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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Definitionslücken der folgenden Funktionen.Handelt es sich um eine Polstelle oder um eine stetig behebbare Definitionslücke?
a)f(x)= [mm] \bruch{6}{x-2}
[/mm]
b)f(x)= [mm] \bruch{18}{(x+3)²}
[/mm]
c)f(x)= [mm] \bruch{6}{x²-4}
[/mm]
d)f(x)= [mm] \bruch{x-4}{x²-4x}
[/mm]
e)f(x)= [mm] \bruch{2x+2}{x²+x} [/mm] |
Hi,
wenn ich das richtig verstanden habe:
stetig behebbare Definitionslücke: u(x) = v(x) = 0
Polstelle: u(x) [mm] \not= [/mm] 0 ; v(x) = 0
n(x)= Def.-Lücke oder?
a) n(x)=x-2
n(x)=2 (Polstelle, da u(x) [mm] \not= [/mm] 0 ; v(x) = 0 )
b) n(x)=x²-6x+9
n(x)=3 (Polstelle, da u(x) [mm] \not= [/mm] 0 ; v(x) = 0 )
c) n(x)=n(x)=x²-4
n(x1)=2 (Polstelle, da u(x) [mm] \not= [/mm] 0 ; v(x) = 0 )
n(x2)= -2 (Polstelle, da u(x) [mm] \not= [/mm] 0 ; v(x) = 0 )
d) n(x)=x²-4x
n(x1)=4 (stetig behebbare Definitionslücke, da u(x) = v(x) = 0)
n(x2)=0 (Polstelle, da u(x) [mm] \not= [/mm] 0 ; v(x) = 0 )
e) n(x)=x²+x
n(x1)=0 (Polstelle, da u(x) [mm] \not= [/mm] 0 ; v(x) = 0 )
n(x2)=-1(stetig behebbare Definitionslücke, da u(x) = v(x) = 0)
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Hallo Maraike!
Bis auf einen Tippfehler bei Aufgabe b.) ist alles richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wie heißt denn nun der Nenner bei b.) ... [mm] $(x+3)^2$ [/mm] oder [mm] $(x-3)^2$ [/mm] ??
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Mo 20.08.2007 | | Autor: | Maraike89 |
Danke!! Bei 2b muss -3 rauskommen (ist aber trotzdem eine Polstelle)
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| Aufgabe | Untersuchen Sie nun, ob die Funktionswerte beim Überschreiten der jeweiligen Definitionslücke das Vorzeichen wechseln.
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Wenn ich jetzt schauen will, ob Vorzeichenwechsel auftreten, mache ich das doch folgender Maßen:
Ich nehme f(x) und setze einen Wert +/-0,5 vom Definitionslückenwert (n(x)) ein?
a)n(x)=2
f(1,5)=-12
f(2,5)=12
VZW von - nach +
b)
n(x)=-3
f(-3,5)= 72
f(-2,5)= 72
Kein VZW
c)
n(x1)=2
n(x2)=-2
f(-2,5)= [mm] \bruch{8}{3}
[/mm]
f(-1,5)= - [mm] \bruch{24}{7}
[/mm]
VZW von + nach -
f(1,5)= - [mm] \bruch{24}{7}
[/mm]
f(2,5)= [mm] \bruch{8}{3}
[/mm]
VZW von - nach +
d)n(x1)=4
n(x2)=0
f(3,5)= [mm] \bruch{2}{7}
[/mm]
f(4,5)= [mm] \bruch{2}{9}
[/mm]
Kein VZW
f(-0,5)= -2
f(0,5)=2
VZW von - nach +
e) n(x1)= 0
n(x2)= -1
f(-0,5)=-4
f(0,5)= 4
f(-1,5)= - [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
f(-0,5)= -4
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Mo 20.08.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> Untersuchen Sie nun, ob die Funktionswerte beim
> Überschreiten der jeweiligen Definitionslücke das
> Vorzeichen wechseln.
>
> Wenn ich jetzt schauen will, ob Vorzeichenwechsel
> auftreten, mache ich das doch folgender Maßen:
> Ich nehme f(x) und setze einen Wert +/-0,5 vom
> Definitionslückenwert (n(x)) ein?
