Definition lineare Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Di 21.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
| Aufgabe | Sei [mm] \IK [/mm] ein Körper, und sei V = [mm] <1,T^2,T^4,T^6> \subseteq \IK[T]. [/mm] (also der Vektorraum der Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] n über [mm] \IK)
[/mm]
Definieren Sie eine lineare Abbildung f : V [mm] \to [/mm] V mit Kern(f) = Bild(f). |
Hallo,
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
normalerweise würde ich mit der Standardbasis beginnen, also [mm] e_{0},...,e_{6} [/mm] der Polynome, aber hier sind ja nur die mit geradem Exponenten gemeint, kann ich somit die Standardbasis [mm] e_{0},e_{2},e_{4},e_{6} [/mm] nehmen?
Wie sehen Kern(f) und Bild(f) aus?
Hat jemand einen Tipp, wie ich hier anfangen muss?
Vielen Dank,
Gruß, Stefan.
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> Sei [mm]\IK[/mm] ein Körper, und sei V = [mm]<1,T^2,T^4,T^6> \subseteq \IK[T].[/mm]
> (also der Vektorraum der
geraden
>Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] n 6 über [mm]\IK)[/mm]
> Definieren Sie eine lineare Abbildung f : V [mm]\to[/mm] V mit
> Kern(f) = Bild(f).
> normalerweise würde ich mit der Standardbasis beginnen,
> also [mm]e_{0},...,e_{6}[/mm] der Polynome, aber hier sind ja nur
> die mit geradem Exponenten gemeint, kann ich somit die
> Standardbasis [mm]e_{0},e_{2},e_{4},e_{6}[/mm] nehmen?
Hallo,
ja, [mm] (1,T^2,T^4,T^6) [/mm] ist eine basis von V, und da lineare Abbildungen durch die Angabe ihrer Werte auf einer Basis definiert sind, bietet es sich an, f zu definieren, indem man sagt, welches die Werte von f auf dieser Basis sein sollen.
> Wie sehen Kern(f) und Bild(f) aus?
> Hat jemand einen Tipp, wie ich hier anfangen muss?
Ich hoffe, daß Du weißt, wie Kern und Bild definiert sind.
Kernf=Bildf bedeutet ja, daß die Basisvektoren, die durch f auf die Null abgebildet werden, wiederum Funktionswerte anderer Basisvekoren sind.
Vielleicht weißt Du auch, das dim V= dim kernf + dim Bild f, daraus erfährst Du dann, welche Dimension Kern und Bild haben müssen.
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank,
> Gruß, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Di 21.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> > Sei [mm]\IK[/mm] ein Körper, und sei V = [mm]<1,T^2,T^4,T^6> \subseteq \IK[T].[/mm]
> > (also der Vektorraum der
>
> geraden
>
> >Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] n 6 über [mm]\IK)[/mm]
ja, stimmt, Schreibfehler...
> Ich hoffe, daß Du weißt, wie Kern und Bild definiert sind.
ja, ich denke so:
Bild(f) := {w [mm] \in [/mm] W | es gibt ein v [mm] \in [/mm] V mit f(v) = w}
Kern(f) := {v [mm] \in [/mm] V | f(v) = 0}
richtig?
> Kernf=Bildf bedeutet ja, daß die Basisvektoren, die durch f
> auf die Null abgebildet werden, wiederum Funktionswerte
> anderer Basisvekoren sind.
heißt das: [mm] f(1+a_{2}T^2+a_{4}T^4+a_{6}T^6) [/mm] = [mm] a_{0}f(1) [/mm] + [mm] a_{2}f(T^2) [/mm] + [mm] a_{4}f(T^4) [/mm] + [mm] a_{6}f(T^6) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Geht das in die richtige Richtung?
> Vielleicht weißt Du auch, das dim V= dim kernf + dim Bild
> f, daraus erfährst Du dann, welche Dimension Kern und Bild
> haben müssen.
ja, das ist ja der Rangsatz, wenn ich nicht falsch liege, oder besser gesagt, diese Aussage lässt sich
aus dem Rangsatz ableiten. dim(V)=4, da der Vektorraum von 4 Basiselementen erzeugt wird,
daher muss dim(Kern(f))=dim(Bild(f))=2 sein, oder?
Vielen Dank für alles, Gruß, Stefan.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > Ich hoffe, daß Du weißt, wie Kern und Bild definiert sind.
