Definitionsbereich (x-1)/(x-1) < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
der Definitionsbereich von [mm] \bruch{2}{x-1} [/mm] * (x-1) ist gefragt. Ich hätte gedacht, dass man x-1 kürzen kann und der Definitionsbereich alle reelen Zahlen ist, aber anscheinend soll 1 trotzdem nicht im Definitionsbereich sein.
Kann mir einer erklären warum ich nicht kürzen kann, so dass da steht f(x) = 2 und dann der Definitionsbereich alle reelen Zahlen ist.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Sa 24.09.2016 | | Autor: | Fulla |
> Hallo,
Hallo Ulquiorra!
> der Definitionsbereich von [mm]\bruch{2}{x-1}[/mm] * (x-1) ist
> gefragt. Ich hätte gedacht, dass man x-1 kürzen kann und
> der Definitionsbereich alle reelen Zahlen ist, aber
> anscheinend soll 1 trotzdem nicht im Definitionsbereich
> sein.
> Kann mir einer erklären warum ich nicht kürzen kann, so
> dass da steht f(x) = 2 und dann der Definitionsbereich alle
> reelen Zahlen ist.
[mm]f(x)=\frac{2}{x-1}\cdot (x-1)[/mm] und [mm]g(x)=2[/mm] sind zunächst einmal zwei verschiedene Funktionen. Der Definitionsbereich von [mm]g[/mm] ist in der Tat ganz [mm]\mathbb R[/mm], aber [mm]f[/mm] ist bei [mm]x=1[/mm] nicht definiert (hat aber an jeder anderen Stelle dieselben Funktionswerte wie [mm]g[/mm]).
Der Graph von [mm]f[/mm] sieht genauso aus, wie der von [mm]g[/mm], hat aber bei [mm]x=1[/mm] ein "Loch" (d.h. an dieser Stelle gibt es gar keinen Funktionswert).
Sieh dir auch mal dieses ![[]](/images/popup.gif) Beispiel auf Wikipedia an.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Sa 24.09.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Ulquiorra,
> der Definitionsbereich von [mm]\bruch{2}{x-1}[/mm] * (x-1) ist
> gefragt. Ich hätte gedacht, dass man x-1 kürzen kann und
> der Definitionsbereich alle reelen Zahlen ist, aber
> anscheinend soll 1 trotzdem nicht im Definitionsbereich
> sein.
> Kann mir einer erklären warum ich nicht kürzen kann, so
> dass da steht f(x) = 2 und dann der Definitionsbereich alle
> reelen Zahlen ist.
Ich hole etwas aus:
Der Ausdruck [mm] $\bruch00$ [/mm] ist nicht definiert, stellt keine Zahl dar (allgemeiner: es gibt keinen Bruch mit 0 im Nenner).
Demzufolge ist der Ausdruck [mm] $\bruch{2*0}{1*0}$ [/mm] ebenso undefiniert (und nicht etwa gleich [mm] $\bruch{2}{1}$).
[/mm]
Für $x=1$ ist demzufolge wegen $x-1=0$ also der Ausdruck [mm] $\bruch{2*(x-1)}{x-1}$ [/mm] undefiniert (und nicht etwa gleich [mm] $\bruch{2}{1}$).
[/mm]
Zur eigentlichen Aufgabenstellung:
Diese Art Aufgaben werden häufig gestellt, mir erscheint ihr Sinngehalt jedoch begrenzt. Es gibt viele Funktionen f mit unterschiedlichen Definitionsbereichen D, die sich als
[mm] $f\colon D\to\IR,\quad f(x)=\bruch{2*(x-1)}{x-1}=2$
[/mm]
darstellen lassen, z.B. mit $D$ die Menge aller negativen reellen Zahlen oder $D$ die Menge aller irrationalen reellen Zahlen oder eben die (hier vom Aufgabensteller wohl beabsichtigte) Menge aller reellen Zahlen ungleich 1.
Dagegen wäre $D$ die Menge aller reellen Zahlen (inklusiv 1), also
(ACHTUNG, UNSINN!) [mm] $f\colon\IR\to\IR,\quad f(x)=\bruch{2*(x-1)}{x-1}$
[/mm]
nicht "wohldefiniert", d.h. keine sinnvolle Definition, da der nicht definierte Ausdruck [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] verwendet wird.
Du könntest aber eine Funktion [mm] $f\colon\IR\to\IR$ [/mm] dadurch erklären, dass du $f(x)=2$ für $x=1$ und [mm] $f(x)=\bruch{2*(x-1)}{x-1}$ [/mm] für [mm] $x\not=1$ [/mm] definierst. Dies ist dann eine komplizierte Schreibweise für die einfache konstante Funktion [mm] $f\colon \IR\to\IR$ [/mm] mit $f(x)=2$ für alle reellen Zahlen $x$.
Viele Grüße
Tobias
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