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| Aufgabe | sei K ein Körper und a,b [mm] \in [/mm] K
A:=( [mm] a_{ij} [/mm] ) [mm] \in [/mm] M(nxn,K)
mit [mm] a_{ij}=\begin{cases} b, & \mbox{für } i=j \mbox{ } \\ a, & \mbox{ } sonst \mbox{ } \end{cases} [/mm]
Zeigen sie: det(A)= [mm] (b-a)^{n-1} [/mm] (b+ (n-1)a) |
Hallo zusammen,
ich könnte etwas Hilfe bei dieser Aufgabe gebrauchen. Genauer gesagt brauche ich etwas Hilfe zum Induktionsschritt.
Ich habe selber 2 verschiedene Wege versucht, komme aber in beiden Fällen zum stocken.
Also:
Induktionsanfang
n=2: A= [mm] \pmat{ b & a \\ a & b } [/mm] dann: det(A) = [mm] b^{2} [/mm] - [mm] a^{2} [/mm] = (b-a)(b+a)
Induktionsvoraussetzung
det(A)= [mm] (b-a)^{n-1} [/mm] (b+ (n-1)a)
Induktionsschritt
n [mm] \mapsto [/mm] n+1:
z.zg.: det(A)= [mm] (b-a)^{n} [/mm] (b+na) = [mm] (b-a)^{n-1} [/mm] ( [mm] b^{2} [/mm] + (n-1)ab - n [mm] a^{2} [/mm] )
dazu: det(A)= [mm] \summe_{i=1}^{n+1} (-1)^{n+1} a_{ij} [/mm] det [mm] A_{ij} [/mm] = ( [mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{n+1} a_{ij} [/mm] det [mm] A_{ij} [/mm] ) [mm] \pm a_{n+1 1} [/mm] det [mm] A_{n+1 1} [/mm] = [mm] (b-a)^{n-1} [/mm] (b+(n-1)a) [mm] \pm [/mm] a det [mm] A_{n+1 1} [/mm] = [mm] (b-a)^{n-1} [/mm] (b+(n-1)a) [mm] \pm [/mm] a det B , wobei B die transponierte Matrix von [mm] A_{n+1 1} [/mm] ist.
Für B gilt: [mm] b_{ij}=\begin{cases} b, & \mbox{für } j=i+1 \mbox{ gerade} \\ a, & \mbox{ } sonst \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
[mm] (b-a)^{n-1} [/mm] (b+(n-1)a) [mm] \pm [/mm] a det B = [mm] (b-a)^{n-1} [/mm] (b+(n-1)a) [mm] \pm [/mm] a det C , wobei C durch Addition des (-1)-fachen der i-ten Zeile zur (i-1)-ten Zeile hervorgeht.
d.h.: Bei C handelt es sich um eine obere Dreiecksmatrix mit den Diagonaleinträgen [mm] c_{11} [/mm] = a und [mm] c_{ii} [/mm] = b-a für i=2,...,n
also:
[mm] (b-a)^{n-1} [/mm] (b+(n-1)a) [mm] \pm [/mm] a det C = [mm] (b-a)^{n-1} [/mm] (b+(n-1)a) [mm] \pm a^{2} (b-a)^{n-1}
[/mm]
Ab diesem Punkt komme ich nicht weiter. Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht oder finde ich einfach nur nicht die richtige Umformung?
