Definitions-/ Wertebreich < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Di 06.06.2006 | | Autor: | annaL |
Hallo!
Nun nochmal zu meiner Aufgabe:
[mm] \bruch{1}{ \wurzel{ \vmat{x}-x}}
[/mm]
Ich soll den größtmöglichen Definitions - und den zugehörigen Wertebreich bestimmen.
Folgendermaßen bin ich vorgegangen:
die erste Bedingung ist ja dass
[mm] \wurzel{ \vmat{x}-x} \ge [/mm] o ist. Der Nenner darf ja neimals null sein.
Nach Umformung erhalte ich dann:
[mm] \vmat{x} \ge [/mm] x.
So da haben wir in der FH folgende Fälle unterschieden:
1. x<0 ist für alle x e R gültig
2. x=0 ist ebenfalls für alle x e R gültig
3. x>0 ergibt x [mm] \le [/mm] -x oder x [mm] \gex
[/mm]
Soweit ist alles klar. Demnach habe ich als Definitionsbereich [mm] R^{-} [/mm] und als Wertebreich [mm] R^{+} [/mm] rausbekommen.
Stimmt das so?
Danke!!!
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Hallo Anna!
Das Ergebnis für Definitionsbereich und Wertebereich stimmen. Allerdings nicht so ganz die Argumentation.
> So da haben wir in der FH folgende Fälle unterschieden:
>
> 1. x<0 ist für alle x e R gültig
> 2. x=0 ist ebenfalls für alle x e R gültig
> 3. x>0 ergibt x [mm]\le[/mm] -x oder x [mm]\gex[/mm]
Denn hier sind doch so einige Widersprüche drin. Wenn $x_$ negativ ist, kann es ja nicht für alle $x \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IR$ [/mm] gelten usw.
Führe einfach gemäß Definition der Betragsfunktion eine Fallunterscheidung durch:
${|x| \ := \ [mm] \begin{cases} +x, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{ } \\ -x, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \end{cases}}$
[/mm]
Damit wird dann: ${f(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{|x|-x}} [/mm] \ := \ [mm] \begin{cases} \bruch{1}{\wurzel{+x-x}} \ = \ \bruch{1}{\wurzel{0}} \ \red{\not\in \ \IR} , & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{ } \\ \bruch{1}{\wurzel{-x-x}} \ = \ \bruch{1}{\wurzel{-2x}} , & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \end{cases}}$
[/mm]
Damit ergibt sich auch der Definitionsbereich zu: [mm] $D_x [/mm] \ = \ [mm] \IR^-$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Di 06.06.2006 | | Autor: | annaL |
Hallo Roadrunner !
Danke für deine Hilfe.
Nun bitte nochmal die nächste kontrollieren:
[mm] \bruch{1}{ \wurzel{x- \vmat{x}}}
[/mm]
Hier habe ich wieder angefangen mit:
x- [mm] \vmat{x} [/mm] > 0
Dann bekomme ich nach der Fallunterscheidung:
[mm] \bruch{1}{ \wurzel{x-x}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{0} [/mm] und durch 0 darf ich nicht teilen. Somit für x> bzw = 0 nicht definiert.
Nun für x<0
[mm] \bruch{1}{ \wurzel{2x}} [/mm] das ist definiert.
Demnach ist mein Definitionsbereich wieder nur die negativen reellen zahlen und mein Wertebreich ebenfalls wieder ganz W ???
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Hallo Anna!
> [mm]\bruch{1}{ \wurzel{x-x}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{0}[/mm] und durch 0 darf ich nicht teilen.
> Somit für x> bzw = 0 nicht definiert.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun für x<0 : [mm]\bruch{1}{ \wurzel{2x}}[/mm] das ist definiert.
Sicher? 
[mm]\bruch{1}{ \wurzel{2x}} \ = \ \bruch{1}{ \wurzel{2}}*\bruch{1}{ \wurzel{x}}[/mm]
Wie sieht es nun mit dem 2. Bruch für $x \ [mm] \red{<} [/mm] \ 0$ für die Grundmenge [mm] $\IR$ [/mm] aus?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Di 06.06.2006 | | Autor: | annaL |
Ui, das ist nun natürlich blöde.... für den 2. Bruch gilt für x<o gar nicht definiert....sondern nur für x>o....
