungen, aber man erhält dadurch schon einen Hinweis auf das anzuwendende Kriterium.
Zudem gibt es auch Folgen, bei dem man mit mehreren Kriterien zum Ziel kommt.


Grüße
Loddar


Bezug
                                        
Bezug
Definition der Konvergenz: Majorantenkriterium
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:42 Di 08.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Julia!


Für das Majorantenkriterium mußt Du gegen Folge(n) [mm] $b_k$ [/mm] abschätzen, bei denen bekannt ist, ob die entsprechende Reihe [mm] $\summe_{k=1}^{\infty} b_k$ [/mm] konvergent ist.

In unserem Falle bietet sich da vielleicht [mm] $b_k [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{k^2}$ [/mm] an.


Loddar


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Definition der Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:12 Do 10.02.2005
Autor: Julinchen

Hallo nochmal,

ich habe jetzt mal ein bisschen probiert, aber komme zu keiner gescheiten Lösung. Wenn man sagt abschätzen gegen eine Reihe von der man weiss, dass sie konvergiert sieht man ja so, dass in unserem Fall die Reihe konvergent ist. Somit strebt der Grenzwert gegen 0?
Aber wie soll man das nun genau beweisen, denn groß was rechnen kann man da ja nicht, oder mache ich dort jetzt einen Denkfehler??

LG
Julia

PS: So langsam finde ich das Thema spannend.

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Definition der Konvergenz: Erläuterungen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:59 Do 10.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Julia!

Nochmal langsam:

Mit dem []Majoranten-Kriterium kann man lediglich zeigen, daß eine Reihe konvergiert, da man ja gegen eine größere bekannte und konvergente Reihe abschätzt.

Analog kann man mit Minoranten-Kriterium "nur" die Divergenz zeigen. Hier schätzt man gegen einen kleinere bekannte und divergente Reihe ab.


[aufgemerkt] Einen konkreten Grenzwert kann man mit diesen beiden Konvergenz-Kriterien nicht ermitteln.





> Somit strebt der Grenzwert gegen 0?

Das muß ja so sein.
Wenn die Folge [mm] $a_n$ [/mm] unserer Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} a_n$ [/mm] keine Nullfolge bildet, kann die Reihe auch nicht konvergieren.

Für die Konvergenz einer (unendlichen) Reihe ist es unbedingt erforderlich, daß [mm] $a_n$ [/mm] eine Nullfolge ist (notwendiges Kriterium).

Umkehrschluß:
Ist [mm] $a_n$ [/mm] keine Nullfolge, divergiert die Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} a_n$ [/mm] !!



> Aber wie soll man das nun genau beweisen, denn groß was
> rechnen kann man da ja nicht, oder mache ich dort jetzt
> einen Denkfehler??

[daumenhoch]

Wie oben geschrieben, ist bei diesem Verfahren nicht viel Rechnerei dabei, weil man als Ergebnis "nur" konvergent oder divergent erhält.


Siehst Du nun klarer?

[]Hier sind noch mal die einzelnen Konvergenz-Kriterien von Reihen zusammengefaßt.



> PS: So langsam finde ich das Thema spannend.

[daumenhoch] ;-)


Gruß
Loddar


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Definition der Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:23 Do 10.02.2005
Autor: Julinchen

Hallo Loddar,

viele Dank, fürs Erklären und deine Geduld mit mir. Bin leider nicht unbedingt ein Mathe Genie, aber jetzt hab ich diesen Teil der Klausur schonmal verstanden.
[idee] Fehlen mir nur noch so Sachen wie Cauchyfolgen, Folgen allgemein und vor allem Integrale etc...

Naja schaun wir mal.

Lieben Gruss
Julia

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