> ja, ich denke so:
> Bild(f) := {w [mm]\in[/mm] W | es gibt ein v [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V mit f(v) = w}
> Kern(f) := {v [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V | f(v) = 0}
> richtig?
Hallo,
ja, das stimmt.
>
> > Kernf=Bildf bedeutet ja, daß die Basisvektoren, die durch f
> > auf die Null abgebildet werden, wiederum Funktionswerte
> > anderer Basisvekoren sind.
> heißt das: [mm]f(1+a_{2}T^2+a_{4}T^4+a_{6}T^6)[/mm] = [mm]a_{0}f(1)[/mm] +
> [mm]a_{2}f(T^2)[/mm] + [mm]a_{4}f(T^4)[/mm] + [mm]a_{6}f(T^6)[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Geht das in die richtige Richtung?
Ich glaube: nein
>
> > Vielleicht weißt Du auch, das dim V= dim kernf + dim Bild
> > f, daraus erfährst Du dann, welche Dimension Kern und Bild
> > haben müssen.
> ja, das ist ja der Rangsatz, wenn ich nicht falsch liege,
> oder besser gesagt, diese Aussage lässt sich
> aus dem Rangsatz ableiten. dim(V)=4, da der Vektorraum von
> 4 Basiselementen erzeugt wird,
> daher muss dim(Kern(f))=dim(Bild(f))=2 sein, oder?
Genau.
Wir dürfen die Abbildung ja nach unserem Gusto definieren.
Du hast herausgefunden: dim(Kern(f))=dim(Bild(f))=2.
So. Jetzt trefen wir beherzt eine Entscheidung.
Wir - ich gehe davon aus, daß Du einverstanden bist - entscheiden, daß der von [mm] T^2 [/mm] und [mm] T^6 [/mm] aufgespannte Unterraum der Kern bzw. das Bild sein soll.
Das bedeutet
1 [mm] \mapsto [/mm] ...
[mm] T^2 \mapsto [/mm] 0
[mm] T^4 \mapsto [/mm] ...
[mm] T^6 \mapsto [/mm] 0
Nun mußt Du Dir noch überlegen, warauf Du 1 und [mm] T^4 [/mm] abbilden kannst, damit das Bild aufgespannt wird von [mm] T^2 [/mm] und [mm] T^6.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:10 Mi 22.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Ich glaube: nein
oh, schade...
> Wir - ich gehe davon aus, daß Du einverstanden bist -
> entscheiden, daß der von [mm]T^2[/mm] und [mm]T^6[/mm] aufgespannte
> Unterraum der Kern bzw. das Bild sein soll.
ja, ich bin einverstanden ;)
>
> Das bedeutet
>
> 1 [mm]\mapsto[/mm] ...
> [mm]T^2 \mapsto[/mm] 0
> [mm]T^4 \mapsto[/mm] ...
> [mm]T^6 \mapsto[/mm] 0
>
> Nun mußt Du Dir noch überlegen, warauf Du 1 und [mm]T^4[/mm]
> abbilden kannst, damit das Bild aufgespannt wird von [mm]T^2[/mm]
> und [mm]T^6.[/mm]
hm, ok, das heißt, ich darf mir für die übrigen Elemente etwas aussuchen aus dem Vektrorraum der Polynome?
also z.B.:
f(1)=1 und
[mm] f(T^4)=T^2?
[/mm]
Bevor ich jetzt weitermache, wollte ich das noch verifizieren.
Danke und Gruß, Stefan.
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> > entscheiden, daß der von [mm]T^2[/mm] und [mm]T^6[/mm] aufgespannte
> > Unterraum der Kern bzw. das Bild sein soll.
> ja, ich bin einverstanden ;)
>
> >
> > Das bedeutet
> >
> > 1 [mm]\mapsto[/mm] ...
> > [mm]T^2 \mapsto[/mm] 0
> > [mm]T^4 \mapsto[/mm] ...
> > [mm]T^6 \mapsto[/mm] 0
> >
> > Nun mußt Du Dir noch überlegen, warauf Du 1 und [mm]T^4[/mm]
> > abbilden kannst, damit das Bild aufgespannt wird von [mm]T^2[/mm]
> > und [mm]T^6.[/mm]
> hm, ok, das heißt, ich darf mir für die übrigen Elemente
> etwas aussuchen aus dem Vektrorraum der Polynome?
Ja, Du darfst Dir was aussuchen.
Aber Du mußt das raffiniert machen, denn Du willst doch, daß das Bild = dem Kern ist.