So kannst du das numerisch machen. So siehst du sofort, ob jetzt die Werte links und rechts von der DefLücke gegen plus oder minus unendlich gehen etc.
Ich würde das allerdings mathematisch machen:
Ich weiß ja schon, wo sich die Polstelle befindet. Dann lasse ich mal die Funktion gegen die Defintionslücke gehen und zwar einmal von links und einmal von rechts (das, was du im endeffekt auch gemacht hast, indem du die Zahlen dort hingeschrieben hast). Wenn du dann den Limes betrachtest, sieht man es auch. Ich mache es dir einmal am Beispiel der Aufgabe a) deutlich:
[mm] $f(x)=\frac{6}{x-2}$
[/mm]
[mm] $\lim_{x\rightarrow2^-}x-2=-0$
[/mm]
Hier lasse ich mal x gegen 2 gehen, aber von der linken Seite aus, was das - anzeigen soll. Dann hat man Werte wir 1.9999. Davon 2 abgzogen ergibt einen negativen Wert, der aber gegen Null geht, deshalb -0. Der Zähler ist positiv, also gilt:
[mm] $\lim_{x\rightarrow2^-}f(x)=-\infty$
[/mm]
Wenn ich das ganze rechtsseitg betrachte, so geht der Nenner gegen positiv Null, also geht f(x) gegen plus unendlich.
So kannst du das ganze mathematisch korrekt darstellen und musst das nicht anhand von irgendwelchen Werten nahe der Def-Lücke beweisen. Denn eine Zahl einsetzten ist m.E. noch kein Beweis, nur eine Hilfe.
Ich gehe mal advn aus, dass du die Funktionswerte richtig berechnet hast, also sollen deine Ergebniss wohl stimnmen.
Würde dir aber empfehlen, das ganze via Limes noch einmal nachzugucken.
LG
Kroni
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Plus Minus unendlich hatten wir in diesem Bezug noch nicht!
Wenn ich [mm] x^4 [/mm] + x² habe kommt da kein VZW raus, obwohl ein VZW stattgefunden hat oder stimmt das so?
f(-0,5)=0,3125
f(0,5)=0,3125
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Mo 20.08.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
dein Problem liegt darin, weil du keine gebrochenrationale Funktion hast. Das ist eine ganzrat. Funktion, und dort gibt es keine Polstellen.
Wie lautet denn die komplette Funktion? Wenn sie [mm] $f(x)=x^4+x^2$ [/mm] heißt, dann stimmen deine brechneten Werte, aber es kann dort auch keinen VZW geben, da es sich hier um keine Polstelle bei 0 handelt...
Aber auch, wenn du den Grenzwert von deiner "Nennerfunktion", wovon ich mal ausgehe, dass es eine sein sollte sehe, so geht diese von beiden Seiten aus gegen Null, wenn x gegen Null geht. Das liegt an dem hoch vier und dem Quadrat, denn das macht, egal von welcher Seite man sich der Null annähert, etwas postives, so dass man sich immer "von oben" heran der Null nähert.
Jetzt muss man sich nur noch die Zählerfunktion ansehen, und dort gucken, inwiefern diese sich verändert, wenn man von links oder von rechts der Null nähert. Wenn dort ein VZW stattfindet, so muss der Grund dafür dann im Zähler gesucht und gefunden werden.
LG
KRoni
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Danke!! Also kein VZW oder? Funktion heisst nur [mm] x^4 [/mm] + x² also ganzrational
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Mo 20.08.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
dann hast du auch keine Polstelle.
Ob es einen VZW gibt musst du gucken. Man kann die umschreiben als: [mm] $f(x)=x^4+x^2=x^2(x^2+1)$ [/mm] Jetzt nullsetzten, und man sieht, dass es eine doppelte Nullstelle bei x=0 gibt. Das deutet darauf hin, dass hier die x Achse berührt wird. Der Term in den Klammer gibt keine Nullstelle, also gilt für die Wertemenge, dass sie nicht negativ (oder größer gleich Null) ist. Demnach auch kein VZW.
LG
Kroni
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