Einen zweiten Ansatz zeige ich in der folgenden Mitteilung. Wäre nett, wenn ihr mir weiterhelfen könntet. DANKE
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:05 Mi 07.06.2006 | | Autor: | oeli1985 |
Induktionsanfang: entspricht dem des 1. Ansatz
Induktionsvoraussetzung: entspricht der des 1. Ansatz
Induktionsschritt:
z.zg.: siehe 1. Ansatz
dazu:
det(a)= [mm] \summe_{i=1}^{n+1} (-1)^{(n+1)+j} a_{n+1 j} [/mm] det [mm] a_{n+1 j} [/mm] = [mm] (-1)^{n+2} a_{n+1 1} [/mm] det [mm] A_{n+1 1} [/mm] + [mm] (-1)^{n+3} a_{n+1 2} [/mm] det [mm] A_{n+1 2} [/mm] + ... + [mm] (-1)^{2n+2} a_{n+1 n+1} [/mm] det [mm] A_{n+1 n+1} [/mm] = [mm] a_{n+1 1} [/mm] det [mm] A_{n+1 1}- [/mm] ... + ... - ... + [mm] a_{n+1 n+1} [/mm] det [mm] A_{n+1 n+1} [/mm] = [mm] a_{n+1 1} [/mm] det [mm] A_{n+1 1}- [/mm] ... + ... - ... + b [mm] (b-a)^{n-1} [/mm] (b+(n-1)a)
d.h.:
es bleibt zu zeigen:
a [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] det [mm] A_{n+1 i} [/mm] + b [mm] (b-a)^{n-1} [/mm] (b+(n-1)a) = [mm] (b-a)^{n} [/mm] (b+na)
Welcher Ansatz ist besser? Könnt ihr mir bei einem von beiden oder sogar beiden weiterhelfen? DANKE
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Sa 10.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> sei K ein Körper und a,b [mm]\in[/mm] K
>
> A:=( [mm]a_{ij}[/mm] ) [mm]\in[/mm] M(nxn,K)
> mit [mm]a_{ij}=\begin{cases} b, & \mbox{für } i=j \mbox{ } \\ a, & \mbox{ } sonst \mbox{ } \end{cases}[/mm]
> Zeigen sie: det(A)= [mm](b-a)^{n-1}[/mm] (b+ (n-1)a)
Ich hab mir jetzt deine Ansaetze nicht durchgelesen, aber versuchs doch mal wie folgt mittels der Multilinearitaet der Determinante:
Die $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix von dem Typ wie oben bezeichne mit [mm] $A_n$. [/mm] Dann ist
(fuer $n [mm] \ge [/mm] 3$) [mm] $\det A_n [/mm] = [mm] \det \pmat{ a & a & \cdots & a \\ a & & & \\ \vdots & & A_{n-1} & \\ a & & & } [/mm] + [mm] \det \pmat{ b-a & 0 & \cdots & 0 \\ a & & & \\ \vdots & & A_{n-1} & \\ a & & & }$. [/mm] Nun ist [mm] $\det \pmat{ b-a & 0 & \cdots & 0 \\ a & & & \\ \vdots & & A_{n-1} & \\ a & & & } [/mm] = (b - a) [mm] \det A_{n-1}$, [/mm] womit du hier Induktion anwenden kannst.
Nun zur anderen Determinante. Setze [mm] $B_n [/mm] := [mm] \pmat{ a & a & \cdots & a \\ a & & & \\ \vdots & & A_{n-1} & \\ a & & & }$. [/mm] Es ist (ebenfalls mit der Multilinearitaet) [mm] $\det B_n [/mm] = [mm] \det \pmat{ a & a & \cdots & a & a \\ a & & & & a \\ \vdots & & A_{n-2} & & \vdots \\ a & & & & a \\ a & a & \cdots & a & a } [/mm] + [mm] \det \pmat{ a & a & \cdots & a & a \\ a & & & & a \\ \vdots & & A_{n-2} & & \vdots \\ a & & & & a \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & b - a }$. [/mm] Die erste Determinante ist gleich 0, da die erste mit der letzten Zeile der Matrix uebereinstimmt. Die Determinante der zweiten Matrix ist $(b - a) [mm] \det B_{n-1}$. [/mm] Hier musst du also ebenfalls Induktion verwenden (und erstmal selber eine Formel aufstellen; das ist jedoch recht einfach).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Sa 10.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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