Der Kern da oben ist [mm] .
[/mm]
> also z.B.:
> f(1)=1 und
> [mm]f(T^4)=T^2?[/mm]
>
> Bevor ich jetzt weitermache, wollte ich das noch
> verifizieren.
Dein Bild ist < 1, [mm] T^2>.
[/mm]
Nicht gerade das Gewünschte, oder?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:36 Mi 22.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Aber Du mußt das raffiniert machen, denn Du willst doch,
> daß das Bild = dem Kern ist.
>
> Der Kern da oben ist [mm].[/mm]
ok, klar, wenn ich Kern=Bild haben will, dann muss ich ja meine restlichen Elemente auf die Kernelemente abbilden.
also:
[mm] f(1)==
[/mm]
[mm] f(T^4)==
[/mm]
stimmt das so?
Gruß, Stefan.
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> Hallo,
>
> > Aber Du mußt das raffiniert machen, denn Du willst doch,
> > daß das Bild = dem Kern ist.
> >
> > Der Kern da oben ist [mm].[/mm]
> ok, klar, wenn ich
> Kern=Bild haben will, dann muss ich ja meine restlichen
> Elemente auf die Kernelemente abbilden.
> also:
> [mm]f(1)==[/mm]
> [mm]f(T^4)==[/mm]
> stimmt das so?
Ja klar, so ist das richtig.
Je nachdem, wie Ihr lineare Abbildung aufschreibt, gibst Du nun die 4 Werte auf der basis an, so, wie ich es gemacht habe.
Du kannst aber auch schreiben:
[mm] f(x*1+y*T^2+z*T^4+t*T^6):=x*T_2+z*T_6.
[/mm]
Da? das Bild [mm] = [/mm] ist, sieht man sofort. Überzeuge Dich, daß [mm] [/mm] der Kern ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:23 Mi 22.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
> Ja klar, so ist das richtig.
>
> Je nachdem, wie Ihr lineare Abbildung aufschreibt, gibst Du
> nun die 4 Werte auf der basis an, so, wie ich es gemacht
> habe.
ok, wir müssen beides machen, also erst mal die Zuordnungen aufschreiben, hier also:
[mm] f(1)=
[/mm]
[mm] f(T^2)=0
[/mm]
[mm] f(T^4)=
[/mm]
[mm] f(T^6)=0
[/mm]
dann noch die sogenannte geschlossene Formel angeben, ich denke, das was du unten angegeben hast, also:
[mm] f(a_{0} [/mm] + [mm] a_{2}T^2 [/mm] + [mm] a_{4}T^4 [/mm] + [mm] a_{6}T^6)=a_{0}f(1) [/mm] + [mm] a_{2}f(T^2) [/mm] + [mm] a_{4}f(T^4) [/mm] + [mm] a_{6}f(T^6)=a_{0}T^2 [/mm] + [mm] a_{4}T^6.
[/mm]
> Da? das Bild [mm]=[/mm] ist, sieht man sofort. Überzeuge
> Dich, daß [mm][/mm] der Kern ist.
ja, weil diese Elemente auf 0 abgebildet werden und demnach Menge des Kerns sind.
Ist das jetzt so richtig formuliert?
Danke schön.
Gruß, Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:29 Mi 22.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> > Ja klar, so ist das richtig.
> >
> > Je nachdem, wie Ihr lineare Abbildung aufschreibt, gibst Du
> > nun die 4 Werte auf der basis an, so, wie ich es gemacht
> > habe.
> ok, wir müssen beides machen, also erst mal die
> Zuordnungen aufschreiben, hier also:
> [mm]f(1)=[/mm]
> [mm]f(T^2)=0[/mm]
> [mm]f(T^4)=[/mm]
> [mm]f(T^6)=0[/mm]
Entferne bei [mm] T^2 [/mm] und [mm] T^6 [/mm] noch die spitzen Klammern
>
> dann noch die sogenannte geschlossene Formel angeben, ich
> denke, das was du unten angegeben hast, also:
> [mm]f(a_{0}[/mm] + [mm]a_{2}T^2[/mm] + [mm]a_{4}T^4[/mm] + [mm]a_{6}T^6)=a_{0}f(1)[/mm] +
> [mm]a_{2}f(T^2)[/mm] + [mm]a_{4}f(T^4)[/mm] + [mm]a_{6}f(T^6)=a_{0}T^2[/mm] +
> [mm]a_{4}T^6.[/mm]
O.K.
