Det(A)=-/+1 ? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 So 29.01.2006 | | Autor: | Kiki3000 |
| Aufgabe 1 | Sei $A$ eine [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix mit Einträgen in [mm] $\IZ$.
[/mm]
Zeigen Sie:
$A [mm] \in Gl_{n}(\IZ) \gdw \det(A) [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1$. |
| Aufgabe 2 | Sei $A [mm] \in Gl_{n} (\IQ)$ [/mm] eine invertierbare Matrix mit Einträgen in [mm] $\IZ$.
[/mm]
Zeigen Sie:
$Ax=b$ hat eine Lsg $x [mm] \in \IZ^{n}$ [/mm] für alle $b [mm] \in \IZ^{n} \gdw \det(A) [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1$. |
Hallo!
Meine Frage ist zunächst, da die Aufgaben sich ja etwas ähneln: Wann ist det(A)= [mm] \pm [/mm] 1 ? Da ich dies nicht weiß, hab ich nicht mal ein Anfang für die Aufgabe. Ich wäre dankbar um die Antwort dieser Frage und Tipps, wie ich vorzugehen habe bei dieser Aufgabe.
Vielen Dank schonmal.
Lg Kiki
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:51 So 29.01.2006 | | Autor: | SEcki |
> Sei [mm]A[/mm] eine [mm]n\times n[/mm]-Matrix mit Einträgen in [mm]\IZ[/mm].
> Zeigen Sie:
> [mm]A \in Gl_{n}(\IZ) \gdw \det(A) = \pm 1[/mm].
Was hattet ihr in der Vorlesung schon? Komplementärmatrix? Und Sätze dazu? Damit geht das sehr schnell ...
> Sei [mm]A \in Gl_{n} (\IQ)[/mm]
> eine invertierbare Matrix mit Einträgen in [mm]\IZ[/mm].
> Zeigen Sie:
> [mm]Ax=b[/mm] hat eine Lsg [mm]x \in \IZ^{n}[/mm] für alle [mm]b \in \IZ^{n} \gdw \det(A) = \pm 1[/mm].
Fast eine Konsequenz aus der Aufgabe 1, denn man muss sich klar machen das die Inverse schon in [mm]A \in Gl_{n}(\IZ)[/mm] liegt. Wie berechnet man hier denn die x? Und setze nun mal für b die Einheistvektoren ein ...
> Meine Frage ist zunächst, da die Aufgaben sich ja etwas
> ähneln: Wann ist det(A)= [mm]\pm[/mm] 1 ?
Na, hmm, wenn sie es halt ist.
> Da ich dies nicht weiß,
> hab ich nicht mal ein Anfang für die Aufgabe.
Hilft obiges?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 So 29.01.2006 | | Autor: | Kiki3000 |
| Aufgabe | > Sei eine -Matrix mit Einträgen in .
> Zeigen Sie:
> .
Was hattet ihr in der Vorlesung schon? Komplementärmatrix? Und Sätze dazu? Damit geht das sehr schnell ...
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Also wir hatten was mit komplementären Matrizen. Haben dazu auch Sätze, also ich denke, dass ich das dann hinbekomme. Aber wie stelle ich mir das vor? Waren Komplementärmatrizen die Matrizen, die an der Diagonalen "gespiegelt" sind?
Wir hatten die Formeln [mm] A^{-1}= \bruch{1}{det(A)} A^{\sim} [/mm] und
A [mm] A^{\sim} [/mm] = [mm] A^{\sim} [/mm] A =det(A) [mm] E_{n}. [/mm] Könnte ich die beiden Formeln verwenden um auf det(A)= [mm] \pm [/mm] 1 zu kommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 So 29.01.2006 | | Autor: | SEcki |
> Könnte ich die
> beiden Formeln verwenden um auf det(A)= [mm]\pm[/mm] 1 zu kommen?
Ja, eher die zweite. Eine Matrix in einem Ring ist genau wann invertierbar? Was sind die invertierbaren Elemente von [m]\IZ[/m]?
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 So 29.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Zur ersten Aufgabe:
[mm] "$\Leftarrow$" [/mm] ist ja klar.
Zu [mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Mache dir klar (was SEcki schon meinte), dass auch [mm] $A^{-1}$ [/mm] in [mm] $\IZ^{n \times n}$ [/mm] ist (dies folgt aber schon aus der Definition von [mm] $Gl_n(\IZ)$).
[/mm]
Es gilt:
[mm] $\det(A) \cdot \det(A^{-1}) [/mm] = [mm] \det(AA^{-1}) [/mm] = [mm] \det(E_n)=1$.
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] $\det(A) \in \{1,+1\}$.
[/mm]
Was sehen wir also:
$A$ ist genau dann invertierbar (in [mm] $\IZ^{n \times n}$), [/mm] wenn [mm] $\det(A)$ [/mm] invertierbar ist (in [mm] $\IZ$).
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 So 29.01.2006 | | Autor: | Kiki3000 |
| Aufgabe | | [mm] "\Leftarrow" [/mm] ist ja klar. |
ist bei mir leider nicht der Fall. Kann ja die hinrichtung gut nachvollziehen, aber wie kann ich aus det(A)= [mm] \pm [/mm] 1 folgern, dass A [mm] \in Gl_{n}(\IZ) [/mm] ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 So 29.01.2006 | | Autor: | SEcki |
> [mm]"\Leftarrow"[/mm] ist ja klar.
> ist bei mir leider nicht der Fall. Kann ja die hinrichtung
> gut nachvollziehen, aber wie kann ich aus det(A)= [mm]\pm[/mm] 1
> folgern, dass A [mm]\in Gl_{n}(\IZ)[/mm] ist?
Schau dir deine Sätze zur Komplementärmatrix nochmal genauer an ...
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 So 29.01.2006 | | Autor: | Kiki3000 |
Vielen lieben Dank!! konnte den ersten Teil problemlos lösen. Wenn ihr noch lust habt, könnt ihr mir ja noch tipps bei der 2. Aufgabe geben
Kiki
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