Dehnung Stab mit Masse < Maschinenbau < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 So 17.04.2011 | | Autor: | al3pou |
| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]
a) Berechnen Sie den Spannungsverlauf [mm] \sigma(x) [/mm] für den Stab.
b) Bestimmen Sie die Bedingung für die Masse m [mm] \le m_{max} [/mm] derart, so dass
[mm] |\sigma_{max}| \le \sigma_{zul} [/mm] mit [mm] \sigma_{zul} [/mm] als maximal zulässiger Spannung gilt. Was muss
für [mm] \sigma_{zul} [/mm] grundlegend gelten, damit das System überhaupt tragfähig ist?
c) Welchen Wert müsste der Innenradius [mm] r_{i} [/mm] des Querschnitts für allgemeine Werte von m aufweisen,
so dass die Bedingung [mm] |\sigma_{max}| [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \sigma_{zul} [/mm] gilt.
d) Berechnen Sie die Dehnungsfunktion [mm] \epsilon(x) [/mm] für den Stab für allgemeine Werte von m und [mm] r_{i}.
[/mm]
e) Geben Sie die vertikale Verschiebung der Masse in x-Richtung an. |
Frage: Ist das so alles richtig?
a)
Ich habe die Navier'sche Gleichung für E = const. und A = const. genommen.
[mm] EAu^{''} [/mm] + n(x) = 0
n(x) ergibt sich aus dem Gewicht des Stabes zu
n(x) = [mm] \rho [/mm] * g * A
A ist die Querschnittsfläche mit
A = [mm] \pi (r_{a}^{2} [/mm] - [mm] r_{i}^{2})
[/mm]
dann habe ich das ganze in die Navier'sche Gleichung eingesetzs und nach [mm] u^{''} [/mm] umgeformt und komme damit auf
[mm] u^{''} [/mm] = [mm] -\bruch{\rho * g}{E}
[/mm]
[mm] u^{'} [/mm] = [mm] -\bruch{\rho * g}{E}x [/mm] + [mm] c_{1}
[/mm]
u = [mm] -\bruch{\rho * g}{2E}x^{2} [/mm] + [mm] c_{1}x [/mm] + [mm] c_{2}
[/mm]
Ich habe zwei Randbedingungen für die Integrationskonstanten
(1) kinematische : u(x=0) = 0 -> [mm] c_{2} [/mm] = 0
(2) dynamische : N(x=l) = m*g
aus der zweiten Folgt mit N = EA * [mm] (u^{'} [/mm] - [mm] \alpha_{T} \Delta [/mm] T) = m*g
[mm] c_{1} [/mm] = [mm] \bruch{m*g}{EA} [/mm] + [mm] \bruch{\rho * g * l}{E}
[/mm]
und daraus folgt für u(x)
u(x) = [mm] \bruch{1}{E} [/mm] * [ - [mm] \bruch{1}{2} \rho [/mm] * g * [mm] x^{2} [/mm] + [mm] (\bruch{m * g}{A} [/mm] + [mm] \rho [/mm] * g * l)x]
mit [mm] \epsilon(x) [/mm] = [mm] u^{'}(x) [/mm] und [mm] \sigma(x) [/mm] = E * [mm] \epsilon(x) [/mm] folgt damit
[mm] \sigma(x) [/mm] = - [mm] \rho [/mm] * g * x + [mm] \bruch{m * g}{A} [/mm] + [mm] \rho [/mm] * g *l
b)
für m gilt m [mm] \le \bruch{\sigma_{zul} * A}{g}
[/mm]
c)
für den Innenradius gilt [mm] r_i [/mm] = [mm] \wurzel{r_a^{2} - \bruch{2m * g}{\sigma_{zul} * \pi}}
[/mm]
d)
Ergebnis kann man ganz einfach mit der errechneten Funktion aus a) für u(x) gewinnen
e)
Hier gilt das gleich wie für d).
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:18 So 17.04.2011 | | Autor: | al3pou |
okay also dann hab ich b) wohl noch nicht richtig verstanden, wie genau soll das denn dann sein?
Bei c) hab ich gerechnet
[mm] |\sigma_{max}| [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \sigma_{zul}
[/mm]
[mm] |\sigma(l)| [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \sigma_{zul}
[/mm]
[mm] |\bruch{m * g}{\pi * ( r_{a}^{2} - r_{i}^{2})}| [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \sigma_{zul}
[/mm]
und daraus folgt
[mm] r_{i} [/mm] = [mm] \wurzel{r_{a}^{2}- \bruch{2m * g}{\sigma_{zul} * \pi}}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 So 17.04.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo al3pou!
> okay also dann hab ich b) wohl noch nicht richtig
> verstanden, wie genau soll das denn dann sein?
Hier verstehe ich Deine Frage nicht.
Wie lautet denn die Antwort auf meine obige Rückfrage (bzw. habe ich den Hinweis schon oben gegeben)?
Und wenn Du b.) (noch) falsch hast, macht Aufgabe c.) noch keinen wirklichen Sinn.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 So 17.04.2011 | | Autor: | al3pou |
Für b) : Also ich würde sagen, dass die größte Beanspruchung an dem Ende des Stabes ist. Wo auch der Block dranhängt oder nicht?
Macht a) dann keinen Sinn oder meintest du c)??
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:20 So 17.04.2011 | | Autor: | al3pou |
Also müsste damit folgen
m [mm] \le \bruch{A}{g}* (\sigma_{zul}-\rho [/mm] * gl)
weil die höchste Beanspruchung ist nicht bei l sondern bei 0.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Di 19.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Aber warum so kompliziert ermittelt?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
An welcher Stelle liegt denn die maximale Beanspruchung vor?