>
> > Da? das Bild [mm]=[/mm] ist, sieht man sofort. Überzeuge
> > Dich, daß [mm][/mm] der Kern ist.
> ja, weil diese Elemente auf 0 abgebildet werden und
> demnach Menge des Kerns sind.
Nicht "Menge" des Kerns, sondern "Elemente"
>
> Ist das jetzt so richtig formuliert?
Ja, falls Du meine Anregungen beherzigst.
FRED
>
> Danke schön.
>
> Gruß, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 Mi 22.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Ja, falls Du meine Anregungen beherzigst.
super, besten Dank! Das werde ich natürlich machen, das ist ja hier wirklich erste Sahne das Forum!
Gruß, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:42 Mi 22.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo, habe doch nochmal eine Frage:
> Entferne bei [mm]T^2[/mm] und [mm]T^6[/mm] noch die spitzen Klammern
die spitzen Klammern sollen ja den gesamten Verktorraum aufspannen (Erzeugendensystem)
und da das hier nur Teile davon sind, wären die spitzen Klammern hier falsch, sehe ich das richtig?
Danke nochmals,
Stefan.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:50 Mi 22.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, habe doch nochmal eine Frage:
>
> > Entferne bei [mm]T^2[/mm] und [mm]T^6[/mm] noch die spitzen Klammern
> die spitzen Klammern sollen ja den gesamten Verktorraum
> aufspannen (Erzeugendensystem)
> und da das hier nur Teile davon sind, wären die spitzen
> Klammern hier falsch, sehe ich das richtig?
Spitze Klammern wären kompletter Unsinn. Deine abbildung ordnet z.B. dem konstanten Polynom 1 das Polynom [mm] T^2 [/mm] zu, daher f(1) = [mm] T^2
[/mm]
[mm] [/mm] ist die lineare Hülle von [mm] T^2, [/mm] also = { [mm] \alpha T^2: \alpha \in [/mm] K }
FRED
>
> Danke nochmals,
> Stefan.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Mi 22.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
| Aufgabe 1 | Sei $ [mm] \IK [/mm] $ ein Körper, und sei V = $ [mm] <1,T^2,T^4,T^6> \subseteq \IK[T]. [/mm] $ (also der Vektorraum der Polynome vom Grad $ [mm] \le [/mm] $ 6 über $ [mm] \IK) [/mm] $
Definieren Sie eine lineare Abbildung f : V $ [mm] \to [/mm] $ V mit Kern(f) = Bild(f). |
| Aufgabe 2 | | Wählen Sie eine Basis B von V , und bestimmen Sie [mm] _BM_{B}(f), [/mm] also die Matrixdarstellung von f bzgl. der Basis B. |
Die Standardbasis bzgl. V sei: [mm] 1,T^2,T^4,T^6, [/mm] ja? Um die Matrixdarstellung zu erhalten, muss ich ja dieAbbildung $ [mm] f(a_{0} [/mm] $ + $ [mm] a_{2}T^2 [/mm] $ + $ [mm] a_{4}T^4 [/mm] $ + $ [mm] a_{6}T^6)=a_{0}T^2 [/mm] $ + $ [mm] a_{4}T^6 [/mm] $ mit einbeziehen, aber wie?
Danke schön wiedermal für die Hilfe.
Gruß, Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Mi 22.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Wegen f(1) = [mm] T^2 [/mm] = [mm] 0*1+1*T^2+0*T^4+0*T^6 [/mm] lautet die erste Spalte der gesuchten Matrix:
0
1
0
0
Die 3 restlichen Spalten bekommst Du selbst hin ?
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Mi 22.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
> Wegen f(1) = [mm]T^2[/mm] = [mm]0*1+1*T^2+0*T^4+0*T^6[/mm] lautet die erste
> Spalte der gesuchten Matrix:
>
>
> 0
> 1
> 0
> 0
> Die 3 restlichen Spalten bekommst Du selbst hin ?
wegen:
[mm] f(T^2)=0, f(T^4)=T^6=0*1+0*T^2+0*T^4+1*T^6, f(T^6)=0
[/mm]
also:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0}
[/mm]
??
Gruß, Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Mi 22.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Bingo ! Du hast es !
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:37 Mi 22.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
> Bingo ! Du hast es !
super, danke, jetzt muss ich es nur noch lernen, es in der Klausur selbst herauszufinden...
Gruß, Stefan.
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