Was ist das denn nun?
Also ich meine wie notiere ich in einem solchen Falle die Definitionsmenge????????????
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Hi, annaL,
die Definitionsmenge ist leer: D = [mm] \emptyset.
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Di 06.06.2006 | | Autor: | annaL |
hallo zwerglein.
ach so leicht ist das ? :0)
Wenn mein Definitionsbereich leer ist, ist dann meine wertemenge auch zwangsläufig leer?
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Hallo Anna!
> Wenn mein Definitionsbereich leer ist, ist dann meine
> wertemenge auch zwangsläufig leer?
Genau! Wo keine x-Werte sind, können auch keine zugehörigen Funktionswerte (sprich: y-Werte) sein.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Di 06.06.2006 | | Autor: | annaL |
und auch bei dieser aufgabe scheint irgendwo ein fehler zu sein....
f(x):= [mm] \bruch{1}{x \vmat{x}-x^2}
[/mm]
Auch hier gilt wieder: der Nenner muss größer null sein.
Dann bekomme ich nach Umformungen:
x [mm] \vmat{x} [/mm] > [mm] x^2
[/mm]
so nun für x [mm] \ge [/mm] 0 bekomme ich:
x*x > [mm] x^2 [/mm] ist aber ein Widerspruch, da [mm] x^2=x^2 [/mm] ist. Somit hier nicht definiert.
Aber für x<0 bekommt man:
x*(-x) < [mm] x^2 [/mm] --> [mm] -x^2
Da kann doch was nicht stimmen?
Ich hoffe ich nerve nicht, aber ich habe bei Betragsaufgaben immer Probleme und wenn ich sie im Forum übe bekomme ich mehr Sicherheit...
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Hallo Anna!
> Auch hier gilt wieder: der Nenner muss größer null sein.
Warum? Da es im Nenner steht, muss es lediglich ungleich Null sein:
[mm] $x*|x|-x^2 [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$
Und auch hier wieder Fallunterscheidung:
[mm] ${x*|x|-x^2 \ = \ \begin{cases} x*(+x)-x^2 \ = \ x^2-x^2 \ = \ 0, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{ } \\ x*(-x)-x^2 \ = \ -x^2-x^2 \ = \ -2x^2, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \end{cases}}$
[/mm]
Also lautet der Definitionsbereich?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Di 06.06.2006 | | Autor: | annaL |
Hallo!
Also demnach wäre mein Definitionsbereich bei der Aufgaben oben wieder nur [mm] R^{-}, [/mm] ebenso wie mein Wertebereich.
Stimmts?
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Hallo Anna!
> Also demnach wäre mein Definitionsbereich bei der Aufgaben
> oben wieder nur [mm]R^{-},[/mm] ebenso wie mein Wertebereich.
Wenn Du hier die Funktion $f(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{x*|x|-x^2}$ [/mm] meinst ... !
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Di 06.06.2006 | | Autor: | annaL |
So und nun zu dieser Aufgabe noch:
[mm] \bruch{1}{x+2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x-2}
[/mm]
Im ersten Bruch x [mm] \not= [/mm] -2
im zweiten Bruch x [mm] \not= [/mm] 2
War es das dann schon? ich meine, ist mein Definitionsbereich demnach
[mm] R^{-} [/mm] ohne die -2, dann die 0, die 1, und dann gesamt [mm] R^{+} [/mm] nur eben ohne die 2?
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Hi, annaL,
also einfacher:
D = [mm] \IR\backslash\{-2; 2\}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Di 06.06.2006 | | Autor: | annaL |
Also nochmals....
Wenn ich solche Betragsfunktionen habe, dann mache ich am besten immer eine Fallunterscheidung, ja?
Sprich einmal setze ich für den Betrag ein positives x und einmal ein negatives x ein.
Und dann erhalte ich mein gewünschtes ergebnis?
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Hallo Anna!
Ob dieser Weg immer zum Ziel führt, will ich nicht versprechen ... aber ich würde bei Betragsaufgaben zunächst mit der Fallunterscheidung $x \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ bzw. $x \ < \ 0$ gemäß Definition der Betragsfunktion beginnen:
$ {|x| \ := \ [mm] \begin{cases} +x, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{ } \\ -x, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \end{cases}} [/mm] $
Gruß vom
Roadrunner
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