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| Aufgabe | Geben Sie den maximalen Definitionsbereich von f und g in [mm] \IC [/mm] an. Bestimmen Sie H:= f *g und k:= [mm] \bruch{f}{g} [/mm] und geben Sie den maximalen Definitionsbereich von k und h an.
f(x) := [mm] (\bruch{x+2i}{x-2i})^{2} [/mm] und g(x):= [mm] (\bruch{x^{2}-4}{x^{2}+4})^{2} [/mm] |
Stimmt das so?
D(f)= [mm] \IC [/mm] \ { 2i }
D(g)= [mm] \IC [/mm] \ { 2i,-2i }
D(f*g)= [mm] \IC [/mm] \ { 2i }
[mm] \bruch{f}{g} [/mm] = [mm] \bruch{(x+2i)^{4}}{(x-2)^{2}(x+2)^{2}}
[/mm]
[mm] D(\bruch{f}{g}) [/mm] = [mm] \IC [/mm] \ { 2, -2 }
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Fr 02.05.2014 | | Autor: | abakus |
> Geben Sie den maximalen Definitionsbereich von f und g in
> [mm]\IC[/mm] an. Bestimmen Sie H:= f *g und k:= [mm]\bruch{f}{g}[/mm] und
> geben Sie den maximalen Definitionsbereich von k und h an.
>
> f(x) := [mm](\bruch{x+2i}{x-2i})^{2}[/mm] und g(x):=
> [mm](\bruch{x^{2}-4}{x^{2}+4})^{2}[/mm]
> Stimmt das so?
> D(f)= [mm]\IC[/mm] \ { 2i }
> D(g)= [mm]\IC[/mm] \ { 2i,-2i }
> D(f*g)= [mm]\IC[/mm] \ { 2i }
Hallo,
wenn g an der Stelle -2i nicht einmal definiert ist, kann eine Verknüpfung von g mit einer anderen Funktion an dieser Stelle auch nicht definiert sein. -2i gehört also NICHT zu D(f*g).
Gruß Abakus
> [mm]\bruch{f}{g}[/mm] = [mm]\bruch{(x+2i)^{4}}{(x-2)^{2}(x+2)^{2}}[/mm]
> [mm]D(\bruch{f}{g})[/mm] = [mm]\IC[/mm] \ { 2, -2 }
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Dann also: D(f*g)= [mm] \IC [/mm] \ { 2i,-2i }
Stimmt denn der Rest ?
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:55 Sa 03.05.2014 | | Autor: | Kruemel1008 |
aber geht es nicht darum, dass das, was unter dem Bruch steht nicht null werden darf ? ... Das hat doch nicht unbedingt was mit den einzelnen definitionsbereichen der einzelnen funktionen zu tun, oder? ... Also ich erhalte dann doch eine neue Funktion durch das malnehmen oder teilen von f und g wo ich einen eigenen Definitionsbereich aufstellen muss oder nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Sa 03.05.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Geben Sie den maximalen Definitionsbereich von f und g in
> > [mm]\IC[/mm] an. Bestimmen Sie H:= f *g und k:= [mm]\bruch{f}{g}[/mm] und
> > geben Sie den maximalen Definitionsbereich von k und h
> an.
> >
> > f(x) := [mm](\bruch{x+2i}{x-2i})^{2}[/mm] und g(x):=
> > [mm](\bruch{x^{2}-4}{x^{2}+4})^{2}[/mm]
> > Stimmt das so?
> > D(f)= [mm]\IC[/mm] \ { 2i }
> > D(g)= [mm]\IC[/mm] \ { 2i,-2i }
> > D(f*g)= [mm]\IC[/mm] \ { 2i }
>
> Hallo,
> wenn g an der Stelle -2i nicht einmal definiert ist, kann
> eine Verknüpfung von g mit einer anderen Funktion an
> dieser Stelle auch nicht definiert sein. -2i gehört also
> NICHT zu D(f*g).
Das haengt davon ab, was man mit $D(f*g)$ eigentlich meint. Wenn der maximale Definitionsbereich der holomorphen Funktion $f*g$ gemeint ist, dann ist $-2i$ ein Teil von $f*g$, da die holomorphe Funktion mit maximalem Definitionsbereich, die auf [mm] $\IC \setminus \{ 2i, -2i \}$ [/mm] identisch zu $f*g$ ist, eben in $-2i$ auch definiert ist.
Genauso kommt man auf $D(f*g) = [mm] \IC \setminius \{ 2i \}$, [/mm] wenn man im Koerper der rationalen Funktionen unterwegs ist. Das Produkt $f*g$ ist eine rationale Funktion, die in $-2i$ keine Singularitaet hat. Damit liegt $-2i$ im Definitionsbereich von $f*g$.
Ist jedoch einfach nach dem Definitionsbereich gefragt der "konkreten" (Produkt-)Funktion $f*g$ als "normale" Funktion $D(f*g) [mm] \to \IC$, [/mm] die durch $(f*g)(x) = f(x) [mm] \cdot [/mm] g(x)$ definiert ist, dann ist der Definitionsbereich von $f*g$ der Schnitt der Definitionsbereiche von $f$ und $g$, womit $-2i$ nicht im Definitionsbereich liegt.
Hier muss Kruemel1008 etwas mehr Informationen liefern, woher diese Aufgabe stammt und was in der Vorlesung genau unter "maximaler Definitionsbereich" verstanden wird.
LG Felix
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Bei [mm] $\bruch{f}{g}$ [/mm] gilt der obige Hinweis wie zu $f*g_$ genauso.
