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| Aufgabe | Für welche Werte $a [mm] \in \IR$ [/mm] ist die untenstehende Matrix invertierbar?
[mm] $\pmat{ a & a+1 & 0 & 0 \\ 0 & a & a-1 & 0 \\ 0 & a-1 & a & 0 \\ 1 & 0 & a+1 & a}$ [/mm] |
Hi,
ich möchte hier die Determinante nach der ersten Zeile bilden, dann komme ich auf folgendes:
[mm] $a*det(\pmat{ a & a-1 & 0 \\ a-1 & a & 0 \\ 0 & a+1 & a})-(a+1)*det(\pmat{ 0 & a-1 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 1 & a+1 & a}) [/mm] $
3x3 Matrizen kann man noch nach diesem "speziellen" Muster lösen, dann komme ich auf folgendes:
[mm] $a*(a^3+(a-1+a-1+a))$
[/mm]
$= [mm] a*(a^3+3a-2)$
[/mm]
[mm] $=a^4+3a-2$
[/mm]
So jetzt muss ich noch die Nullstellen bestimmen, da die Determinante ungleich 0 sein muss, dass eine Matrix invertierbar sein darf! Ich finde aber keine Nullstellen :-( Ich bin mir deswegen auch nicht sicher ob das ganze stimmt.
Wie kann ich hier die Nullstellen bestimmen? Ich habe es mit einsetzten Probiert, aber ich komme nicht drauf!
Ich hoffe mir kann jemand helfen :-(
Danke
Gruß Thomas
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Hallo Thomas,
vielleicht ein Tipp an dieser Stelle. Determinanten lassen sich - meist - am schnellsten berechnen, wenn man nach der Spalte/der Zeile mit den meisten Nullen entwickelt. Vielleicht kennst du das Prinzip der sog. Streichmatrix. Hier mal eine kleine Verdeutlichung:
Bei
$ [mm] \pmat{ a & a+1 & 0 & 0 \\ 0 & a & a-1 & 0 \\ 0 & a-1 & a & 0 \\ 1 & 0 & a+1 & a}$
[/mm]
entwickelst du am besten erst nach der letzten Spalte. Hier gilt es nur a zu berücksichtigen.
$ [mm] a*det\pmat{ a & a+1 & 0 \\ 0 & a & a-1 \\ 0 & a-1 & a }$
[/mm]
hier entwickeln wir wieder nach der 1. Spalte also :
$ [mm] a*a*det\pmat{ a & a-1 \\ a-1 & a }$
[/mm]
$ = a*a*(a*a - (a-1)*(a-1)) = [mm] a*a*(a^2 [/mm] - [mm] (a^2 [/mm] -2*a-1) = [mm] a^2*(a^2-a^2+2*a-1) [/mm] = [mm] a^2*(2*a-1) [/mm] $
Daher wissen wir dass folgendes gelten muss, damit die Matrix NICHT invertierbar ist:
$ [mm] a^2=0 \vee [/mm] (2*a-1)=0 $
auflösen jeweils nach a
$ a=0 [mm] \vee a=\bruch{1}{2}$
[/mm]
Hier hast du also die Nullstellen für a, bei denen deine Matrix nicht invertierbar ist.
Bitte versuchs mal auf diese Weise zu rechnen. Ich selbst würde es so machen, aber deklariere es nicht als Antwort, da ich mir dabei nicht zu 100% sicher bin. Daher nur als Tipp, der dich - hoffentlich - weiter bringt ;)
EDIT: Laut der Antwort von Marc scheint mein Rechenweg zu stimmen.
Grüße
Daniel
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